Text d'entrée 2017 - 2018

L'objet de cet exercice est de calculer la valeur de $I+\int_{0}^{+\infty\dfrac{\sin(t)}{t}}dt$

 

Pour tout entier naturel??, on note:

 

$I_{n}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin[(2n+1)t]}{\sin(t)}dt$ et  $J_{0}^{\dfrac{\pi}{2}\dfrac{\sin[(2n+1)1]}{t}}dt$

 

l. Justifiez que, pour tout entier naturel $n$, $I_{n}$ et $J_{n}$ sont bien définies.

 

2. Montrez que : $\forall n\geq 1\;,I_{n}-I_{n-1}=0.$

 

Ën déduire la valeur de $I_{n}$

 

3. Soit $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal{C^{1}}$ sur $\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$

 

Montrez, à l'aide d'une intégration par parties, que $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\varphi(t)\sin(2n+1)t dt$ tend vers $0.$

 

4. Démontrez que la fonction $h$ : $t\longrightarrow\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{\sin(t)}$ se prolonge en une fonction de classe $\mathcal{C^{1}}$ sur $[0\ ;\ 1].$

 

5. Déduisez en que $\lim\left(J_{n}-I_{n}\right)=0$

 

6. Démontrer, en utilisant un changement de variable, que $\lim J_{n}=I.$

 

7. Déduisez en $a$ valeur de $I.$

 

 

1. Montrer que la fonction exponentielle de base $e$ est un isomorphisme du groupe $(\mathbb{R}\;,+)$ vers le groupe $\left(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;,x\right)$

 

2. Soit $p$ un entier naturel. 

 

Démontrer que si $P^{2}$ est pair alors $P$ est pair. 

 

3. Démontrer par l'absurde que $log_{3}2$ est un nombre irrationnel.

 

4. Résoudre dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ ,l'équation $3x-1=0$

 

5. Démontrer que L'ensemble des translations muni de la loi $o$ est un sous- groupe distingué du groupe des déplacements du plan. 

Dans chacun des cas suivants, dites si la phrase est vraie ou si elle est fausse et donner sa négation.

 

1. Toutes les applications du plan sont des transformations ou sont injectives. 

 

2. Soit $E$ un ensemble. 

 

Alors $\forall(A\;,B)\in\left(P(E)\right)A\nsubseteq B\Rightarrow B\subset A.$

 

3. Soient $x$ et $y$ entiers naturels.

 

$xy$ pair $\Longleftrightarrow( x\text{ pair ou }y\text{ pair})$

 

4. Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies sur $\mathbb{R}$

 

Alors

 

$\begin{array}{rcl} [\forall x\in\mathbb{R}f(x)g(x)=0]&\Rightarrow&[(\forall x\in\mathbb{R}f(x)=0)\\&\text{ ou }(\forall x\in\mathbb{R}g(x)=0)] \end{array}$

 

 

On rappelle que dans le plan orienté, L'aire note $\mathbb{A}(ILK)$, de tout triangle $IJK$ est égale à $\dfrac{1}{2}d$ et $\left(\overrightarrow{IJ}\;,\overrightarrow{IK}\right)$ deux autres formules analogues par permutation circulaire).

 

Soit $A$, $B$, $C$ un repère affine du plan affine euclidien orienté.

 

1. Démontrer que pour tout point $M$ du plan, il existe deux nombres réels $\lambda$ et  $u$ tels que : $\overrightarrow{MC}=\lambda\overrightarrow{MA}+u\overrightarrow{MB}.$

 

2- Démontrer alors que $d$ et  $\left(\overrightarrow{MB}\;,\overrightarrow{MC}\right)\overrightarrow{MA}+ d$ et $\left(\overrightarrow{MC}\;,\overrightarrow{MA}\right)\overrightarrow{MB}+ d$ et $\left(\overrightarrow{MA}\;,\overrightarrow{MB}\right)\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

 

3. En déduire que $M$ est le barycentre de $\left((A\;,\mathbb{A}(MBC)\right)\;,\left(B\;,\mathbb{A}(MCA)\right)\;,\left(C\;,\mathbb{A}(MAB)\right).$

 

4. Application : Soit $C(O\;,R)$ le cercle circonscrit au triangle,$ABC$, prouver que $O$ est le barycentre de $\left(A\;,\sin\overrightarrow{2A}\right)$, $\left(B\;,\sin\overrightarrow{2B}\right)$, $\left(C\;,\sin\overrightarrow{2C}\right)$

Une urne contient $b$ boules blanches et $r$ boules rouges indiscernables au toucher $(b\text{ et }r\text{ sont des entiers naturels dont au moins un est non nul}.$

 

On considère le protocole suivant:

 

< On tire une boule au hasard dans l'urne. 

 

Si elle est blanche, on la remet dans l'urne. 

 

Si elle est rouge, elle n,est pas remise dans l'urne et elle $y$ est remplacée par une boule blanche, de sorte que le nombre $N$: $b+r$ de boules dans l'urne reste constant. 

 

on répète le protocole de tirage jusqu'à l'obtention d,une boule blanche.

 

Partie A : On suppose que $b=2$ et $r=3$

 

1. Modéliser cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.

 

2. on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

 

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et calculer son espérance $E(X).$

 

Donner une interprétation de cette espérance.

 

Partie B : on suppose que $b$ et $r$ sont des entiers naturels non nuls quelconques.

 

Pour tout entier strictement positif $n$, on note $A_{n}$ l'événement << la $n$ - ième boule tirée est rouge >>. 

 

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

 

1. Donner l'ensemble $E$ des valeurs prises par $X.$

 

2. Pour $k$ appartenant à $E$, exprimer l'événement $(X=k)$ en fonction d'événements liés aux événements $A_{1}$, $A_{2}$, $\ldots$, $A_{k}$

 

3. Soit $i$ un entier strictement positif et soient $B_{1}\ldots\ldots B_{i}$ des événements liés à l,épreuve tels que :

 

$P\left(B_{1}\cap B_{2}\cap\ldots\ldots\cap B_{i-1}\right)>0.$

 

Après avoir justifié l'existence des probabilités conditionnelles

 

$P\left(B_{2}/B_{1}\right)$, $P\left(B_{3}/B_{1}\cap B_{2}\right)\;,\ldots$, $P\left(B_{i}/ B_{1}\cap B_{2}\ldots\ldots B_{i-1}\right)$, montre que 

 

$P\left(B_{1}\cap B_{2}\cap\ldots\ldots\cap B_{i}\right)=P(B1)P\left(B_{2}/B_{1}\right)\ldots\ldots\ldots P\left(B_{i}/B_{1}\cap B_{2}\cap\ldots\ldots\cap B_{i+1}\right)$

 

4.&. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X.$

 

b. vérifier que : $P(X=r+1)=\dfrac{r!}{N^{t}}$ et que, pour tout $k$ compris entre $l$ et $r$,

 

$P(X=K)=\dfrac{r!}{(r(K-1))!N^{k-1}}-\dfrac{r!}{r-k)!N^{k}}$

 

5.a. Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$ et tous réels $p_{0}\;,\ldots\ldots P_{n}$

 

$\Sigma_{\lim\limits k=1}^{n}k\left(P_{k-1}-P_{k}\right)=\sigma_{\lim\limits k=0}^{n-1}\left(P_{k}\right)-np_{n}$

 

b. En déduire que l'espérance de $X$ est donnée par :

$E(X)=\Sigma_{\lim\limits k=0}^{'}C_{r}^{k}P_{k}\dfrac{k!}{N^{k}}$