BAC S COMPLEXE Sportifs_sept 1999

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv. On désigne par E l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^3$ soit un nombre réel positif ou nul.

Le point A d'affixe $a = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ appartient-il à E ?
On note B le point d'affixe $b = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
Calculer un argument de $b$ et montrer que B appartient à E.

On suppose $z \neq 0$ et on note $\theta$ un argument de
$z$.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\theta$ pour
que $z^3$ soit un nombre réel positif.
Après avoir vérifié que le point O appartient à E,
déduire des résultats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que
l'on déterminera. Placer les points A et B et représenter E sur une
figure.
à tout point $P$ d'affixe $z \neq 0$, on associe les
points $Q$ d'affixe i$z$ et $R$ d'affixe $z^4$.
On note F l'ensemble des points $P$ tels que l'angle
$(\overrightarrow{\text{O}Q},~ \overrightarrow{\text{O}R}$) ait pour
mesure $-~\dfrac{\pi}{2}$.
Montrer que F est l'ensemble E privé du point O.