BAC S COMPLEXE Polynesie_juin 2004

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
On prendra pour unitéŽ graphique 1~cm.

On dŽésigne par A, B et I les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 3 + 2\text{i},~\quad z_{\text{B}} = -3 \quad \text{
et} \quad z_{\text{I}} = 1 - 2\text{i}.\]

Faire une figure que l'on complèŽtera au cours de l'exercice.

Écrire sous forme algŽébrique le nombre complexe $Z =
\dfrac{z_{\text{I}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{I}} - z_{\text{B}}}$.

Que peut-on en dŽéduire sur la nature du triangle IAB ?

Calculer l'affixe $z_{C}$ du point $C$ image de I par l'homothéŽtie de centre A et de rapport 2.

Soit $D$ le barycentre du système $\left\{(\text{A},~ 1) ~;~
(\text{B},~ - 1)~ ;~ (C,~ 1)\right\}$ ;
calculer l'affixe $z_D$ du point $D$.

Montrer que AB$CD$ est un carrŽé.

DŽéterminer et construire l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan tels que :

\[\left\|\overrightarrow{M\text{A}} - \overrightarrow{M\text{B}} + \overrightarrow{MC}\right\| =
\dfrac{1}{2}\left\|\overrightarrow{M\text{A}} + \overrightarrow{MC}\right\|.\]

On considère l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ du plan tels que

\[\left\|\overrightarrow{M\text{A}} - \overrightarrow{M\text{B}} + \overrightarrow{MC}\right\| = 4\sqrt{5}.\]

Montrer que B appartient ˆà $\Gamma_2$.

DŽéterminer et construire l'ensemble $\Gamma_2$.