BAC S COMPLEXE Métropole septembre 1999

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).
On note $Z_{M}$ l'affixe d'un point $M$.
Soit A le point d'affixe 4 et B le point d'affixe 4i.

Soit $\theta$ un réel de [0, 2$\pi$[ et $r$ un réel
strictement positif.
On considère le point $E$ d'affixe $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ et
$F$ le point tel que O$EF$ est un triangle rectangle isocèle vérifiant
$\left(\overrightarrow{\text{O}E},~ \overrightarrow{\text{O}F}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'affixe de $F$ ?
Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de
l'exercice.
On choisira, uniquement pour cette figure :
$$\theta = 5\dfrac{\pi}{6}~ \text{et}~ r = 3.$$
On appelle P,~$Q,~ R,~ S$ les milieux respectifs des
segments [AB], [B$E$], [$EF],~ [F$A].

Prouver que P$QRS$ est un parallélogramme.
On pose : $Z = \dfrac{Z_{R} - Z_{Q}}{Z_{Q} -Z_{\text{P}}}$.
Déterminer le module et un argument de $Z$.
En déduire que P$QRS$ est un carré.

Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes
respectives des points P et $Q$.
Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'aire du carré P$QRS$ ?
$r$ étant fixé, pour quelle valeur de $\theta$ cette aire est-elle maximale ?
Quelle est alors l'affixe de $E$ ?