Solutions Serie d'exercices : Système d'équation et inéquation du 1er degré à deux inconnues - 2nd L

Exercice 1 : Méthode de substitution

Système $S_1$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y + 7 &=& 0 \\ 3x + y - 7 &=& 0 \end{array}\right.$$
1. Isoler $y$ dans la première équation :
   $$x - y + 7 = 0 \implies y = x + 7$$

2. Substituer $y$ dans la deuxième équation :
   $$3x + (x + 7) - 7 = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = 0 + 7 = 7$$

Solution : $(x, y) = (0, 7)$

 Système $S_2$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y - 2 &=& 0 \\ 2x + y + 5 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Isoler $y$ dans la première équation :
   $$x - y - 2 = 0 \implies y = x - 2$$

2. Substituer $y$ dans la deuxième équation :
   $$2x + (x - 2) + 5 = 0 \implies 3x + 3 = 0 \implies x = -1$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = -1 - 2 = -3$$

Solution : $(x, y) = (-1, -3)$

 Système $S_3$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x + 5y - 16 &=& 0 \\ 3x + 3y - 15 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Simplifier la deuxième équation :
   $$3x + 3y - 15 = 0 \implies x + y = 5 \implies y = 5 - x$$

2. Substituer $y$ dans la première équation :
   $$2x + 5(5 - x) - 16 = 0 \implies 2x + 25 - 5x - 16 = 0 \implies -3x + 9 = 0 \implies x = 3$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = 5 - 3 = 2$$

Solution : $(x, y) = (3, 2)$

 Système $S_4$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} -\dfrac{1}{3}x + y - 1 &=& 0 \\ 2x - \dfrac{1}{4}y + 7 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Isoler $y$ dans la première équation :
   $$-\dfrac{1}{3}x + y - 1 = 0 \implies y = \dfrac{1}{3}x + 1$$

2. Substituer $y$ dans la deuxième équation :
   $$2x - \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{3}x + 1\right) + 7 = 0 \implies 2x - \dfrac{1}{12}x - \dfrac{1}{4} + 7 = 0$$
   $$\dfrac{24}{12}x - \dfrac{1}{12}x = \dfrac{1}{4} - 7 \implies \dfrac{23}{12}x = -\dfrac{27}{4} \implies x = -\dfrac{27}{4} \times \dfrac{12}{23} = -\dfrac{81}{23}$$

3. Trouver $y$ :
   $$y = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{81}{23}\right) + 1 = -\dfrac{27}{23} + \dfrac{23}{23} = -\dfrac{4}{23}$$

Solution : $(x, y) = \left(-\dfrac{81}{23}, -\dfrac{4}{23}\right)$

Exercice 2 : Méthode d'addition

 Partie a.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x + 3y &=& 1 \\ 2x + y &=& 4 \end{array}\right.$$

1. Multiplier la première équation par 2 :
   $$2x + 6y = 2$$

2. Soustraire la deuxième équation :
   $$(2x + 6y) - (2x + y) = 2 - 4 \implies 5y = -2 \implies y = -\dfrac{2}{5}$$

3. Trouver $x$ :
   $$x + 3\left(-\dfrac{2}{5}\right) = 1 \implies x = 1 + \dfrac{6}{5} = \dfrac{11}{5}$$

Solution : $(x, y) = \left(\dfrac{11}{5}, -\dfrac{2}{5}\right)$

 Partie b.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x + 3y - 1 &=& 0 \\ -3x + 2y + 5 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Réécrire le système :
   $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}    2x + 3y &=& 1 \\    -3x + 2y &=& -5    \end{array}\right.$$

2. Multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 2 :
   $$6x + 9y = 3 \\    -6x + 4y = -10$$

3. Additionner les deux équations :
   $$13y = -7 \implies y = -\dfrac{7}{13}$$

4. Trouver $x$ :
   $$2x + 3\left(-\dfrac{7}{13}\right) = 1 \implies 2x = 1 + \dfrac{21}{13} = \dfrac{34}{13} \implies x = \dfrac{17}{13}$$

Solution : $(x, y) = \left(\dfrac{17}{13}, -\dfrac{7}{13}\right)$

 Partie c.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x + 10y &=& 58 \\ 10x + 3y &=& 72 \end{array}\right.$$

1. Multiplier la première équation par 10 et la deuxième par 3 :
   $$30x + 100y = 580 \\    30x + 9y = 216$$

2. Soustraire la deuxième équation de la première :
   $$91y = 364 \implies y = 4$$

3. Trouver $x$ :
   $$3x + 10(4) = 58 \implies 3x = 18 \implies x = 6$$

Solution : $(x, y) = (6, 4)$

 Partie d.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{2}y &=& 1 \\ -x + \dfrac{2}{3}y &=& \dfrac{2}{3} \end{array}\right.$$

1. Éliminer les fractions en multipliant par 6 et 3 respectivement :
   $$2x - 3y = 6 \\    -3x + 2y = 2$$

2. Multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 2 :
   $$6x - 9y = 18 \\    -6x + 4y = 4$$

3. Additionner les deux équations :
   $$-5y = 22 \implies y = -\dfrac{22}{5}$$

4. Trouver $x$ :
   $$2x - 3\left(-\dfrac{22}{5}\right) = 6 \implies 2x = 6 - \dfrac{66}{5} = -\dfrac{36}{5} \implies x = -\dfrac{18}{5}$$

Solution : $(x, y) = \left(-\dfrac{18}{5}, -\dfrac{22}{5}\right)$

Exercice 3 : Méthode graphique

 Système $S_1$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y + 3 &=& 0 \\ 2x - y + 2 &=& 0 \end{array}\right.$$

1. Trouver les points d :
  - L'équation $x - y + 3 = 0$  
      Pour $x = 0$, $y = 3$ et $y = 2$, $y = 0$, $x = -3$ ).
      La droite passe par les points $A(0,3)$ et $B(-3,0)$
   - L'équation $2x - y + 2 = 0$
      Pour $x = 0$, $y = 2$ et$y = 0$, $x = -1$.
      La droite passe par les points $C(0,2)$ et $D(-1,0)$
3. Représentation graphique

2. Solution graphique : Les droites se coupent en $(1, 4)$.

Solution : $(x, y) = (1, 4)$

 Système $S_2$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x - y - 4 &=& 0 \\ 2x - y + 2 &=& 0 \end{array}\right.$$
-Représentation graphique

- Analyse : Les deux équations représentent des droites parallèles (même coefficient directeur).
 
Solution : Aucune solution (système incompatible).

 Système $S_3$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y + 3 &=& 0 \\ 2x - 2y + 6 &=& 0 \end{array}\right.$$

- Analyse : La deuxième équation est un multiple de la première.
 
Solution : Infinité de solutions (droites confondues).

 Système $S_4$
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x - y - 1 &=& 0 \\ 2x - y + 2 &=& 0 \\ -x + 3y + 9 &=& 0 \end{array}\right.$$
1. Résolution graphique

- L'équation $x - y - 1 = 0$  
      Pour $x = 0$, $y = -1$ et  $y = 0$, $x = 1$ ).
      La droite passent par les points $A(0,-1)$ et $B(1,0)$
- L'équation $2x - y + 2 = 0$  
      Pour $x = 0$, $y = 2$ et  $y = 0$, $x = -1$ ).
      La droite passent par les points $C(0,2)$ et $D(-1,0)$
- L'équation $-x + 3y + 9 = 0$  
      Pour $x = 0$, $y =-3$ et  $y = 0$, $x = 9$ ).
      La droite passent par les points $E(0,-3)$ et $F(9,0)$

Les 3 droites se croisent au point $(-3,-4)$ qui est la solution du sytème

2. Résoudre les deux premières équations :
   $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}    x - y &=& 1 \\    2x - y &=& -2    \end{array}\right. \implies x = -3, y = -4$$

2. Vérifier dans la troisième équation :
   $$-(-3) + 3(-4) + 9 = 3 - 12 + 9 = 0 \quad \text{(vérifié)}$$

Solution : $(x, y) = (-3, -4)$

Exercice 4 : Problème avec systèmes d'équations

Système à résoudre :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x + 2y &=& 625 \\ 6x + 13y &=& 3975 \end{array} \right.$$

Méthode : Nous allons utiliser la méthode de substitution ou de combinaison linéaire. Ici, la méthode de combinaison semble adaptée.

Étape 1 : Multiplions la première équation par 6 pour aligner les coefficients de $x$ avec la deuxième équation.
$$6 \times (x + 2y) = 6 \times 625 \\ 6x + 12y = 3750$$

Étape 2 : Soustraisons cette nouvelle équation de la deuxième équation du système.
$$(6x + 13y) - (6x + 12y) = 3975 - 3750 \\ 6x + 13y - 6x - 12y = 225 \\ y = 225$$

Étape 3 : Substituons $y = 225$ dans la première équation pour trouver $x$.
$$x + 2 \times 225 = 625 \\ x + 450 = 625 \\ x = 625 - 450 \\ x = 175$$

Solution :
$$(x, y) = (175, 225)$$

Vérification :
- Première équation : $175 + 2 \times 225 = 175 + 450 = 625$ ✔️
- Deuxième équation : $6 \times 175 + 13 \times 225 = 1050 + 2925 = 3975$ ✔️

 Problème 2 : Application à la situation de Tante Adja

Contexte :
- Avant dévaluation :
  - Prix des pommes de terre : $p$ F/kg
  - Prix des oignons : $o$ F/kg
  - Coût total : $10p + 20o = 6250$

- Après dévaluation :
  - Prix des pommes de terre : $1.2p$ F/kg
  - Prix des oignons : $1.3o$ F/kg
  - Coût total : $10 \times 1.2p + 20 \times 1.3o = 7950$

Système d'équations :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 10p + 20o &=& 6250 \\ 12p + 26o &=& 7950 \end{array} \right.$$

Simplification :
Divisons la première équation par 10 et la deuxième par 2 pour simplifier :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} p + 2o &=& 625 \\ 6p + 13o &=& 3975 \end{array} \right.$$

Observation : Ce système est identique à celui du problème 1, avec $p = x$ et $o = y$.

Solution :
$$(p, o) = (175, 225)$$

Interprétation :
- Avant dévaluation :
  - Prix d'un kg de pommes de terre : $175$ F CFA
  - Prix d'un kg d'oignons : $225$ F CFA

- Après dévaluation :
  - Prix d'un kg de pommes de terre : $1.2 \times 175 = 210$ F CFA
  - Prix d'un kg d'oignons : $1.3 \times 225 = 292.5$ F CFA

Vérification des coûts :
- Avant dévaluation : $10 \times 175 + 20 \times 225 = 1750 + 4500 = 6250$ F CFA ✔️
- Après dévaluation : $10 \times 210 + 20 \times 292.5 = 2100 + 5850 = 7950$ F CFA ✔️

 Conclusion

1. La solution du système d'équations est $(x, y) = (175, 225)$.
2. Avant la dévaluation :
   - Le prix d'un kilogramme de pommes de terre était de 175 F CFA.
   - Le prix d'un kilogramme d'oignons était de 225 F CFA.

Ces valeurs satisfont toutes les conditions données dans le problème.

Exercice 6 : Problème de mélange

Contraintes :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x + y &\geq& 10 \\ 600x + 400y &\leq& 6000 \\ x, y &\geq& 0 \end{array}\right.$$

1. Simplifier la deuxième inéquation :
   $$3x + 2y \leq 30$$

2. Représentation graphique :
   - Zone réalisable délimitée par $x + y \geq 10$, $3x + 2y \leq 30$, et $x, y \geq 0$.

Solution : Tous les couples $(x, y)$ dans la zone réalisable.