BAC S COMPLEXE Pondichery_avril 2000

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
\Ouv{} ; unité graphique 4~cm.
On appelle B le point d'affixe i et M$_1$ le point d'affixe :

$$z_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}(1-\text{i}).$$

Déterminer le module et un argument de $z_1$.
Soit M$_2$ le point d'affixe $z_2$, image de
M$_1$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
Déterminer le module et un argument de $z_2$.
Montrer que le point M$_2$ est un point de la droite $(D)$ d'équation $y = x$.
Soit M$_3$ le point d'affixe $z_3$, image de
M$_2$ par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3} + 2$.

Montrer que $z_3 = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} (1 + i).$
Montrer que les points M$_1$ et M$_3$ sont situés sur le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{2}$.

Construire, à la règle et au compas, les points
M$_1$,~ M$_2$ et M$_3$ en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes
étapes de la construction.
à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ (distinct de B), on associe
le point $M'$, d'affixe $Z$ telle que $Z = \dfrac{1}{\text{i} - z}$.
Déterminer et construire l'ensemble (E) des points $M$ du plan ($M$ distinct de B) tels que $M'$ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.