Solutions des exercices: Série d'exercice sur les dérivées et applications 1e S

Exercice 1 : Dérivabilité par Définition et Tangentes

Pour étudier la dérivabilité d'une fonction $f$ au point $x_{0}$, nous devons calculer la limite du taux d'accroissement :
$$f'(x_{0}) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}$$
Si cette limite existe et est finie, alors $f$ est dérivable en $x_{0}$.

L'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $M_{0}(x_{0}, f(x_{0}))$ est donnée par :
$$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$$

 1) $f(x)=x^{3}+3x^{2}$ en $x_{0}=-1$

 Calcul de $f(x_{0})$
$$f(-1) = (-1)^{3} + 3(-1)^{2} = -1 + 3(1) = 2$$

 Calcul du taux d'accroissement
$$\tau(h) = \dfrac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$$
$$f(-1+h) = (-1+h)^{3} + 3(-1+h)^{2}$$
$$f(-1+h) = (-1 + 3h - 3h^{2} + h^{3}) + 3(1 - 2h + h^{2})$$
$$f(-1+h) = -1 + 3h - 3h^{2} + h^{3} + 3 - 6h + 3h^{2}$$
$$f(-1+h) = h^{3} - 3h + 2$$

$$\tau(h) = \dfrac{(h^{3} - 3h + 2) - 2}{h} = \dfrac{h^{3} - 3h}{h} = h^{2} - 3$$

 Calcul de la limite
$$f'(-1) = \lim_{h \to 0} (h^{2} - 3) = 0^{2} - 3 = -3$$

Puisque la limite est finie ($-3$), $f$ est dérivable en $x_{0}=-1$, et $f'(-1) = -3$.

 Équation de la tangente
Le point de tangence est $M_{0}(-1, 2)$ et la pente est $m = -3$.
$$y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)$$
$$y = -3(x + 1) + 2$$
$$y = -3x - 3 + 2$$
$$y = -3x - 1$$

 2) $f(x)=\dfrac{1}{2x^{2}}$ en $x_{0}=3$

 Calcul de $f(x_{0})$
$$f(3) = \dfrac{1}{2(3)^{2}} = \dfrac{1}{2(9)} = \dfrac{1}{18}$$

 Calcul du taux d'accroissement
$$\tau(h) = \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{2(3+h)^{2}} - \dfrac{1}{18}}{h}$$
$$\tau(h) = \dfrac{1}{h} \left( \dfrac{9 - (3+h)^{2}}{18(3+h)^{2}} \right)$$
$$\tau(h) = \dfrac{1}{h} \left( \dfrac{9 - (9 + 6h + h^{2})}{18(3+h)^{2}} \right)$$
$$\tau(h) = \dfrac{1}{h} \left( \dfrac{-6h - h^{2}}{18(3+h)^{2}} \right)$$
$$\tau(h) = \dfrac{h(-6 - h)}{h \cdot 18(3+h)^{2}} = \dfrac{-6 - h}{18(3+h)^{2}}$$

 Calcul de la limite
$$f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-6 - h}{18(3+h)^{2}} = \dfrac{-6 - 0}{18(3+0)^{2}} = \dfrac{-6}{18(9)} = \dfrac{-6}{162} = -\dfrac{1}{27}$$

Puisque la limite est finie ($-\frac{1}{27}$), $f$ est dérivable en $x_{0}=3$, et $f'(3) = -\frac{1}{27}$.

 Équation de la tangente
Le point de tangence est $M_{0}(3, \frac{1}{18})$ et la pente est $m = -\frac{1}{27}$.
$$y = f'(3)(x - 3) + f(3)$$
$$y = -\dfrac{1}{27}(x - 3) + \dfrac{1}{18}$$
$$y = -\dfrac{1}{27}x + \dfrac{3}{27} + \dfrac{1}{18}$$
$$y = -\dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18}$$
$$y = -\dfrac{1}{27}x + \dfrac{2}{18} + \dfrac{1}{18}$$
$$y = -\dfrac{1}{27}x + \dfrac{3}{18}$$
$$y = -\dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{6}$$

 3) $f(x)=\sqrt{x+5}$ en $x_{0}=4$

 Calcul de $f(x_{0})$
$$f(4) = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$$

 Calcul du taux d'accroissement
$$\tau(h) = \dfrac{f(4+h) - f(4)}{h} = \dfrac{\sqrt{(4+h)+5} - 3}{h} = \dfrac{\sqrt{9+h} - 3}{h}$$
Nous multiplions par le conjugué :
$$\tau(h) = \dfrac{\sqrt{9+h} - 3}{h} \cdot \dfrac{\sqrt{9+h} + 3}{\sqrt{9+h} + 3}$$
$$\tau(h) = \dfrac{(9+h) - 9}{h(\sqrt{9+h} + 3)} = \dfrac{h}{h(\sqrt{9+h} + 3)} = \dfrac{1}{\sqrt{9+h} + 3}$$

 Calcul de la limite
$$f'(4) = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{9+h} + 3} = \dfrac{1}{\sqrt{9+0} + 3} = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$$

Puisque la limite est finie ($\frac{1}{6}$), $f$ est dérivable en $x_{0}=4$, et $f'(4) = \frac{1}{6}$.

 Équation de la tangente
Le point de tangence est $M_{0}(4, 3)$ et la pente est $m = \frac{1}{6}$.
$$y = f'(4)(x - 4) + f(4)$$
$$y = \dfrac{1}{6}(x - 4) + 3$$
$$y = \dfrac{1}{6}x - \dfrac{4}{6} + 3$$
$$y = \dfrac{1}{6}x - \dfrac{2}{3} + \dfrac{9}{3}$$
$$y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{3}$$

 4) $f(x)=\sqrt{x^{2}+4x+4}$ en $x_{0}=-2$

 Simplification de $f(x)$
Nous remarquons que $x^{2}+4x+4 = (x+2)^{2}$.
Donc, $f(x) = \sqrt{(x+2)^{2}} = |x+2|$.

 Calcul de $f(x_{0})$
$$f(-2) = |-2+2| = 0$$

 Calcul du taux d'accroissement
$$\tau(h) = \dfrac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \dfrac{|(-2+h)+2| - 0}{h} = \dfrac{|h|}{h}$$

 Calcul des limites unilatérales
Nous devons calculer les limites à gauche et à droite car la fonction $|h|/h$ n'a pas de limite unique en $h=0$.

Limite à droite ($h \to 0^{+}$) : Si $h > 0$, alors $|h| = h$.
$$\lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{h}{h} = 1$$
La dérivée à droite est $f'_{d}(-2) = 1$.

Limite à gauche ($h \to 0^{-}$) : Si $h < 0$, alors $|h| = -h$.
$$\lim_{h \to 0^{-}} \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} \dfrac{-h}{h} = -1$$
La dérivée à gauche est $f'_{g}(-2) = -1$.

Puisque $f'_{d}(-2) \neq f'_{g}(-2)$, $f$ n'est pas dérivable en $x_{0}=-2$.

 Interprétation géométrique
Au point $M_{0}(-2, 0)$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un point anguleux.

Demi-tangente à droite ($x \geq -2$) :
    $$y = f'_{d}(-2)(x - (-2)) + f(-2) \implies y = 1(x + 2) + 0 \implies y = x + 2$$
Demi-tangente à gauche ($x \leq -2$) :
    $$y = f'_{g}(-2)(x - (-2)) + f(-2) \implies y = -1(x + 2) + 0 \implies y = -x - 2$$

 5) $f(x)=\dfrac{x+3}{x}$ en $x_{0}=-2$

 Calcul de $f(x_{0})$
$$f(-2) = \dfrac{-2+3}{-2} = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{1}{2}$$

 Calcul du taux d'accroissement
$$\tau(h) = \dfrac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \dfrac{\dfrac{(-2+h)+3}{-2+h} - (-\dfrac{1}{2})}{h}$$
$$\tau(h) = \dfrac{1}{h} \left( \dfrac{h+1}{h-2} + \dfrac{1}{2} \right)$$
$$\tau(h) = \dfrac{1}{h} \left( \dfrac{2(h+1) + 1(h-2)}{2(h-2)} \right)$$
$$\tau(h) = \dfrac{1}{h} \left( \dfrac{2h+2 + h-2}{2(h-2)} \right)$$
$$\tau(h) = \dfrac{1}{h} \left( \dfrac{3h}{2(h-2)} \right) = \dfrac{3}{2(h-2)}$$

 Calcul de la limite
$$f'(-2) = \lim_{h \to 0} \dfrac{3}{2(h-2)} = \dfrac{3}{2(0-2)} = \dfrac{3}{-4} = -\dfrac{3}{4}$$

Puisque la limite est finie ($-\frac{3}{4}$), $f$ est dérivable en $x_{0}=-2$, et $f'(-2) = -\frac{3}{4}$.

 Équation de la tangente
Le point de tangence est $M_{0}(-2, -\frac{1}{2})$ et la pente est $m = -\frac{3}{4}$.
$$y = f'(-2)(x - (-2)) + f(-2)$$
$$y = -\dfrac{3}{4}(x + 2) - \dfrac{1}{2}$$
$$y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{2}$$
$$y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}$$
$$y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{4}{2}$$
$$y = -\dfrac{3}{4}x - 2$$

 6) $f(x)=|x(x-1)|$ en $x_{0}=0$ et $x'_{0}=1$

 Étude en $x_{0}=0$

Définition de $f(x)$ autour de $x=0$ :
Pour $x$ proche de $0$ et $x \neq 0$, $x$ et $x-1$ sont de signes opposés (par exemple, si $x=0.1$, $x-1=-0.9$). Donc $x(x-1) < 0$.
Ainsi, $f(x) = |x(x-1)| = -(x^{2}-x) = -x^{2}+x$.
$$f(0) = |0(0-1)| = 0$$

Calcul du taux d'accroissement :
$$\tau(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h(h-1)| - 0}{h}$$
Pour $h$ proche de $0$, $h-1$ est négatif, donc $h(h-1)$ est du signe opposé à $h$.
Si $h \to 0^{+}$, $h > 0$, $h(h-1) < 0$, donc $|h(h-1)| = -h(h-1) = -h^{2}+h$.
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{-h^{2}+h}{h} = -h+1$$
Si $h \to 0^{-}$, $h < 0$, $h(h-1) > 0$, donc $|h(h-1)| = h(h-1) = h^{2}-h$.
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{h^{2}-h}{h} = h-1$$

Calcul des limites unilatérales :
$$f'_{d}(0) = \lim_{h \to 0^{+}} (-h+1) = 1$$
$$f'_{g}(0) = \lim_{h \to 0^{-}} (h-1) = -1$$

Puisque $f'_{d}(0) \neq f'_{g}(0)$, $f$ n'est pas dérivable en $x_{0}=0$.

 Interprétation géométrique en $x_{0}=0$
Au point $M_{0}(0, 0)$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un point anguleux.
   Demi-tangente à droite : $y = 1(x - 0) + 0 \implies y = x$
   Demi-tangente à gauche : $y = -1(x - 0) + 0 \implies y = -x$

 Étude en $x'_{0}=1$

Définition de $f(x)$ autour de $x=1$ :
Pour $x$ proche de $1$ et $x \neq 1$, $x$ est positif. $x-1$ est du signe de $x-1$.
Si $x > 1$, $x-1 > 0$, $x(x-1) > 0$, donc $f(x) = x^{2}-x$.
Si $x < 1$, $x-1 < 0$, $x(x-1) < 0$, donc $f(x) = -(x^{2}-x) = -x^{2}+x$.
$$f(1) = |1(1-1)| = 0$$

Calcul du taux d'accroissement :
$$\tau(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{|(1+h)((1+h)-1)|}{h} = \dfrac{|(1+h)h|}{h}$$

Si $h \to 0^{+}$, $1+h > 0$ et $h > 0$, donc $(1+h)h > 0$. $|(1+h)h| = (1+h)h = h+h^{2}$.
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{h+h^{2}}{h} = 1+h$$
Si $h \to 0^{-}$, $1+h > 0$ et $h < 0$, donc $(1+h)h < 0$. $|(1+h)h| = -(1+h)h = -h-h^{2}$.
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{-h-h^{2}}{h} = -1-h$$

Calcul des limites unilatérales :
$$f'_{d}(1) = \lim_{h \to 0^{+}} (1+h) = 1$$
$$f'_{g}(1) = \lim_{h \to 0^{-}} (-1-h) = -1$$

Puisque $f'_{d}(1) \neq f'_{g}(1)$, $f$ n'est pas dérivable en $x'_{0}=1$.

 Interprétation géométrique en $x'_{0}=1$
Au point $M'_{0}(1, 0)$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un point anguleux.
   Demi-tangente à droite : $y = 1(x - 1) + 0 \implies y = x - 1$
   Demi-tangente à gauche : $y = -1(x - 1) + 0 \implies y = -x + 1$

 7) $f(x)=x|x-3|$ en $x_{0}=0$ et $x'_{0}=1$

 Étude en $x_{0}=0$

Définition de $f(x)$ autour de $x=0$ :
Pour $x$ proche de $0$, $x-3$ est négatif (par exemple, si $x=0.1$, $x-3=-2.9$).
Donc $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
$$f(x) = x(3-x) = 3x - x^{2}$$
$$f(0) = 0$$

Calcul du taux d'accroissement :
$$\tau(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{3h - h^{2}}{h} = 3 - h$$

Calcul de la limite :
$$f'(0) = \lim_{h \to 0} (3 - h) = 3$$

Puisque la limite est finie ($3$), $f$ est dérivable en $x_{0}=0$, et $f'(0) = 3$.

 Équation de la tangente
Le point de tangence est $M_{0}(0, 0)$ et la pente est $m = 3$.
$$y = 3(x - 0) + 0$$
$$y = 3x$$

 Étude en $x'_{0}=1$

Définition de $f(x)$ autour de $x=1$ :
Pour $x$ proche de $1$, $x-3$ est négatif.
Donc $|x-3| = 3-x$.
$$f(x) = 3x - x^{2}$$
$$f(1) = 3(1) - 1^{2} = 2$$

Calcul du taux d'accroissement :
$$\tau(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{(3(1+h) - (1+h)^{2}) - 2}{h}$$
$$\tau(h) = \dfrac{(3+3h - (1+2h+h^{2})) - 2}{h}$$
$$\tau(h) = \dfrac{3+3h - 1-2h-h^{2} - 2}{h}$$
$$\tau(h) = \dfrac{h - h^{2}}{h} = 1 - h$$

Calcul de la limite :
$$f'(1) = \lim_{h \to 0} (1 - h) = 1$$

Puisque la limite est finie ($1$), $f$ est dérivable en $x'_{0}=1$, et $f'(1) = 1$.

 Équation de la tangente
Le point de tangence est $M'_{0}(1, 2)$ et la pente est $m = 1$.
$$y = 1(x - 1) + 2$$
$$y = x - 1 + 2$$
$$y = x + 1$$

 8) Fonction définie par morceaux en $x_{0}=1$

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} x^{2}-1 & \text{ si} & x<1 \\ \\ \dfrac{x-1}{x+1} & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$$

 1. Vérification de la continuité en $x_{0}=1$
Pour que $f$ soit dérivable en $x_{0}=1$, elle doit d'abord être continue en ce point.

$$f(1) = \dfrac{1-1}{1+1} = 0$$
$$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2}-1) = 1^{2}-1 = 0$$
$$\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{1-1}{1+1} = 0$$
Puisque $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) = 0$, $f$ est continue en $x_{0}=1$.

 2. Calcul des dérivées unilatérales

Dérivée à droite ($x \to 1^{+}$) :
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{\dfrac{(1+h)-1}{(1+h)+1} - 0}{h} = \dfrac{\dfrac{h}{h+2}}{h}$$
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{h}{h(h+2)} = \dfrac{1}{h+2}$$
$$f'_{d}(1) = \lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{1}{h+2} = \dfrac{1}{2}$$

Dérivée à gauche ($x \to 1^{-}$) :
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{((1+h)^{2}-1) - 0}{h}$$
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{(1+2h+h^{2}) - 1}{h} = \dfrac{2h+h^{2}}{h} = 2+h$$
$$f'_{g}(1) = \lim_{h \to 0^{-}} (2+h) = 2$$

Puisque $f'_{d}(1) \neq f'_{g}(1)$, $f$ n'est pas dérivable en $x_{0}=1$.

 Interprétation géométrique
Au point $M_{0}(1, 0)$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un point anguleux.
   Demi-tangente à droite : $y = \dfrac{1}{2}(x - 1) + 0 \implies y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$
   Demi-tangente à gauche : $y = 2(x - 1) + 0 \implies y = 2x - 2$

 9) $f(x)=\sqrt{|x^{2}-x|}$ en $x_{0}=0$ et $x'_{0}=1$

 Étude en $x_{0}=0$

Définition de $f(x)$ autour de $x=0$ :
$x^{2}-x = x(x-1)$. Pour $x$ proche de $0$, $x-1$ est négatif.
Si $x \to 0^{+}$, $x > 0$, $x(x-1) < 0$, donc $|x^{2}-x| = -(x^{2}-x) = x-x^{2}$.
Si $x \to 0^{-}$, $x < 0$, $x(x-1) > 0$, donc $|x^{2}-x| = x^{2}-x$.
$$f(0) = \sqrt{|0|} = 0$$

Dérivée à droite ($x \to 0^{+}$) :
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{\sqrt{h-h^{2}}}{h}$$
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{\sqrt{h(1-h)}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}\sqrt{1-h}}{h} = \dfrac{\sqrt{1-h}}{\sqrt{h}}$$
$$f'_{d}(0) = \lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{\sqrt{1-h}}{\sqrt{h}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{0^{+}}} = \dfrac{1}{0^{+}} = +\infty$$

Dérivée à gauche ($x \to 0^{-}$) :
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{\sqrt{h^{2}-h}}{h}$$
Pour $h < 0$, $h^{2}-h = h(h-1) > 0$.
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{\sqrt{h(h-1)}}{h}$$
Puisque $h < 0$, nous écrivons $h = -\sqrt{h^{2}}$.
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{\sqrt{h^{2}(1-1/h)}}{h} = \dfrac{|h|\sqrt{1-1/h}}{h} = \dfrac{-h\sqrt{1-1/h}}{h} = -\sqrt{1-1/h}$$
$$f'_{g}(0) = \lim_{h \to 0^{-}} -\sqrt{1-1/h} = -\sqrt{1 - (-\infty)} = -\sqrt{+\infty} = -\infty$$

Puisque les limites sont infinies, $f$ n'est pas dérivable en $x_{0}=0$.

 Interprétation géométrique en $x_{0}=0$
Au point $M_{0}(0, 0)$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente verticale (l'axe des ordonnées, $x=0$).

   Demi-tangente à droite : $x=0$ (dirigée vers le haut, car $f'_{d}(0) = +\infty$)
   Demi-tangente à gauche : $x=0$ (dirigée vers le bas, car $f'_{g}(0) = -\infty$)

 Étude en $x'_{0}=1$

Définition de $f(x)$ autour de $x=1$ :
$x^{2}-x = x(x-1)$. Pour $x$ proche de $1$, $x$ est positif.
Si $x \to 1^{+}$, $x-1 > 0$, $x(x-1) > 0$, donc $|x^{2}-x| = x^{2}-x$.
Si $x \to 1^{-}$, $x-1 < 0$, $x(x-1) < 0$, donc $|x^{2}-x| = -(x^{2}-x) = x-x^{2}$.
$$f(1) = 0$$

Dérivée à droite ($x \to 1^{+}$) :
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{\sqrt{(1+h)^{2}-(1+h)}}{h} = \dfrac{\sqrt{1+2h+h^{2}-1-h}}{h} = \dfrac{\sqrt{h+h^{2}}}{h}$$
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{\sqrt{h(1+h)}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}\sqrt{1+h}}{h} = \dfrac{\sqrt{1+h}}{\sqrt{h}}$$
$$f'_{d}(1) = \lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{\sqrt{1+h}}{\sqrt{h}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{0^{+}}} = +\infty$$

Dérivée à gauche ($x \to 1^{-}$) :
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{\sqrt{-( (1+h)^{2}-(1+h) )}}{h} = \dfrac{\sqrt{-(h+h^{2})}}{h}$$
Pour $h < 0$, $-(h+h^{2}) = -h(1+h) > 0$.
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{\sqrt{-h(1+h)}}{h}$$
Puisque $h < 0$, $h = -\sqrt{h^{2}}$.
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{\sqrt{(-h) \cdot (1+h)}}{h} = \dfrac{\sqrt{-h}\sqrt{1+h}}{h} = \dfrac{\sqrt{-h}\sqrt{1+h}}{-(\sqrt{-h})^{2}} = -\dfrac{\sqrt{1+h}}{\sqrt{-h}}$$
$$f'_{g}(1) = \lim_{h \to 0^{-}} -\dfrac{\sqrt{1+h}}{\sqrt{-h}} = -\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{0^{+}}} = -\infty$$

Puisque les limites sont infinies, $f$ n'est pas dérivable en $x'_{0}=1$.

 Interprétation géométrique en $x'_{0}=1$
Au point $M'_{0}(1, 0)$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente verticale ($x=1$).
   Demi-tangente à droite : $x=1$ (dirigée vers le haut, car $f'_{d}(1) = +\infty$)
   Demi-tangente à gauche : $x=1$ (dirigée vers le bas, car $f'_{g}(1) = -\infty$)

 10) $f(x)=x^{2}-|x|$ en $x_{0}=0$

 Définition de $f(x)$ autour de $x=0$
$$f(0) = 0^{2} - |0| = 0$$

Dérivée à droite ($x \to 0^{+}$) : Si $x > 0$, $|x| = x$.
$$f(x) = x^{2}-x$$
$$\tau_{d}(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{(h^{2}-h) - 0}{h} = h-1$$
$$f'_{d}(0) = \lim_{h \to 0^{+}} (h-1) = -1$$

Dérivée à gauche ($x \to 0^{-}$) : Si $x < 0$, $|x| = -x$.
$$f(x) = x^{2}-(-x) = x^{2}+x$$
$$\tau_{g}(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{(h^{2}+h) - 0}{h} = h+1$$
$$f'_{g}(0) = \lim_{h \to 0^{-}} (h+1) = 1$$

Puisque $f'_{d}(0) \neq f'_{g}(0)$, $f$ n'est pas dérivable en $x_{0}=0$.

 Interprétation géométrique
Au point $M_{0}(0, 0)$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet un point anguleux.
   Demi-tangente à droite : $y = -1(x - 0) + 0 \implies y = -x$
   Demi-tangente à gauche : $y = 1(x - 0) + 0 \implies y = x$

Exercice 2

Objectif : Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f(x)=\dfrac{3x^{2}+ax+b}{x^{2}+1}$ passe par $A(0\;;\ 1)$ et admette en $A$ une tangente d'équation $y=4x+1.$

 Étape 1 : Utiliser le point de passage $A(0\;;\ 1)$

Si la courbe passe par $A(0\;;\ 1)$, alors $f(0) = 1$.

$$f(0) = \dfrac{3(0)^{2}+a(0)+b}{(0)^{2}+1} = \dfrac{b}{1} = b$$

Puisque $f(0) = 1$, nous avons :
$$b = 1$$

La fonction devient donc :
$$f(x)=\dfrac{3x^{2}+ax+1}{x^{2}+1}$$

 Étape 2 : Utiliser l'équation de la tangente

L'équation de la tangente en un point d'abscisse $x_0$ est donnée par $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.
Au point $A(0\;;\ 1)$, l'abscisse est $x_0=0$.
L'équation de la tangente donnée est $y=4x+1$.

Le coefficient directeur de la tangente est $4$. Par définition, ce coefficient directeur est égal à $f'(0)$.
$$f'(0) = 4$$

Nous devons d'abord calculer la dérivée $f'(x)$.
La fonction est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x) = 3x^{2}+ax+1$ et $v(x) = x^{2}+1$.
Les dérivées sont $u'(x) = 6x+a$ et $v'(x) = 2x$.

La formule de la dérivée est $f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$.
$$f'(x) = \dfrac{(6x+a)(x^{2}+1) - (3x^{2}+ax+1)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}$$

 Étape 3 : Calculer $f'(0)$ et trouver $a$

Nous allons calculer $f'(0)$ en remplaçant $x$ par $0$ dans l'expression de $f'(x)$ :
$$f'(0) = \dfrac{(6(0)+a)((0)^{2}+1) - (3(0)^{2}+a(0)+1)(2(0))}{((0)^{2}+1)^{2}}$$
$$f'(0) = \dfrac{(a)(1) - (1)(0)}{(1)^{2}}$$
$$f'(0) = \dfrac{a - 0}{1} = a$$

Puisque nous savons que $f'(0) = 4$, nous avons :
$$a = 4$$

Les valeurs des réels sont $a=4$ et $b=1$.

 Exercice 3

Objectif : Déterminer $a$ pour que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f(x)=2x^{3}+ax^{2}+3$ admette au point d'abscisse $x_{0}=1$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

 Étape 1 : Interpréter la condition de la tangente

Une tangente parallèle à l'axe des abscisses (l'axe des $x$) est une droite horizontale.
Le coefficient directeur d'une droite horizontale est $0$.
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $x_{0}=1$ est $f'(1)$.
La condition est donc :
$$f'(1) = 0$$

 Étape 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$

La fonction est $f(x)=2x^{3}+ax^{2}+3$.
La dérivée est :
$$f'(x) = 2(3x^{2}) + a(2x) + 0$$
$$f'(x) = 6x^{2} + 2ax$$

 Étape 3 : Utiliser la condition $f'(1) = 0$

Nous remplaçons $x$ par $1$ dans l'expression de $f'(x)$ :
$$f'(1) = 6(1)^{2} + 2a(1)$$
$$f'(1) = 6 + 2a$$

Nous posons $f'(1) = 0$ :
$$6 + 2a = 0$$
$$2a = -6$$
$$a = \dfrac{-6}{2}$$
$$a = -3$$

La valeur du réel est $a=-3$.

 Exercice 4

Objectif : Déterminer $a\;,\ b\;,\ c$ pour que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f(x)=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{x-2}$ satisfasse trois conditions.

Conditions :
1.  Admette au point d'abscisse $x_{0}=0$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
2.  Coupe la courbe $\Gamma$ de $g(x)=-2x^{2}+x+5$ au point d'abscisse $x_{0}=1$.
3.  Admette en ce point ($x_{0}=1$) la même tangente que $\Gamma$.

 Étape 1 : Utiliser la première condition (Tangente horizontale en $x=0$)

Une tangente parallèle à l'axe des abscisses signifie que le coefficient directeur est $0$.
$$f'(0) = 0$$

Nous devons d'abord calculer la dérivée $f'(x)$.
La fonction est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x) = ax^{2}+bx+c$ et $v(x) = x-2$.
Les dérivées sont $u'(x) = 2ax+b$ et $v'(x) = 1$.

$$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{(2ax+b)(x-2) - (ax^{2}+bx+c)(1)}{(x-2)^{2}}$$

Calculons $f'(0)$ :
$$f'(0) = \dfrac{(2a(0)+b)(0-2) - (a(0)^{2}+b(0)+c)}{(0-2)^{2}}$$
$$f'(0) = \dfrac{(b)(-2) - (c)}{(-2)^{2}}$$
$$f'(0) = \dfrac{-2b - c}{4}$$

En posant $f'(0) = 0$ :
$$\dfrac{-2b - c}{4} = 0$$
$$-2b - c = 0 \quad \text{ (Équation 1)}$$

 Étape 2 : Utiliser la deuxième condition (Intersection en $x=1$)

Les deux courbes se coupent au point d'abscisse $x_{0}=1$, donc elles ont la même ordonnée en ce point :
$$f(1) = g(1)$$

Calculons $g(1)$ :
$$g(1) = -2(1)^{2} + (1) + 5 = -2 + 1 + 5 = 4$$
Donc, $f(1) = 4$.

Calculons $f(1)$ :
$$f(1) = \dfrac{a(1)^{2}+b(1)+c}{1-2} = \dfrac{a+b+c}{-1} = -(a+b+c)$$

En posant $f(1) = 4$ :
$$-(a+b+c) = 4$$
$$a+b+c = -4 \quad \text{ (Équation 2)}$$

 Étape 3 : Utiliser la troisième condition (Même tangente en $x=1$)

Avoir la même tangente en $x=1$ signifie que les coefficients directeurs des tangentes sont égaux :
$$f'(1) = g'(1)$$

Calculons la dérivée $g'(x)$ :
$$g'(x) = -2(2x) + 1 + 0 = -4x + 1$$

Calculons $g'(1)$ :
$$g'(1) = -4(1) + 1 = -3$$
Donc, $f'(1) = -3$.

Calculons $f'(1)$ en utilisant l'expression de $f'(x)$ de l'Étape 1 :
$$f'(1) = \dfrac{(2a(1)+b)(1-2) - (a(1)^{2}+b(1)+c)}{(1-2)^{2}}$$
$$f'(1) = \dfrac{(2a+b)(-1) - (a+b+c)}{(-1)^{2}}$$
$$f'(1) = \dfrac{-2a-b - a-b-c}{1}$$
$$f'(1) = -3a - 2b - c$$

En posant $f'(1) = -3$ :
$$-3a - 2b - c = -3 \quad \text{ (Équation 3)}$$

 Étape 4 : Résoudre le système d'équations

Nous avons le système de trois équations :
1.  $-2b - c = 0 \implies c = -2b$
2.  $a+b+c = -4$
3.  $-3a - 2b - c = -3$

Substituons $c = -2b$ dans les Équations 2 et 3.

Dans l'Équation 2 :
$$a + b + (-2b) = -4$$
$$a - b = -4 \implies a = b - 4 \quad \text{ (Équation 4)}$$

Dans l'Équation 3 :
$$-3a - 2b - (-2b) = -3$$
$$-3a - 2b + 2b = -3$$
$$-3a = -3$$
$$a = 1$$

Trouver $b$ :
En utilisant l'Équation 4 avec $a=1$ :
$$1 = b - 4$$
$$b = 1 + 4$$
$$b = 5$$

Trouver $c$ :
En utilisant l'Équation 1 avec $b=5$ :
$$c = -2b$$
$$c = -2(5)$$
$$c = -10$$

Les valeurs des réels sont $a=1$, $b=5$ et $c=-10$.

Exercice 5

Pour que la fonction \(f\) soit continue et dérivable en \(x_0 = 3\), les paramètres \(a\) et \(b\) doivent satisfaire deux conditions : la continuité et l'égalité des dérivées à gauche et à droite en \(x = 3\).

 Continuité en \(x = 3\)
La fonction est continue en \(x = 3\) si la limite à gauche et la limite à droite sont égales à \(f(3)\).

- Pour \(x \leq 3\), \(f(x) = ax + b\), donc \(f(3) = 3a + b\).
- Pour \(x > 3\), \(f(x) = \frac{\sqrt{2x + 3} - 3}{x - 3}\). La limite à droite est :
  \[
  \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{2x + 3} - 3}{x - 3}.
  \]
  En rationalisant le numérateur :
  \[
  \frac{\sqrt{2x + 3} - 3}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{2x + 3} + 3}{\sqrt{2x + 3} + 3} = \frac{2x - 6}{(x - 3)(\sqrt{2x + 3} + 3)} = \frac{2}{\sqrt{2x + 3} + 3}.
  \]
  Ainsi,
  \[
  \lim_{x \to 3^+} f(x) = \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 3 + 3} + 3} = \frac{2}{\sqrt{9} + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
  \]
  Pour la continuité, on doit avoir :
  \[
  3a + b = \frac{1}{3}. \quad \text{(Équation 1)}
  \]

 Dérivabilité en \(x = 3\)
La fonction est dérivable en \(x = 3\) si les dérivées à gauche et à droite sont égales.

- Dérivée à gauche : pour \(x < 3\), \(f(x) = ax + b\), donc \(f'(x) = a\). Ainsi, \(f'_-(3) = a\).
- Dérivée à droite : pour \(x > 3\), \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x + 3} + 3}\). La dérivée est :
  \[
  f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{\sqrt{2x + 3} + 3} \right) = -2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{2x + 3} + 3)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}.
  \]
  La limite à droite est :
  \[
  f'_+(3) = \lim_{x \to 3^+} f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{2 \cdot 3 + 3} + 3)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 3 + 3}} = -2 \cdot \frac{1}{(3 + 3)^2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{108} = -\frac{1}{54}.
  \]
  Pour la dérivabilité, on doit avoir :
  \[
  a = -\frac{1}{54}. \quad \text{(Équation 2)}
  \]

 Résolution du système
En substituant l'équation (2) dans l'équation (1) :
\[
3 \left( -\frac{1}{54} \right) + b = \frac{1}{3} \implies -\frac{1}{18} + b = \frac{1}{3} \implies b = \frac{1}{3} + \frac{1}{18} = \frac{6}{18} + \frac{1}{18} = \frac{7}{18}.
\]

 Conclusion
Les valeurs des paramètres pour que \(f\) soit continue et dérivable en \(x_0 = 3\) sont :
\[
\boxed{-\frac{1}{54}} \quad \text{et} \quad \boxed{\frac{7}{18}}
\]