Solution Série d'exercices : Calcul dans ℝ 2nd Serie 2

 1. $A = -1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$

On met au même dénominateur :

$$\begin{array}{rcl} A&=&-1 + \frac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\\&=& -\dfrac{12}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12}\\&=&\dfrac{-12 + 4 + 3}{12}\\&=&\dfrac{-5}{12} \end{array}$$

Réponse : $\boxed{A = -\dfrac{5}{12} }$

 2. $B = \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{7} \right)\times\left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2} \right)$

D’abord les parenthèses :

 $\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{7}= \dfrac{21 - 6}{14}= \dfrac{15}{14}$- $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2}=\dfrac{-2 + 15}{6}= \dfrac{13}{6}$

Donc :

$$B = \dfrac{15}{14} \times \dfrac{13}{6} = \dfrac{195}{84}$$

On simplifie ($3$ divise le numérateur et le dénominateur) :

$$B = \dfrac{65}{28}$$

Réponse : $\boxed{B = \dfrac{65}{28}}$

 3. $C = \left(3 - \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{7}{2} + 2 \right)$

 $3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9 - 2}{3} = \dfrac{7}{3}$
 $\dfrac{7}{2} + 2 = \dfrac{7 + 4}{2} = \dfrac{11}{2}$

Donc :

$$\begin{array}{rcl} C &=& \dfrac{7}{3} \div \dfrac{11}{2} \\&=& \dfrac{7}{3} \times \dfrac{2}{11} \\&=& \dfrac{14}{33}\end{array}$$

Réponse :$\boxed{ C = \dfrac{14}{33}}$

 4. $D = \dfrac{5}{-\dfrac{1}{2} \cdot 5 + \dfrac{1}{2}}$

Calcul au dénominateur :

 $-\dfrac{1}{2} \cdot 5= -\dfrac{5}{2}$
 $-\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} \\= -\dfrac{4}{2}= -2$

Donc :

$$D = \dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2}$$

Réponse : $\boxed{ D = -\dfrac{5}{2} }$

 

1. $E = 3\sqrt{12} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{75} + \sqrt{27}$

On commence par simplifier chaque racine :

 $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
 $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
 $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

Donc :

$$\begin{array}{rcl} E&=& 3(2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} + 5(5\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} \\&=& 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\end{array}$$

Additionnons les coefficients :

$$\begin{array}{rcl} E&=&(6 - 2 + 25 + 3)\sqrt{3}\\&=& 32\sqrt{3}\end{array}$$

Réponse : $\boxed{ E = 32\sqrt{3} }$

 2. $F = \sqrt{112} \times \sqrt{567}$

On utilise : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

$$F = \sqrt{112 \times 567}$$

Calculons ce produit :

$$\begin{array}{rcl} 112 \times 567 &=& (16 \times 7) \times (81 \times 7) \\&=& 16 \times 81 \times 49\end{array}$$

Or :

 $\sqrt{16} = 4$
 $\sqrt{81} = 9$
 $\sqrt{49} = 7$

Donc :

$$\begin{array}{rcl} F&=& \sqrt{16 \times 81 \times 49}\\&=&4 \times 9 \times 7\\&=& 252\end{array}$$

Réponse : $\boxed{ F = 252 }$

 3. $G = 5\sqrt{45} + \sqrt{5} + 3\sqrt{20}$

Simplifions chaque racine :

 $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
 $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

Donc :

$$G = 5(3\sqrt{5}) + \sqrt{5} + 3(2\sqrt{5}) = 15\sqrt{5} + \sqrt{5} + 6\sqrt{5}$$

$$G = (15 + 1 + 6)\sqrt{5} = 22\sqrt{5}$$

Réponse : $\boxed{ G = 22\sqrt{5}v }$

 4. $H = \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

On rationalise le dénominateur :

$$\begin{array}{rcl} H &=& \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} \times \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}\\&=& \dfrac{(2 - \sqrt{5})^2}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}\end{array}$$

Calcul du numérateur :

$$\begin{array}{rcl} (2 - \sqrt{5})^2&=& 4 - 4\sqrt{5} + 5 \\&=& 9 - 4\sqrt{5}\end{array}$$

Calcul du dénominateur :

$$\begin{array}{rcl} (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) &=& 4 - 5 \\&=& -1\end{array}$$

Donc :

$$\begin{array}{rcl} H &=& \dfrac{9 - 4\sqrt{5}}{-1} \\&=& -9 + 4\sqrt{5}\end{array}$$

Réponse : $\boxed{H = -9 + 4\sqrt{5} }$
 

 1. Écrire plus simplement les expressions suivantes

 a. $X = 3\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{72} - 2\sqrt{128}$

On simplifie les racines :

 $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
 $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
 $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$
 $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$

Donc :

$$X = 3(2\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 2(8\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 16\sqrt{2}$$

$$X = (6 + 4 - 6 - 16)\sqrt{2} = (-12)\sqrt{2}$$

Réponse : $X = -12\sqrt{2}$

 b. $Y = \sqrt{20} + 3\sqrt{45} - 7\sqrt{7} + \sqrt{500}$

Simplifions :

 $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$
 $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
 $\sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5}$

Donc :

$$Y = 2\sqrt{5} + 3(3\sqrt{5}) - 7\sqrt{7} + 10\sqrt{5} = 2\sqrt{5} + 9\sqrt{5} + 10\sqrt{5} - 7\sqrt{7}$$

$$Y = (2 + 9 + 10)\sqrt{5} - 7\sqrt{7} = 21\sqrt{5} - 7\sqrt{7}$$

Réponse : $Y = 21\sqrt{5} - 7\sqrt{7}$

 2. On donne :  
$m = 1 - 2\sqrt{3}$ et $p = \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}$

 a. Montrer que $m$ est négatif

 $2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.732 = 3.464$
- Donc $m \approx 1 - 3.464 = -2.464$

$1^2 = 1$
$(2\sqrt{3})^2 =(2)^2x(\sqrt{3})^2 =4x3=12$
$1 < 12$
Donc
$1^2 < (2\sqrt{3})^2$
 $1<2\sqrt{3}$
D'ou $1-2\sqrt{3} < 0$

Donc m est bien négatif.

 b. Calculer $m^2$ et en déduire que $p = -m$

On calcule :

$$\begin{array}{rcl} m^2&=& (1 - 2\sqrt{3})^2\\&=& 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\\&=&1 - 4\sqrt{3} + 12\\&=&13 - 4\sqrt{3}\end{array}$$

Donc :

$$\begin{array}{rcl} p = \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{m^2} = |m|= -m \quad \text{(car m est négatif)}\end{array}$$ \
Conclusion : $p = -m$

 1. Développer, réduire et ordonner :

 a. $A = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$

On utilise : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$$\begin{array}{rcl} A&=&(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \\&=& 5 - 2\sqrt{15} + 3 \\&=& 8 - 2\sqrt{15}\end{array}$$

Réponse : $A = 8 - 2\sqrt{15}$

 b. $B = (3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})$

C’est une différence de carrés :  
$$\begin{array}{rcl} B&=& 3^2 - (\sqrt{5})^2 \\&=& 9 - 5 \\&=& 4\end{array}$$

Réponse : $B = 4$

 c. $C = (x + 2)^3$

Formule : $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$$C = x^3 + 3x^2(2) + 3x(4) + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

Réponse : $C = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

 d. $D = (x - 1)^3$

Formule : $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$$D = x^3 - 3x^2(1) + 3x(1) - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$$

Réponse : $D = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

 2. Factoriser :

 a. $F = x^3 + 1$

Identité : $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$$F = x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$

Réponse : $F = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

 b. $G = x^3 - 2\sqrt{2}$

On reconnaît : $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

 $b = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}$, donc on pose simplement :

$$G = x^3 - (2\sqrt{2}) = (x - \sqrt[3]{2\sqrt{2}})\left(x^2 + x\sqrt[3]{2\sqrt{2}} + \left(\sqrt[3]{2\sqrt{2}}\right)^2\right)$$

Réponse : factorisation formelle en racine cubique.  
Sinon, on laisse : $G = x^3 - 2\sqrt{2}$ (non factorisable simplement avec rationnels).

 c. $H = x^3 - \dfrac{1}{64}$

Identité : $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

 $a = x$, $b = \dfrac{1}{4}$

$$H = \left(x - \dfrac{1}{4}\right)\left(x^2 + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{16}\right)$$

Réponse :  
$$H = \left(x - \dfrac{1}{4}\right)\left(x^2 + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{16}\right)$$

 1. Développer, réduire et ordonner :

 a. $f(x) = (2x - 3)^3 - (3x + 1)^2(-2x + 3)$

Développement de $(2x - 3)^3$ :  
Utilisons la formule :  
$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Ici, $a = 2x$, $b = 3$ :

$$(2x - 3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$$

---

Développement de $(3x + 1)^2(-2x + 3)$

D’abord :  
$$(3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$$

Ensuite :

$$(9x^2 + 6x + 1)(-2x + 3)$$

On développe :

 $9x^2(-2x) = -18x^3$
 $9x^2(3) = 27x^2$
 $6x(-2x) = -12x^2$
 $6x(3) = 18x$
 $1(-2x) = -2x$
 $1(3) = 3$

Total :  
$$-18x^3 + 15x^2 + 16x + 3$$

Donc :

$$f(x) = (8x^3 - 36x^2 + 54x - 27) - (-18x^3 + 15x^2 + 16x + 3)$$

On enlève les parenthèses :

$$f(x) = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 + 18x^3 - 15x^2 - 16x - 3$$

On réduit :

$$(8x^3 + 18x^3) + (-36x^2 - 15x^2) + (54x - 16x) + (-27 - 3) = 26x^3 - 51x^2 + 38x - 30$$

Réponse :  
$$f(x) = 26x^3 - 51x^2 + 38x - 30$$

 b. $g(x) = (x + 5)^3 + (x^2 + 3) + (x^2 + 3)(-2x + 7)$

Développement de $(x + 5)^3$ :  
$$= x^3 + 3x^2(5) + 3x(25) + 125 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125$$

$(x^2 + 3)(-2x + 7)$ :

 $x^2(-2x) = -2x^3$
 $x^2(7) = 7x^2$
 $3(-2x) = -6x$
 $3(7) = 21$

Total :
$$-2x^3 + 7x^2 - 6x + 21$$

Ajoutons tous les termes :

$$g(x) = (x^3 + 15x^2 + 75x + 125) + (x^2 + 3) + (-2x^3 + 7x^2 - 6x + 21)$$

On regroupe :

 $x^3 - 2x^3 = -x^3$
 $15x^2 + x^2 + 7x^2 = 23x^2$
 $75x - 6x = 69x$
 $125 + 3 + 21 = 149$

Réponse :
$$g(x) = -x^3 + 23x^2 + 69x + 149$$

 2. Factoriser :

 a. $p(x) = 8x^3 + 125$

Reconnaissance d'une somme de cubes :

$$8x^3 + 125 = (2x)^3 + (5)^3 = (2x + 5)(4x^2 - 10x + 25)$$

Réponse :  
$$p(x) = (2x + 5)(4x^2 - 10x + 25)$$

 b. $q(x) = 3x^3 - 27$

Mettons d’abord $3$ en facteur :

$$q(x) = 3(x^3 - 9) = 3(x - \sqrt[3]{9})(x^2 + x\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{81})$$

Réponse (exacte) :  
$$q(x) = 3(x^3 - 9) \quad \text{ou avec racines cubiques : } 3(x - \sqrt[3]{9})(x^2 + x\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{81})$$
 

Écrire sans les valeurs absolues

 a.  
$$a = \left|\left(-1 - \sqrt{3}\right)\left(1 + \sqrt{3}\right)\right|$$

Commençons par développer le produit :
$$(-1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = (-1)(1) + (-1)(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(1) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3})$$

$$= -1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 3 = -1 - 2\sqrt{3} - 3 = -4 - 2\sqrt{3}$$

Donc :
$$a = \left| -4 - 2\sqrt{3} \right|$$

Sachant que $-4 - 2\sqrt{3} < 0$, sa valeur absolue est l'opposé :

Réponse :  
$$a = 4 + 2\sqrt{3}$$

 b.  
$$b = \left|\dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}\right|$$

Ici, la valeur du numérateur est négative car $\sqrt{5} > 2$, donc $2 - \sqrt{5} < 0$, alors que le dénominateur est positif.

Donc la fraction est négative, et sa valeur absolue est l’opposée :

$$b = -\dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{2 + \sqrt{5}}$$

Réponse :  
$$b = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{2 + \sqrt{5}}$$
 

  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 a. $|2x - 4| = -5$

Rappel : La valeur absolue d’un réel est toujours positive ou nulle, donc elle ne peut jamais être négative.

Réponse :  
Aucune solution, car $|2x - 4| = -5$ est impossible.

 b. $|x + 2| = 0$

Une valeur absolue est nulle uniquement si le contenu est nul.

$$x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$$

Réponse : $x = -2$

 c. $|2x + 3| = 5$

Deux cas à envisager :

$$2x + 3 = 5 \quad \text{ou} \quad 2x + 3 = -5$$

1. $2x + 3 = 5 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$

2. $2x + 3 = -5 \Leftrightarrow 2x = -8 \Leftrightarrow x = -4$

Réponse : $x = 1$ ou $x = -4$

 d. $|x + 1| = |3x - 1|$

Deux cas :

Cas 1 :  
$$\begin{array}{rcl} x + 1 &=& 3x - 1\\ \Leftrightarrow -2x &=& -2 \\\Leftrightarrow x &=& 1\end{array}$$

Cas 2 :  
$$\begin{array}{rcl} x + 1 &=& -(3x - 1) \\\Leftrightarrow x + 1 &=& -3x + 1 \\\Leftrightarrow 4x&=& 0 \\\Leftrightarrow x &=& 0\end{array}$$

Réponse : $x = 0$ ou $x = 1$
 

 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 a. $|2x - 5| = 7$

Deux cas :

1. $2x - 5 = 7 \Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6$

2. $2x - 5 = -7 \Leftrightarrow 2x = -2 \Leftrightarrow x = -1$

Réponse : $x = -1$ ou $x = 6$

 b. $|2 - 3x| = |x - 3|$

Deux cas :

Cas 1 :  
$$\begin{array}{rcl} 2 - 3x &=& x - 3 \\\Leftrightarrow -4x &=& -5 \\\Leftrightarrow x &=& \dfrac{5}{4}\end{array}$$

Cas 2 :  
$$\begin{array}{rcl} 2 - 3x &=& -(x - 3) \\&=& -x + 3 \\\Leftrightarrow -2x &=& 1 \\\Leftrightarrow x &=& -\dfrac{1}{2}\end{array}$$

Réponse : $x = \dfrac{5}{4}$ ou $x = -\dfrac{1}{2}$

 c. $|5x + 3| = -10$

 Une valeur absolue ne peut pas être négative.

Réponse : Aucune solution

 d. $(2x - 1)(-2x + 3) = 0$

Un produit est nul si l’un des facteurs est nul :

1. $2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$

2. $-2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$

Réponse : $x = \dfrac{1}{2}$ ou $x = \dfrac{3}{2}$

 e. $\dfrac{2x - 5}{2 - x} = 0$

Un quotient est nul si le numérateur est nul (et le dénominateur non nul) :

1. $2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}$

2. On vérifie que $2 - x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$, donc OK

Réponse : $x = \dfrac{5}{2}$

 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

 f. $|5 - 4x| \leq -3$

Une valeur absolue est toujours ≥ 0, donc elle ne peut jamais être ≤ -3.

Réponse : Aucune solution

 b. $|x - 5| < 3$

Cette inéquation signifie que la distance entre $x$ et 5 est strictement inférieure à 3 :

$$-3 < x - 5 < 3 \Leftrightarrow 2 < x < 8$$

Réponse : $x \in \, ]2\,;\,8[$

 c. $|5x - 2| \leq 0$

Une valeur absolue est ≤ 0 uniquement si elle est égale à 0 :

$$5x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}$$

Réponse : $x = \dfrac{2}{5}$

 d. $2x - \dfrac{1}{3} \geq \dfrac{x}{5} + \dfrac{2}{5}$

On commence par tout regrouper :

$$2x - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{5} - \dfrac{2}{5} \geq 0$$

Regroupons les termes :

$$\left(2x - \dfrac{x}{5}\right) + \left(-\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{5}\right) = \left(\dfrac{10x - x}{5}\right) + \left(-\dfrac{5 + 6}{15}\right) = \dfrac{9x}{5} - \dfrac{11}{15}$$

Donc :
$$\begin{array}{rcl} \dfrac{9x}{5} - \dfrac{11}{15} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{9x}{5} \geq \dfrac{11}{15} \Leftrightarrow x \geq \dfrac{11}{15} \times \dfrac{5}{9} &=& \dfrac{55}{135} \\&=& \dfrac{11}{27}\end{array}$$

Réponse : $x \geq \dfrac{11}{27}$

 1. Donner le système associé aux intervalles suivants :

 a. $]1\,;\,3[$

C’est l’intervalle ouvert entre 1 et 3, ce qui signifie :

Système :
$$\left\{ \begin{array}{l} x > 1 \\ x < 3 \end{array} \right.$$

 b. $]-\infty\,;\,1]$

Intervalle allant jusqu’à 1, inclus :

Système :
$$x \leq 1$$

 2. Donner l’intervalle correspondant aux systèmes suivants :

 a. $\left\{x \in \mathbb{R} \,/\, x \geq 0 \right\}$

Intervalle :
$$[0\ ;\ +\infty[$$

 b. $\left\{x \in \mathbb{R} \,/\, 2 \leq x < 7 \right\}$

Intervalle :
$$[2\ ;\ 7[$$

Déterminer $A \cap B$ et $A \cup B$

 1.  
$A = [-1\,;\,7] \quad \text{et} \quad B = \,]0\,;\,3[$

- Intersection : Ce sont les valeurs communes → $]0\,;\,3[$
- Réunion : On prend tout ce qui est dans A ou B → $[-1\,;\,7]$

Réponse :  

- $A \cap B = \,]0\,;\,3[$  
- $A \cup B = [-1\,;\,7]$

 2.  
$A = ]-\infty\,;\,0] \quad \text{et} \quad B = [0\,;\,+\infty[$

- Intersection : La seule valeur commune est 0 → $\{0\}$
- Réunion : Ça couvre tout $\mathbb{R}$ → $]-\infty\,;\,+\infty[$

Réponse :  

 $A \cap B = \{0\}$  
 $A \cup B = \mathbb{R}$

 3.  
$A = ]-2\,;\,5] \quad \text{et} \quad B = [6\,;\,10]$

- Intersection : Pas de chevauchement → Ø
- Réunion : On note l’union de deux intervalles disjoints →  
  $]-2\,;\,5] \cup [6\,;\,10]$

Réponse :  

 $A \cap B = \varnothing$  
 $A \cup B = ]-2\,;\,5] \cup [6\,;\,10]$

 4.  
$A = ]-\infty\,;\,1] \quad \text{et} \quad B = ]1\,;\,+\infty[$

- Intersection : Ils ne se touchent pas (1 n’est dans aucun) → Ø
- Réunion : L’ensemble des réels sauf 1 →  
  $]-\infty\,;\,1[ \cup ]1\,;\,+\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

Réponse :  

 $A \cap B = \varnothing$  
 $A \cup B = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
 

– Traduire les situations et résoudre

 1. La somme d'un nombre et de $-3$ vaut 5 ; détermine ce nombre.

La situation nous dit que la somme de x (le nombre recherché) et $-3$ donne $5$. Cela se traduit par l’équation :

$$x - 3 = 5$$

On résout :

$$x = 5 + 3 \Leftrightarrow x = 8$$

Réponse : Le nombre recherché est $x = 8$.

 2. La différence de $4$ et un nombre vaut $7$, quel est ce nombre ?

La différence entre $4$ et x (le nombre recherché) donne $7$. Cela se traduit par l’équation :

$$4 - x = 7$$

On résout :

$$-x = 7 - 4 \Leftrightarrow -x = 3 \Leftrightarrow x = -3$$

Réponse : Le nombre recherché est $x = -3$.

 3. La somme du double d'un nombre avec $1$ est supérieur ou égale à $4$.

On dit que la somme du double de x avec $1$ est supérieure ou égale à $4$. Cela se traduit par l’inéquation :

$$2x + 1 \geq 4$$

On résout :

$$2x \geq 4 - 1 \Leftrightarrow 2x \geq 3 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{3}{2}$$

Réponse : $x \geq \dfrac{3}{2}$.

 4. La différence du quadruple d'un nombre avec $3$ est strictement inférieur à la somme du triple de ce nombre avec $5$.

La différence du quadruple de x avec $3$ est inférieure à la somme du triple de x avec $5$. Cela se traduit par l’inéquation :

$$4x - 3 < 3x + 5$$

On résout :

$$4x - 3x < 5 + 3 \Leftrightarrow x < 8$$

Réponse : $x < 8$.