Solutions des exercices: Série d'exercice sur les primitives et l'étude de fonctions 1e S

Exercice : Détermination des Primitives (Reformulé)

 1) $f(x)=(x-1)(x-2)$

 Intervalle de Définition
$f$ est un polynôme, donc elle est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Développons $f(x)$ : $f(x) = x^2 - 3x + 2$.
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = x^2 - 3x + 2$.
En utilisant les règles de dérivation à l'envers :
$$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} + 2x + C$$
(Vérification : $F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} - \dfrac{3 \cdot 2x}{2} + 2 = x^2 - 3x + 2 = f(x)$)

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{2^3}{3} - \dfrac{3(2)^2}{2} + 2(2) + C = 0$$
$$F(2) = \dfrac{8}{3} - 6 + 4 + C = 0 \implies \dfrac{2}{3} + C = 0 \implies C = -\dfrac{2}{3}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2} + 2x - \dfrac{2}{3}$$

 2) $f(x)=4x^{4}-2x^{2}+5x$

 Intervalle de Définition
$f$ est un polynôme, donc elle est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = 4x^{4}-2x^{2}+5x$.
$$F(x) = 4\dfrac{x^5}{5} - 2\dfrac{x^3}{3} + 5\dfrac{x^2}{2} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{4}{5}(32) - \dfrac{2}{3}(8) + \dfrac{5}{2}(4) + C = 0$$
$$F(2) = \dfrac{128}{5} - \dfrac{16}{3} + 10 + C = 0$$
$$F(2) = \dfrac{384 - 80 + 150}{15} + C = 0 \implies \dfrac{454}{15} + C = 0 \implies C = -\dfrac{454}{15}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{4}{5}x^5 - \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{5}{2}x^2 - \dfrac{454}{15}$$

 3) $f(x)=x+\dfrac{1}{x^{2}}$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie pour $x \neq 0$. L'intervalle contenant $x=2$ est :
$$I = ]0\;;\ +\infty[$$

 Détermination de la Primitive Générale
Réécrivons $f(x)$ : $f(x) = x + x^{-2}$.
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = x + x^{-2}$.
$$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{x} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{2^2}{2} - \dfrac{1}{2} + C = 0$$
$$F(2) = 2 - \dfrac{1}{2} + C = 0 \implies \dfrac{3}{2} + C = 0 \implies C = -\dfrac{3}{2}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}$$

 4) $f(x)=(x+1)^{3}$

 Intervalle de Définition
$f$ est un polynôme, donc elle est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = (x+1)^{3}$.
Nous utilisons la règle de dérivation pour $u^n$, où $u(x) = x+1$ et $u'(x) = 1$.
$$F(x) = \dfrac{1}{4}(x+1)^{4} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{1}{4}(2+1)^{4} + C = 0$$
$$F(2) = \dfrac{3^4}{4} + C = 0 \implies \dfrac{81}{4} + C = 0 \implies C = -\dfrac{81}{4}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{1}{4}(x+1)^{4} - \dfrac{81}{4}$$

 5) $f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{3}}$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie pour $x \neq -1$. L'intervalle contenant $x=2$ est :
$$I = ]-1\;;\ +\infty[$$

 Détermination de la Primitive Générale
Réécrivons $f(x)$ : $f(x) = (x+1)^{-3}$.
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = (x+1)^{-3}$.
$$F(x) = \dfrac{(x+1)^{-2}}{-2} + C = -\dfrac{1}{2(x+1)^{2}} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = -\dfrac{1}{2(2+1)^{2}} + C = 0$$
$$F(2) = -\dfrac{1}{2(9)} + C = 0 \implies -\dfrac{1}{18} + C = 0 \implies C = \dfrac{1}{18}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = -\dfrac{1}{2(x+1)^{2}} + \dfrac{1}{18}$$

 6) $f(x)=x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie pour $x > 0$.
$$I = ]0\;;\ +\infty[$$

 Détermination de la Primitive Générale
Réécrivons $f(x)$ : $f(x) = x + x^{-1/2}$.
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = x + x^{-1/2}$.
$$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^{1/2}}{1/2} + C = \dfrac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{2^2}{2} + 2\sqrt{2} + C = 0$$
$$F(2) = 2 + 2\sqrt{2} + C = 0 \implies C = -2 - 2\sqrt{2}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} - 2 - 2\sqrt{2}$$

 7) $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie pour $x+1 > 0$, soit $x > -1$.
$$I = ]-1\;;\ +\infty[$$

 Détermination de la Primitive Générale
Réécrivons $f(x)$ : $f(x) = (x+1)^{-1/2}$.
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = (x+1)^{-1/2}$.
$$F(x) = \dfrac{(x+1)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x+1} + C$$
(Vérification : La dérivée de $2\sqrt{u}$ est $2 \cdot \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{u'}{\sqrt{u}}$. Ici $u'=1$, donc $F'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} = f(x)$)

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = 2\sqrt{2+1} + C = 0$$
$$F(2) = 2\sqrt{3} + C = 0 \implies C = -2\sqrt{3}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = 2\sqrt{x+1} - 2\sqrt{3}$$

 8) $f(x)=(2x-1)(x^{2}-x)^{2}$

 Intervalle de Définition
$f$ est un polynôme, donc elle est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous reconnaissons la forme $u'(x) [u(x)]^n$, avec $u(x) = x^2-x$ et $u'(x) = 2x-1$.
La primitive de $u'u^n$ est $\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$.
$$F(x) = \dfrac{1}{3}(x^{2}-x)^{3} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{1}{3}(2^{2}-2)^{3} + C = 0$$
$$F(2) = \dfrac{1}{3}(2)^{3} + C = 0 \implies \dfrac{8}{3} + C = 0 \implies C = -\dfrac{8}{3}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{1}{3}(x^{2}-x)^{3} - \dfrac{8}{3}$$

 9) $f(x)=\dfrac{2x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

 Intervalle de Définition
Le dénominateur $x^2+x+1$ est toujours positif (discriminant négatif).
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous reconnaissons la forme $\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^2}$, avec $u(x) = x^2+x+1$ et $u'(x) = 2x+1$.
La primitive de $\dfrac{u'}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
$$F(x) = -\dfrac{1}{x^{2}+x+1} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = -\dfrac{1}{2^{2}+2+1} + C = 0$$
$$F(2) = -\dfrac{1}{7} + C = 0 \implies C = \dfrac{1}{7}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = -\dfrac{1}{x^{2}+x+1} + \dfrac{1}{7}$$

 10) $f(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

 Intervalle de Définition
$x^2+1$ est toujours positif.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous cherchons à faire apparaître la forme $\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$, dont la primitive est $2\sqrt{u(x)}$.
Ici, $u(x) = x^2+1$ et $u'(x) = 2x$.
$$f(x) = 3 \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$$
$$F(x) = \dfrac{3}{2} \cdot \left(2\sqrt{x^{2}+1}\right) + C = 3\sqrt{x^{2}+1} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = 3\sqrt{2^{2}+1} + C = 0$$
$$F(2) = 3\sqrt{5} + C = 0 \implies C = -3\sqrt{5}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = 3\sqrt{x^{2}+1} - 3\sqrt{5}$$

 11) $f(x)=\dfrac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie pour $x \neq 0$. L'intervalle contenant $x=2$ est :
$$I = ]0\;;\ +\infty[$$

 Détermination de la Primitive Générale
Simplifions $f(x)$ : $f(x) = x^{2} + 1 + x^{-2}$.
Nous cherchons $F(x)$ telle que $F'(x) = x^{2} + 1 + x^{-2}$.
$$F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x - \dfrac{1}{x} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{2^3}{3} + 2 - \dfrac{1}{2} + C = 0$$
$$F(2) = \dfrac{8}{3} + \dfrac{3}{2} + C = 0 \implies \dfrac{16+9}{6} + C = 0 \implies C = -\dfrac{25}{6}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{x^3}{3} + x - \dfrac{1}{x} - \dfrac{25}{6}$$

 12) $f(x)=3\sin\dfrac{\pi x}{2}$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
La primitive de $\sin(ax)$ est $-\dfrac{1}{a}\cos(ax)$. Ici $a = \dfrac{\pi}{2}$.
$$F(x) = 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{\pi/2}\right) \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) + C = -\dfrac{6}{\pi} \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = -\dfrac{6}{\pi} \cos\left(\dfrac{\pi \cdot 2}{2}\right) + C = 0$$
$$F(2) = -\dfrac{6}{\pi} \cos(\pi) + C = 0 \implies -\dfrac{6}{\pi} (-1) + C = 0 \implies C = -\dfrac{6}{\pi}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = -\dfrac{6}{\pi} \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right) - \dfrac{6}{\pi}$$

 13) $f(x)=\sin^{2}x$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous utilisons la formule trigonométrique $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$$f(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(2x)$$
La primitive de $\cos(ax)$ est $\dfrac{1}{a}\sin(ax)$.
$$F(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sin(2x) + C = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{1}{2}(2) - \dfrac{1}{4}\sin(2 \cdot 2) + C = 0$$
$$F(2) = 1 - \dfrac{1}{4}\sin(4) + C = 0 \implies C = \dfrac{1}{4}\sin(4) - 1$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{4}\sin(4) - 1$$

 14) $f(x)=\sin3x+\cos(2x+3)$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
$$F(x) = \left(-\dfrac{1}{3}\cos(3x)\right) + \left(\dfrac{1}{2}\sin(2x+3)\right) + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = -\dfrac{1}{3}\cos(6) + \dfrac{1}{2}\sin(7) + C = 0$$
$$C = \dfrac{1}{3}\cos(6) - \dfrac{1}{2}\sin(7)$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = -\dfrac{1}{3}\cos(3x) + \dfrac{1}{2}\sin(2x+3) + \dfrac{1}{3}\cos(6) - \dfrac{1}{2}\sin(7)$$

 15) $f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie pour $\sin x \neq 0$, soit $x \neq k\pi$. L'intervalle contenant $x=2$ est :
$$I = ]0\;;\ \pi[$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous reconnaissons la forme $\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^2}$, avec $u(x) = \sin x$ et $u'(x) = \cos x$.
La primitive est $-\dfrac{1}{u(x)}$.
$$F(x) = -\dfrac{1}{\sin x} + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = -\dfrac{1}{\sin(2)} + C = 0 \implies C = \dfrac{1}{\sin(2)}$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = -\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin(2)}$$

 16) $f(x)=\sin^{2}x\cos x$

 Intervalle de Définition
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
$$I = \mathbb{R}$$

 Détermination de la Primitive Générale
Nous reconnaissons la forme $u'(x) [u(x)]^n$, avec $u(x) = \sin x$ et $u'(x) = \cos x$.
La primitive est $\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$.
$$F(x) = \dfrac{1}{3}\sin^{3}x + C$$

 Primitive qui s'annule en $x=2$
Nous trouvons la constante $C$ telle que $F(2) = 0$.
$$F(2) = \dfrac{1}{3}\sin^{3}(2) + C = 0 \implies C = -\dfrac{1}{3}\sin^{3}(2)$$
La primitive qui s'annule en $x=2$ est :
$$F_2(x) = \dfrac{1}{3}\sin^{3}x - \dfrac{1}{3}\sin^{3}(2)$$

Exercice 1 : Recherche d'asymptotes

Pour montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = ax+b$ est une asymptote oblique ou horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ en $\pm\infty$, nous devons vérifier que :
$$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$$

Pour étudier la **position relative** de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$, nous étudions le signe de la différence $d(x) = f(x) - (ax+b)$.
   Si $d(x) > 0$, alors $\mathcal{C}$ est **au-dessus** de $\mathcal{D}$.
   Si $d(x) < 0$, alors $\mathcal{C}$ est **en-dessous** de $\mathcal{D}$.
   Si $d(x) = 0$, alors $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ se **coupent**.

 1) $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=3$

 a. Démonstration de l'asymptote

La droite $\mathcal{D}$ est une droite horizontale ($y=3$). Nous devons calculer la limite de $f(x)$ en $\pm\infty$.

$$
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x+1}{x-1}
$$
Comme il s'agit d'une fonction rationnelle, la limite est le rapport des termes de plus haut degré :
$$
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x}{x} = 3
$$
Puisque $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=3$ est bien une **asymptote horizontale** à la courbe $\mathcal{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

 b. Étude de la position relative

Nous étudions le signe de la différence $d(x) = f(x) - y_{\mathcal{D}}$ :
$$
d(x) = f(x) - 3 = \dfrac{3x+1}{x-1} - 3
$$
Mettons au même dénominateur :
$$
d(x) = \dfrac{3x+1}{x-1} - \dfrac{3(x-1)}{x-1} = \dfrac{(3x+1) - (3x-3)}{x-1}
$$
$$
d(x) = \dfrac{3x+1 - 3x+3}{x-1} = \dfrac{4}{x-1}
$$
Le signe de $d(x)$ dépend uniquement du signe du dénominateur $x-1$, car le numérateur est $4 > 0$.

 

Intervalle	$x-1$	$d(x) = \dfrac{4}{x-1}$	Position relative
$]-\infty\;;\ 1[$	-	-	$\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{D}$
$]1\;;\ +\infty[$	+	+	$\mathcal{C}$ est au-dessus de $ \mathcal{D}$

 2) $f(x)=2x-1+\dfrac{1}{x-2}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=2x-1$

 a. Démonstration de l'asymptote

La droite $\mathcal{D}$ est une droite oblique ($y=2x-1$). Nous devons calculer la limite de la différence $f(x) - y_{\mathcal{D}}$ en $\pm\infty$.
$$
d(x) = f(x) - (2x-1) = \left(2x-1+\dfrac{1}{x-2}\right) - (2x-1)
$$
$$
d(x) = \dfrac{1}{x-2}
$$
Calculons la limite de $d(x)$ :
$$
\lim_{x \to \pm\infty} d(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x-2} = 0
$$
Puisque $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (2x-1)] = 0$, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-1$ est bien une **asymptote oblique** à la courbe $\mathcal{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

 b. Étude de la position relative

Nous étudions le signe de la différence $d(x) = \dfrac{1}{x-2}$.
Le signe de $d(x)$ dépend uniquement du signe du dénominateur $x-2$, car le numérateur est $1 > 0$.

Intervalle	$x-2$	$d(x) = \dfrac{1}{x-2}$	Position relative
$]-\infty\;;\ 2[$	-	-	$\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{D}$
$]2\;;\ +\infty[$	+	+	$\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$

 3) $f(x)=\dfrac{-x^{2}+2}{x+1}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=-x+1$

 a. Démonstration de l'asymptote

La droite $\mathcal{D}$ est une droite oblique ($y=-x+1$). Nous calculons la limite de la différence $d(x) = f(x) - y_{\mathcal{D}}$ en $\pm\infty$.
$$
d(x) = \dfrac{-x^{2}+2}{x+1} - (-x+1)
$$
Mettons au même dénominateur $x+1$ :
$$
d(x) = \dfrac{-x^{2}+2}{x+1} - \dfrac{(-x+1)(x+1)}{x+1}
$$
Le numérateur de la deuxième fraction est $(-x+1)(x+1) = -(x-1)(x+1) = -(x^2-1) = -x^2+1$.
$$
d(x) = \dfrac{(-x^{2}+2) - (-x^{2}+1)}{x+1}
$$
$$
d(x) = \dfrac{-x^{2}+2 + x^{2}-1}{x+1} = \dfrac{1}{x+1}
$$
Calculons la limite de $d(x)$ :
$$
\lim_{x \to \pm\infty} d(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x+1} = 0
$$
Puisque $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (-x+1)] = 0$, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-x+1$ est bien une **asymptote oblique** à la courbe $\mathcal{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

 b. Étude de la position relative

Nous étudions le signe de la différence $d(x) = \dfrac{1}{x+1}$.
Le signe de $d(x)$ dépend uniquement du signe du dénominateur $x+1$, car le numérateur est $1 > 0$.

Intervalle	$x+1$	$d(x) = \dfrac{1}{x+1}$	Position relative
$]-\infty\;;\ -1[$	-	-	$\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{D}$
$]-1\;;\ +\infty[$	+	+	$\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$

 4) $f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=x$

 a. Démonstration de l'asymptote

La droite $\mathcal{D}$ est une droite oblique ($y=x$). Nous calculons la limite de la différence $d(x) = f(x) - y_{\mathcal{D}}$ en $\pm\infty$.
$$
d(x) = \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1} - x
$$
Mettons au même dénominateur $x^2+1$ :
$$
d(x) = \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1} - \dfrac{x(x^{2}+1)}{x^{2}+1} = \dfrac{x^{3} - (x^{3}+x)}{x^{2}+1}
$$
$$
d(x) = \dfrac{x^{3} - x^{3} - x}{x^{2}+1} = \dfrac{-x}{x^{2}+1}
$$
Calculons la limite de $d(x)$ :
$$
\lim_{x \to \pm\infty} d(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{-x}{x^{2}+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{-x}{x^{2}} = \lim_{x \to \pm\infty} -\dfrac{1}{x} = 0
$$
Puisque $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - x] = 0$, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est bien une **asymptote oblique** à la courbe $\mathcal{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

 b. Étude de la position relative

Nous étudions le signe de la différence $d(x) = \dfrac{-x}{x^{2}+1}$.
Le dénominateur $x^2+1$ est toujours strictement positif. Le signe de $d(x)$ dépend donc uniquement du signe du numérateur $-x$.

Intervalle	$-x$	$d(x) = \dfrac{-x}{x^{2}+1}$	Position relative
$]-\infty\;;\ 0[$	+	+	$\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$
$0$	$0$	$0$	$\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ se coupent
$]0\;;\ +\infty[$	-	-	$\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{D}$

 5) $f(x)=\dfrac{x+3}{x^{2}-4x}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=0$

 1. Démonstration de l'asymptote

La droite $\mathcal{D}$ est l'axe des abscisses ($y=0$). Nous devons calculer la limite de $f(x)$ en $\pm\infty$.
$$
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x+3}{x^{2}-4x}
$$
Comme le degré du numérateur (1) est inférieur au degré du dénominateur (2), la limite est $0$.
$$
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x}{x^{2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x} = 0
$$
Puisque $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$, la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=0$ est bien une **asymptote horizontale** à la courbe $\mathcal{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

 2. Étude de la position relative

Nous étudions le signe de la différence $d(x) = f(x) - 0 = f(x) = \dfrac{x+3}{x(x-4)}$.
Nous devons étudier le signe du numérateur $x+3$ et du dénominateur $x(x-4)$. Les racines sont $x=-3$, $x=0$ et $x=4$.

Intervalle	$x+3$	$x$	$x-4$	$d(x)$	Position relative
$]-\infty\;;\ -3[$	-	-	-	-	$\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{D}$
$-3$	$0$	-	-	$0$	$\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ se coupent
$]-3\;;\ 0[$	+	-	-	+	$\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$
$]0\;;\ 4[$	+	+	-	-	$\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{D}$
$]4\;;\ +\infty[$	+	+	+	+	$\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$

 6) $f(x)=\sqrt{x^{2}-x+3}\qquad\mathcal{D}\ :\ y=x-\dfrac{1}{2}$

 1. Démonstration de l'asymptote

Domaine de définition :** Le discriminant de $x^2-x+3$ est $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 < 0$. Comme le coefficient de $x^2$ est positif, $x^2-x+3$ est toujours positif. Donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

La droite $\mathcal{D}$ est une droite oblique. Nous devons étudier la limite de $d(x) = f(x) - y_{\mathcal{D}}$ en $\pm\infty$.

Cas $x \to +\infty$ :**
$$
d(x) = \sqrt{x^{2}-x+3} - \left(x-\dfrac{1}{2}\right)
$$
Nous multiplions par l'expression conjuguée pour lever l'indétermination $(\infty - \infty)$ :
$$
d(x) = \dfrac{\left(\sqrt{x^{2}-x+3} - \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right) \left(\sqrt{x^{2}-x+3} + \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right)}{\sqrt{x^{2}-x+3} + \left(x-\dfrac{1}{2}\right)}
$$
En utilisant $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ :
$$
d(x) = \dfrac{(x^{2}-x+3) - \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2}-x+3} + x-\dfrac{1}{2}}
$$
Développons le numérateur :
$$
\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2} = x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 - x + \dfrac{1}{4}
$$
Le numérateur devient :
$$
N(x) = (x^{2}-x+3) - (x^2 - x + \dfrac{1}{4}) = x^2-x+3 - x^2+x - \dfrac{1}{4} = 3 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{4}
$$
Donc :
$$
d(x) = \dfrac{\dfrac{11}{4}}{\sqrt{x^{2}-x+3} + x-\dfrac{1}{2}}
$$
Calculons la limite en $+\infty$ :
$$
\lim_{x \to +\infty} d(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{11}{4}}{\sqrt{x^{2}-x+3} + x-\dfrac{1}{2}}
$$
Le dénominateur tend vers $+\infty + \infty = +\infty$.
$$
\lim_{x \to +\infty} d(x) = \dfrac{11/4}{+\infty} = 0
$$
La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x-\dfrac{1}{2}$ est une **asymptote oblique** à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.

Cas $x \to -\infty$ :**
Pour $x \to -\infty$, nous devons chercher une autre asymptote oblique. La droite $\mathcal{D}$ n'est pas l'asymptote en $-\infty$.
L'asymptote en $-\infty$ est $y = -x + \dfrac{1}{2}$.
*Note : L'énoncé demande de montrer que $\mathcal{D}$ est asymptote en $-\infty$ et en $+\infty$. Il y a une erreur dans l'énoncé pour le cas $x \to -\infty$. Je vais montrer que $\mathcal{D}$ n'est pas l'asymptote en $-\infty$ et donner la bonne asymptote.*

Calculons $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ :
$$
\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2}-x+3}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2(1-1/x+3/x^2)}}{x}
$$
Puisque $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$.
$$
\lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x\sqrt{1-1/x+3/x^2}}{x} = \lim_{x \to -\infty} -\sqrt{1-1/x+3/x^2} = -1
$$
Donc $a = -1$.
Calculons $b = \lim_{x \to -\infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to -\infty} [\sqrt{x^{2}-x+3} - (-x)] = \lim_{x \to -\infty} [\sqrt{x^{2}-x+3} + x]$.
En multipliant par le conjugué :
$$
b = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{(x^{2}-x+3) - x^2}{\sqrt{x^{2}-x+3} - x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x+3}{\sqrt{x^{2}-x+3} - x}
$$
En divisant par $x$ au numérateur et au dénominateur (en se rappelant que $\sqrt{x^2} = -x$ pour $x \to -\infty$) :
$$
b = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-1+3/x}{\dfrac{\sqrt{x^{2}-x+3}}{x} - 1} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-1+3/x}{-\sqrt{1-1/x+3/x^2} - 1} = \dfrac{-1}{-1-1} = \dfrac{1}{2}
$$
L'asymptote en $-\infty$ est $\mathcal{D}' : y = -x + \dfrac{1}{2}$.

Conclusion pour l'asymptote : La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x-\dfrac{1}{2}$ est une **asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ uniquement en $+\infty$.

 2. Étude de la position relative (en $+\infty$)

Nous étudions le signe de la différence $d(x) = f(x) - y_{\mathcal{D}}$ pour $x \to +\infty$.
Nous avons trouvé :
$$
d(x) = \dfrac{\dfrac{11}{4}}{\sqrt{x^{2}-x+3} + x-\dfrac{1}{2}}
$$
Pour $x \to +\infty$, le numérateur est $\dfrac{11}{4} > 0$. Le dénominateur est une somme de termes positifs (car $x-\dfrac{1}{2} > 0$ pour $x$ grand).
Donc, $d(x) > 0$ pour $x$ suffisamment grand.
La courbe $\mathcal{C}$ est **au-dessus** de l'asymptote $\mathcal{D}$ en $+\infty$.