BAC S COMPLEXE Pondichery_avril 2004

PartieA

Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : \[ z^2 -2 z + 4 = 0.\] Les solutions seront notées $z'$ et $z'',~ z'$ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive. Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. Donner la valeur exacte de $\left(z'\right)^{2004}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. \textbf{Partie B} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} ; (unité graphique : 2~cm). Montrer que les points A d'affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et B d'affixe $1 - \text{i}\sqrt{3}$ sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. Tracer ce cercle puis construire les points A et B. On note O$'$ l'image du point O par la rotation $r_1$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et B$'$ l'image du point B par la rotation $r_2$ de centre A et d'angle $+\dfrac{\pi}{2}$. Calculer les affixes des points O$'$ et B$'$ et construire ces points. Soit I le milieu du segment [OB]. Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO$'$B$'$ ? Calculer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{AI}}$. Montrer que l'affixe du vecteur $\overrightarrow{\text{O}'\text{B}'}$ est égale ˆà $3 \sqrt{3} - \text{i}$. La conjecture mise ˆ la \textbf{question a.} est-elle vraie ?.