BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_dec 1999

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} ; unité graphique : 2~cm.

Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les
points A, B, et D d'affixes respectives $\sqrt{3}$ + i,~ $\sqrt{3}$ - i
et -~$\dfrac{ 1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$i.
On considère la rotation R de centre O et d'angle
$\dfrac{\pi}{3}$ et la translation T de vecteur d'affixe 1.

Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des points
A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la rotation
R.
Déterminer l'affixe $z_{\text{D}'}$, du point D$'$, image du point D
par la translation T.
Placer les points A$'$,~ B$'$ et D$'$.

Déterminer un argument du nombre complexe
$\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}}$.
Justifier que la droite (OD$'$) est une médiatrice du triangle
OA$'$B$'$.