BAC S COMPLEXE Reunion_juin 2004

Le plan complexe est rapportŽé ˆ un repère orthonormal direct \Ouv{} ; i dŽésigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soient les points A, B et C d'affixes respectives i, $1 + \text{i}$
et $-1 + \text{i}$.

Soit $f$ l'application qui, ˆà tout point $M$ du plan difféŽrent de A, d'affixe $z$, associe le point $M'$ du plan d'affixe $z'$ tel que :

\[z'= \dfrac{\text{i}z +2}{z - \text{i}}.\]

DŽéterminer les images de B
et de C par l'application $f$.

Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ diffŽérent de i, on a la
relation :

\[(z'- \text{i})(z - \text{i}) = 1.\]

Soit D le point d'affixe 1 + 2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unitŽé graphique 4 cm).

DŽéduire de la question prŽécéŽdente une construction du point D$'$ image du point D par l' application $f$.

Soit $R$ un nombre rŽéel strictement positif.

Quelle est l'image par l'application $f$ du cercle de centre A et de rayon $R$ ?

Montrer que, si l'affixe du point $M$ est un imaginaire pur difféŽrent de i, alors l'affixe du point $M'$ est un imaginaire pur. Que signifie ce rŽésultat pour
l'image par l'application $f$ de l'axe imaginaire privéŽ du point A ?

Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point A et de vecteur
directeur $\overrightarrow{u}$. DéŽterminer
l' image de la droite $\mathcal{D}$ privŽée du point A par l'application $f$.