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Suites Numériques - 1er L

Classe:

Première

I. Suite Arithmétique

$\bullet\$ Définition

On appelle suite arithmétique toute suite

$\left(U_{n}\right)$ définie par la relation :

$U_{n+1}=U_{n}+r\quad ;\quad r\in\mathbb{R}$

$r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Remarque :

$\blacktriangleright\$ Pour montrer qu'une suite est arithmétique il faut et il suffit d'établir que :

$U_{n+1}=-U_{n}=\text{constante}$ et cette constante est la raison.

$\blacktriangleright\$ De même qu'une suite arithmétique est complètement déterminée dés qu'on connait sa raison et son premier terme.

$\bullet\$ Terme général d'une suite arithmétique

$\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison

$r$ et de premier terme

$U_{0}$ alors pour tout

$n\in\mathbb{N}$ on a :

$\boxed{U_{n}=U_{0}+nr}$

D'une façon plus générale si le premier terme de la suite

$\left(U_{n}\right)$ est

$U_{p}$ avec

$0\leq p\leq n$ alors :

$\boxed{U_{n}=U_{p}+(n+p)r}$

$\bullet$ Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit

$\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison

$r$ rt de premier

$U_{0}.$

On note

$S_{n}$ la somme des termes de

$\left(U_{n}\right).$

$S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n}$

$\boxed{S_{n}=(n+1)\times\left(\dfrac{U_{0}U_{n}}{2}\right)}$

Si le premier terme est

$U_{p}$ alors

$S_{n}=U_{p}+U_{u+1}+U_{u+2}+\ldots+U_{n}$

$\boxed{S_{n}=(n-p+1)\times\left(\dfrac{U_{p}+U_{n}}{2}\right)}$

Retenons pour une suite arithmétique

$\boxed{S_{n}=\text{ Nombre de termes }\times\left(\dfrac{\text{ premier terme+dernier terme}}{2}\right)}$

$\bullet\$ Propriété

$a$ ,

$b$ et

$c$ sont trois termes consécutifs dans cet ordre dune suite arithmétique alors ile vérifient la relation :

$a+c=2b.$

II. suite géométrique

$\bullet\$ Définition

On appelle suite géométrique toue suite

$\left(V_{n}\right)$ définie par la relation :

$\boxed{V_{n+1}=q\times V_{n}\quad ;\quad q\in\mathbb{R}}$

$q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Remarque :

$\blacktriangleright\$ Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut et il suffit d'établir que :

$\dfrac{V_{n+1}}{V_{n}}=$ constante et cette constante est la raison

$\blacktriangleright\$ De même qu'une suite géométrique est complètement déterminer dès qu'on connait sa raison et son premier terme.

$\bullet\$ Terme général suite géométrique

$\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison

$q$ et de premier

$V_{0}$ alors pour tout

$n\in\mathbb{N}$ on a :

$\boxed{V_{n}=V_{0}\times q^{n}}$

D'une façon plus générale si le premier terme de la suite

$\left(V_{n}\right)$ est

$v_{p}$ avec

$0\leq p\leq n$ alors :

$\boxed{V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}}$

$\bullet\$ Somme des termes d'une suite géométrique

Soit

$\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison

$q$ et de premier

$V_{0}.$

On note

$S_{n}$ la somme des termes de

$\left(V_{n}\right).$

$S_{n}=V_{0}+V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{n}$

$S_{n}=V_{0}\times\left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)$

Si le premier terme est

$V_{p}$ alors

$S_{n}=V_{p}+V_{p+1}+V_{p+2}\ldots+V_{n}$

$S_{n}=V_{p}/V_{p}\times\left(\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}\right)$

Retenons pour une suite géométrique

$\boxed{S_{n}=\text{premier terme}\times\left[\dfrac{1-\left(\text{raison}^{\text{nombre de termes}}\right)}{1-\text{ raison}}\right]}$

$\bullet\$ propriété

$a$ ,

$b$ et

$c$ sont trois termes consécutifs dans cet ordre d'une suite géométrique alors ils vérifient la relation :

$a\times C=b^{2}$

III. Convergence des suites arithmétiques

Théorème :

Toute suite arithmétique est divergente.

En effet si

$\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique alors

$U_{n}=U_{p}+(n-p)\times r=\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{n}$

$\Rightarrow\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}U_{p}+(n-P)\times r=\pm\infty$

$\bullet\$ Convergence des suites arithmétiques

Soit

$\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison

$q$ et de premier

$V_{p}$ alors

$V_{n}=V_{p}\times q^{n-p}$

$\blacktriangleright\ \text{Si }|q|<1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=0\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=0\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ converge vers }0.$

$\blacktriangleright\ \text{ Si }q>1\text{ alors }\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}q^{n}=+\infty\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\;\longrightarrow+\infty}V_{n}=\pm\infty\text{ donc }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }$

$\blacktriangleright\ \text{Si }q<-1\text{ alors la limite de }q^{n}\text{ lorsque }n\text{ tend vers }+\infty\text{ n'existe pas et }\left(V_{n}\right)\text{ est divergente }$

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Remarque :

∙ \bullet\ Terme général d'une suite arithmétique

∙\bullet Somme des termes d'une suite arithmétique

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II. suite géométrique

∙ \bullet\ Définition

Remarque :

∙ \bullet\ Terme général suite géométrique

∙ \bullet\ Somme des termes d'une suite géométrique

∙ \bullet\ propriété

III. Convergence des suites arithmétiques

Théorème :

∙ \bullet\ Convergence des suites arithmétiques

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$\bullet\$ Définition

$\bullet\$ Terme général d'une suite arithmétique

$\bullet$ Somme des termes d'une suite arithmétique

$\bullet\$ Propriété

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$\bullet\$ Terme général suite géométrique

$\bullet\$ Somme des termes d'une suite géométrique

$\bullet\$ propriété

$\bullet\$ Convergence des suites arithmétiques