Solutions des exercices : Série d'exercices sur le dénombrement 1e S

Exercice 1

On prend pour univers $E=\{1,2,\dots,9\}$.

1. $\overline A = E\setminus A = \{5,6,7,8,9\}.$

2. $A\cap C = \{1,2,3,4\}\cap\{3,4,5,6\} = \{3,4\}.$

3. $\overline{A\cap C} = E\setminus\{3,4\} = \{1,2,5,6,7,8,9\}.$

4. $A\cup B = \{1,2,3,4\}\cup\{2,4,6,8\} = \{1,2,3,4,6,8\}.$

5. $\overline C = E\setminus C = \{1,2,7,8,9\}$, donc
\[
B\cap \overline C
= \{2,4,6,8\}\cap\{1,2,7,8,9\}
= \{2,8\}.
\]

Exercice 2

Univers $E=\{a,b,c,d,e\}$, $A=\{a,b,d\}$, $B=\{b,d,e\}$.

(i) $A\cup B = \{a,b,d,e\}.$
(ii) $A\cap B = \{b,d\}.$
(iii)$\overline B = E\setminus B = \{a,c\}.$
(iv) $B\cup\overline A = \{b,d,e\}\cup\{c,e\} = \{b,c,d,e\}.$
(v) $\overline A\cap B = \{c,e\}\cap\{b,d,e\} = \{e\}.$
(vi) $A\cup\overline B = \{a,b,d\}\cup\{a,c\} = \{a,b,c,d\}.$
(vii)$A\cap\overline B = \{a,b,d\}\cap\{a,c\} = \{a\}.$
(viii)$\overline A\cap\overline B = \{c,e\}\cap\{a,c\} = \{c\}.$
(ix) $\overline{A\cup B} = E\setminus\{a,b,d,e\} = \{c\}.$
(x) $\overline A\cup\overline B = \{c,e\}\cup\{a,c\} = \{a,c,e\}.$
(xi)$\overline{A\cap B} = E\setminus\{b,d\} = \{a,c,e\}.$

Exercice 3

Groupe de 20 élèves.
$\text{foot}=12,\;\text{basket}=11,\;\text{foot}\cap\text{basket}=4.$

1) Jouent seulement au foot
\[
12 - 4 = 8.
\]

2) Ne jouent ni au foot ni au basket
\[
\text{foot}\cup\text{basket}
=12+11-4=19,
\quad
20-19=1.
\]

Exercice 4

Classe de 30 élèves, chacun étudie au moins une langue : anglais ($E$), allemand ($G$), espagnol ($S$).
Données :
\[
\begin{cases}
|E| = 17,\\
|E\cap G| = 8,\quad |E\cap S| = 5,\\
\text{"exactement 2 langues"} = 17,\\
|E\cap G\cap S| = 1,\\
|E\cup G| = 26.
\end{cases}
\]

1) Combien étudient l’allemand ($|G|$) ?
\[
|E\cup G| = |E|+|G| - |E\cap G|
\;\Longrightarrow\;
26 = 17 + |G| - 8
\;\Longrightarrow\;
|G| = 17.
\]

2) Combien étudient l’espagnol ($|S|$) ?
On utilise la formule des trois ensembles :
\[
30 = |E|+|G|+|S| - \bigl(|E\cap G|+|E\cap S|+|G\cap S|\bigr)
+ |E\cap G\cap S|.
\]
Or «exactement 2 langues» $= \bigl(|E\cap G|+|E\cap S|+|G\cap S|\bigr)-3\cdot1 =17$,
donc
\[
8+5+|G\cap S| -3 =17
\;\Longrightarrow\;
|G\cap S| =7.
\]
D’où
\[
30 = 17+17+|S| - (8+5+7) +1
\;\Longrightarrow\;
30 = 34 + |S| -20 +1
\;\Longrightarrow\;
|S| =15.
\]

3) Combien étudient une seule langue ?

Nombre d’élèves qui étudient une seule langue

On calcule les "seulement" :

(E) seulement :
$
17 - (7 + 4 + 1) = 5
$

(G) seulement :
$
17 - (7 + 6 + 1) = 3
$
(car ($G \cap S$) seulement $= (7 - 1 = 6)$)

(S) seulement :
$
15 - (4 + 6 + 1) = 4
$

Total "une seule langue" :
$
5 + 3 + 4 = 12
$

12 élèves étudient une seule langue

Exercice 5

$40$ personnes, langues Poulaar ($P$), Diola ($D$), Sereer ($S$) :
\[
|P|=8,\;|D|=15,\;|S|=8,\;
|P\cap D|=5,\;|D\cap S|=4,\;|P\cap S|=2,\;
|P\cap D\cap S|=2.
\]

1) Combien parlent au moins une des trois ?
\[
|P\cup D\cup S|
= \sum|\,\cdot\,| \;-\!\! \sum|\,\text{2-intersections}\,|
+ |P\cap D\cap S|
= (8+15+8) - (5+4+2) +2 = 31 - 11 +2 = 22.
\]

2) Combien ne connaissent aucune langue ?
\[
40 - 22 = 18.
\]

Exercice 8

On souhaite lister
\[
A\times B\times C
\quad\text{avec}\quad
A=\{1,2,3\},\;B=\{2,4\},\;C=\{3,4,5\}.
\]

1. Le nombre d’éléments est
\[
|A|\times|B|\times|C| \;=\;3\times2\times3 \;=\;18.
\]
2. On peut les écrire sous forme de triples $(a,b,c)$. Par exemple, pour $b=2$ et $c=3$, on a $(1,2,3),(2,2,3),(3,2,3)$, etc.

Liste complète (dans l’ordre lexicographique) :
\[
\begin{aligned}
&(1,2,3),\,(1,2,4),\,(1,2,5),\;(1,4,3),\,(1,4,4),\,(1,4,5),\\
&(2,2,3),\,(2,2,4),\,(2,2,5),\;(2,4,3),\,(2,4,4),\,(2,4,5),\\
&(3,2,3),\,(3,2,4),\,(3,2,5),\;(3,4,3),\,(3,4,4),\,(3,4,5).
\end{aligned}
\]

Exercice 9

Soit $A=\{a,b\},\;B=\{2,3\},\;C=\{3,4\}.$

1. $B\cup C=\{2,3,4\}$
\[
A\times(B\cup C)
=\{a,b\}\times\{2,3,4\}
=\{(a,2),(a,3),(a,4),(b,2),(b,3),(b,4)\}.
\]

2.
\[
A\times B=\{(a,2),(a,3),(b,2),(b,3)\},\;
A\times C=\{(a,3),(a,4),(b,3),(b,4)\}.
\]
Leur réunion
\[
(A\times B)\cup(A\times C)
=\{(a,2),(a,3),(a,4),(b,2),(b,3),(b,4)\},
\]
qui est identique à $A\times(B\cup C)$.

3. $B\cap C=\{3\}$
\[
A\times(B\cap C)
=\{a,b\}\times\{3\}
=\{(a,3),(b,3)\}.
\]

4. L’intersection
\[
(A\times B)\cap(A\times C)
=\{(a,3),(b,3)\},
\]
qui coïncide avec $A\times(B\cap C)$.

Exercice 10

On note $|E|=n$.

1) Si par « couples » on entend **couples de deux éléments distincts** (ordre non important), il y en a
\[
\binom{n}{2}=56.
\]
D’où
\[
\frac{n(n-1)}{2}=56
\quad\Longrightarrow\quad
n(n-1)=112
\quad\Longrightarrow\quad
n^2 - n -112=0.
\]
La solution entière positive est $n=8$.

2) Si par « triplets » on entend **triplets d’éléments distincts** (sans ordre), il y en a
\[
\binom{n}{3}=120.
\]
Donc
\[
\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=120
\quad\Longrightarrow\quad
n(n-1)(n-2)=720.
\]
On reconnaît $6\cdot5\cdot4=120$ et $6\cdot5\cdot4\cdot3=360$, mais pour $n=6$ on a
\[
6\times5\times4 = 120\times1 =120\neq720,
\]
il faut tester :
\[
n=8\;:\;8\cdot7\cdot6 = 336\,,\quad
n=10\;:\;10\cdot9\cdot8 =720.
\]
La solution est $n=10$.

En résumé :
– couples distincts $\displaystyle\binom{8}{2}=28$ (si on compte {\bf order non important})
– triplets distincts $\displaystyle\binom{10}{3}=120$.

Exercice 11

On lance deux dés :
- un dé cubique à faces numérotées $1,2,3,4,5,6$,
- un dé tétraédrique à faces $A,B,C,D$.

Le nombre total d’issues :
\[
6\times4 =24.
\]

Tableau des tirages possibles (linéarisé) :
\[
\begin{array}{c|cccc}
\text{Dé1}\,\backslash\,\text{Dé2} & A & B & C & D \\ \hline
1 & (1,A) & (1,B) & (1,C) & (1,D) \\
2 & (2,A) & (2,B) & (2,C) & (2,D) \\
3 & (3,A) & (3,B) & (3,C) & (3,D) \\
4 & (4,A) & (4,B) & (4,C) & (4,D) \\
5 & (5,A) & (5,B) & (5,C) & (5,D) \\
6 & (6,A) & (6,B) & (6,C) & (6,D)
\end{array}
\]

On dénombre bien $6\times4=24$ tirages.

Exercice 29

On a 9 jetons au total (5 verts numérotés 1–5 et 4 rouges numérotés 1–4).
Le nombre total de tirages de 3 jetons est
\[
\binom{9}{3}=84.
\]

a) Trois jetons de la même couleur
- 3 verts : $\displaystyle\binom{5}{3}=10$
- 3 rouges : $\displaystyle\binom{4}{3}=4$
Total = $10+4=14$.

b) Contenant le vert n°1 et le rouge n°1
On fixe ces deux jetons, le 3ᵉ est tiré parmi les 7 jetons restants :
$\displaystyle 7$.

c) Un seul jeton portant le numéro 1
Il y a 2 jetons numérotés 1 ($G_1,R_1$).
– Choisir lequel on prend : $\binom{2}{1}=2$.
– Choisir les 2 autres parmi les 7 jetons non numérotés 1 : $\binom{7}{2}=21$.
Total = $2\times21=42$.

d) Exactement un jeton vert et exactement un jeton numéro 1
On regarde deux cas :

1. Le vert choisi est $G_1$. Il remplit à la fois « 1 vert » et « numéro 1 ».
– Les 2 autres doivent être ni verts ni numéro 1 ⇒ ce sont des rouges ≠1 ⇒ il y en a 3, on en choisit 2 ⇒ $\binom{3}{2}=3$.

2. Le vert choisi n’est pas $G_1$ (4 choix) et le jeton numéro 1 est $R_1$ (1 choix).
– Le 3ᵉ doit être ni vert ni $R_1$ ⇒ rouges ≠1 ⇒ 3 possibilités.
– Nombre de tirages = $4\times1\times3=12$.

Total = $3+12=15$.

Exercice 30

Jeu de 32 cartes, on tire 5 cartes.
1) Total de tirages : $\displaystyle\binom{32}{5}=201\,376$.

2)
a) 5 cartes de même couleur (flush) :
4 choix de couleur × $\binom{8}{5}=56$ façons par couleur ⇒ $4\times56=224$.

b) 4 cœurs et 1 pique :
$\binom{8}{4}\times\binom{8}{1}=70\times8=560$.

c) 2 couleurs dont l’une revient 4 fois
– Choisir la couleur à 4 cartes : 4 façons, puis $\binom{8}{4}=70$.
– Choisir la couleur à 1 carte (parmi les 3 restantes) : 3 façons, puis $\binom{8}{1}=8$.
Total = $4\times70\times3\times8=6\,720$.

d) Exactement 4 trèfles et 1 roi
– Les 4 trèfles : $\binom{8}{4}=70$.
– Le roi ne peut pas être trèfle (sinon on aurait 5 trèfles pour 5 cartes) ⇒ choisir le roi parmi les 3 autres couleurs ⇒ 3 façons.
Total = $70\times3=210$.

Exercice 31

Urne de 11 boules: 3 rouges (R), 4 blanches (B), 4 noires (N). On tire 3 boules.
Total : $\binom{11}{3}=165$.

On note les ensembles suivants de tirages (tirage = multiensemble de 3 éléments).

1)
A = unicolores
$\;|\mathrm{A}|=\binom{3}{3}+\binom{4}{3}+\binom{4}{3}=1+4+4=9.$

B = tricolores (1 de chaque)
$\;|\mathrm{B}|=3\cdot4\cdot4=48.$

C = {2 rouges et 1 noire}
$\;|\mathrm{C}|=\binom{3}{2}\cdot\binom{4}{1}=3\cdot4=12.$

D = {2 rouges et une boule d’une autre couleur}
– L’autre boule peut être blanche ou noire ⇒ 4+4=8 choix.
$\;|\mathrm{D}|=\binom{3}{2}\times8=3\cdot8=24.$

E = {2 boules d’une même couleur + 1 d’une autre}
Somme sur la couleur du doublet :
- Doublet rouge : $\binom{3}{2}\times(4+4)=3\times8=24$
- Doublet blanche : $\binom{4}{2}\times(3+4)=6\times7=42$
- Doublet noire : idem blanche = 42
Total = $24+42+42=108.$

2) F = « au moins 1 boule noire »
Complément de « 0 noire » :
$\displaystyle|\mathrm{F}|=165-\binom{7}{3}=165-35=130.$

3) G = « au plus 2 rouges » = {0 rouge}∪{1 rouge}∪{2 rouges}
- 0 rouge : $\binom{8}{3}=56$ (tirer dans B+N)
- 1 rouge : $\binom{3}{1}\binom{8}{2}=3\cdot28=84$
- 2 rouges : $\binom{3}{2}\binom{8}{1}=3\cdot8=24$
Total = $56+84+24=164$.
(On retrouve aussi $165-\binom{3}{3}=165-1=164$.)