Solution Série d'exercices : Calcul dans ℝ 2nd L

Classe: 
Seconde

Exercice 1 : Calculs de fractions

 
1. Calcul de A

A=123=32
 
2. Calcul de C
C=43×(−912)=43×(−34)=−1
 
3. Calcul de D
D=−34−23=−912−812=−1712
 
4. Calcul de E
E=213+25=2515+615=21115=2×1511=3011
 
5. Calcul de F
F=1453+25=95155+25=95175=917
 
6. Calcul de G
G=72+138=216+268=2368=2348
 
7. Calcul de H
H=43−6738=2821−182138=102138=1021×83=8063
 
8. Calcul de I
L'expression I est complexe. On la décompose en deux parties :
I=32−254+25÷45−6775+37
 
Calculons chaque partie séparément :
- Numérateur :
  32−25=1510−410=1110
  4+25=205+25=225
  1110225=1110×522=14
 
- Dénominateur :
  45−67=2835−3035=−235
  75+37=4935+1535=6435
  −2356435=−264=−132
 
- Division finale :
  I=14−132=14×(−32)=−8
 
9. Calcul de J
J=(57−13)(14+32)=(1521−721)(14+64)=821×74=5684=23
 

Exercice 2 : Rendre rationnel le dénominateur

 
1. Rendre rationnel le dénominateur
 
a. A=√3√2
A=√3×√22=√62
 
b. B=21+21+√2
Simplifions d'abord le dénominateur intérieur :
1+21+√2=(1+√2)+21+√2=3+√21+√2
Maintenant, B devient :
B=23+√21+√2=2(1+√2)3+√2
Rendons maintenant le dénominateur rationnel :
B=2(1+√2)(3−√2)(3+√2)(3−√2)=2(3−√2+3√2−2)9−2=2(1+2√2)7=2+4√27
 
c. C=3√2−√3
C=3(√2+√3)(√2−√3)(√2+√3)=3(√2+√3)2−3=−3(√2+√3)
 
d. D=1−√31+√3
D=(1−√3)2(1+√3)(1−√3)=1−2√3+31−3=4−2√3−2=−2+√3
 
2. Simplification des expressions
 
a. A=−2√8−5√32+5√16−√18
Simplifions chaque terme :
√8=2√2,√32=4√2,√16=4,√18=3√2
Donc :
A=−2×2√2−5×4√2+5×4−3√2=−4√2−20√2+20−3√2=−27√2+20
 
b. B=√20+√45−√80√135−√35
Simplifions les radicaux :
√20=2√5,√45=3√5,√80=4√5
√135=3√15,√35=√35
Donc :
B=2√5+3√5−4√53√15−√35=√53√15−√35
Rendons le dénominateur rationnel :
B=√5(3√15+√35)(3√15−√35)(3√15+√35)=3√75+√1759×15−35=15√3+5√7100=3√3+√720
 
c. C=√3(3√3−2)2−√4(1−√3)2
C=√3×|3√3−2|−2×|1−√3|
Évaluons les valeurs absolues :
- 3√3≈5.196>2 donc |3√3−2|=3√3−2
- √3≈1.732>1 donc |1−√3|=√3−1
Ainsi :
C=√3(3√3−2)−2(√3−1)=9−2√3−2√3+2=11−4√3
 

Exercice 3 : Développement et factorisation

 
1. Développement
 
a. A=(x−√2)3
Utilisons la formule (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 :
A=x3−3x2√2+3x×2−2√2=x3−3√2x2+6x−2√2
 
b. B=(x+y2)2−(x−y2)2
C'est une différence de carrés :
B=(x+y2−x−y2)(x+y2+x−y2)=(2y2)(2x2)=xy
 
c. C=(x+1)3−(x−1)3
Développons chaque cube :
(x+1)3=x3+3x2+3x+1
(x−1)3=x3−3x2+3x−1
Donc :
C=(x3+3x2+3x+1)−(x3−3x2+3x−1)=6x2+2
 
d. D=(x−3)2+(2x+1)(2x−1)+1
Développons chaque terme :
(x−3)2=x2−6x+9
(2x+1)(2x−1)=4x2−1
Donc :
D=x2−6x+9+4x2−1+1=5x2−6x+9
 
2. Factorisation
 
a. E=(3x+1)(3x−2)−(3x−5)2
Développons chaque partie :
(3x+1)(3x−2)=9x2−6x+3x−2=9x2−3x−2
(3x−5)2=9x2−30x+25
Donc :
E=(9x2−3x−2)−(9x2−30x+25)=27x−27=27(x−1)
 
b. F=(x+1)3−x2+1
F=(x+1)3−(x2−1)=(x+1)3−(x−1)(x+1)=(x+1)[(x+1)2−(x−1)]
=(x+1)(x2+2x+1−x+1)=(x+1)(x2+x+2)
 
c. G=4(x−1)2−1
C'est une différence de carrés :
G=[2(x−1)−1][2(x−1)+1]=(2x−3)(2x−1)
 
d. H=x3+1
Formule du cube :
H=(x+1)(x2−x+1)
 
e. I=(x2−6x)3−(x2−6x)
Factorisons par (x2−6x) :
I=(x2−6x)[(x2−6x)2−1]=(x2−6x)(x2−6x−1)(x2−6x+1)
 
f. J=x3+3x2+3x−(x2−1)+1
Simplifions :
J=x3+3x2+3x−x2+1+1=x3+2x2+3x+2
Factorisons (par exemple en cherchant une racine évidente x=−1) :
J=(x+1)(x2+x+2)
 

Exercice 4 : Valeur absolue

 
1. Écrire sans valeur absolue
 
a. A=|−100|=100
 
b. B=|100|=100
 
c. C=|√2−1|
Comme √2≈1.414>1, C=√2−1.
 
d. D=|2−√2−√5|
Évaluons √5≈2.236, donc 2−√5≈−0.236. Ainsi, √2−√5 n'est pas réel. Il y a peut-être une erreur dans l'expression.
 
e. E=|π−3.2|
Comme π≈3.1416<3.2, E=3.2−π.
 
f. G=|5−√172|
Calculons √17≈4.123>5, donc 5−√17<0. Ainsi :
G=√17−52
 
2. Écrire sans radical
 
a. I=√(1−√3)2=|1−√3|
Comme √3≈1.732>1, I=√3−1.
 
b. J=√(√3−√2)2+√(1−√2)2=|√3−√2|+|1−√2|
Comme √3>√2 et √2>1, J=√3−√2+√2−1=√3−1.
 

Exercice 5 : Résolution d'équations avec valeurs absolues

 
a. |x−6|=3
Deux cas :
1. x−6=3⇒x=9
2. x−6=−3⇒x=3
Solutions : x∈{3,9}.
 
b. |x−4|+1=5
|x−4|=4
Deux cas :
1. x−4=4⇒x=8
2. x−4=−4⇒x=0
Solutions : x∈{0,8}.
 
c. |35x−1|=|x+13|
Deux cas :
1. 35x−1=x+13⇒−25x=43⇒x=−103
2. 35x−1=−(x+13)⇒35x−1=−x−13⇒85x=23⇒x=512
Solutions : x∈{−103,512}.
 
d. |x+3x+1|=3
Deux cas :
1. x+3x+1=3⇒x+3=3x+3⇒0=2x⇒x=0
2. x+3x+1=−3⇒x+3=−3x−3⇒4x=−6⇒x=−32
Vérifions les dénominateurs :
- Pour x=0, x+1=1≠0
- Pour x=−32, x+1=−12≠0
Solutions : x∈{−32,0}.
 
e. √(3x+2)2=1
|3x+2|=1
Deux cas :
1. 3x+2=1⇒3x=−1⇒x=−13
2. 3x+2=−1⇒3x=−3⇒x=−1
Solutions : x∈{−1,−13}.
 

Exercice 6 : Intervalles

 
1. Intersection et union d'intervalles
 
a. I=]−2,6] et J=[−3,+∞[
- I∩J=]−2,6]
- I∪J=[−3,+∞[
 
b. I=]1,4[ et J=[5,10]
- I∩J=∅
- I∪J=]1,4[∪[5,10]
 
c. I=]1,4] et J=[4,+∞[
- I∩J={4}
- I∪J=]1,+∞[
 
d. I=]−∞,7] et J=[−4,+∞[
- I∩J=[−4,7]
- I∪J=R
 
2. Traduction d'inégalités en intervalles
 
a. x≤3 : ]−∞,3]
 
b. x>−2 : ]−2,+∞[
 
c. −3≤x≤6 : [−3,6]
 
d. 2≤x<5 : [2,5[
 
3. Traduction d'intervalles en inégalités
 
a. x∈[−1,3] : −1≤x≤3
 
b. x∈]−∞,1] : x≤1
 
c. x∈]2,+∞[ : x>2
 

Exercice 7 : Résolution d'inéquations avec valeurs absolues

 
a. |6−x|≤3
−3≤6−x≤3
−9≤−x≤−3
3≤x≤9
Solution : [3,9].
 
b. |2+x|≥5
2+x≤−5 ou 2+x≥5
x≤−7 ou x≥3
Solution : ]−∞,−7]∪[3,+∞[.
 
c. |x−3|−1<0
|x−3|<1
−1<x−3<1
2<x<4
Solution : ]2,4[.
 
d. |x+4|+1>5
|x+4|>4
x+4<−4 ou x+4>4
x<−8 ou x>0
Solution : ]−∞,−8[∪]0,+∞[.
 
e. |1−x|−2≤−1
|1−x|≤1
−1≤1−x≤1
−2≤−x≤0
0≤x≤2
Solution : [0,2].
 
f. √(1−x)2<7
|1−x|<7
−7<1−x<7
−8<−x<6
−6<x<8
Solution : ]−6,8[.
 
2. Systèmes d'inéquations
 
a.
{x+2>5x−3<2⇒{x>3x<5
Solution : ]3,5[.
 
b.
{2x+3≤5−x−3<2⇒{2x≤2−x<5⇒{x≤1x>−5
Solution : ]−5,1].
 

Exercice 8 : Problèmes de mise en équation

 
1. Âge de la mère et de la fille
Soit x l'âge de la fille aujourd'hui. La mère a x+15 ans.
Dans 10 ans :
Âge de la mère=x+25
Âge de la fille=x+10
Selon l'énoncé :
x+25=2(x+10)
x+25=2x+20
−x=−5
x=5
Âge de la mère : 5+15=20 ans.
 
*Note : Il semble étrange que la mère ait 20 ans et la fille 5 ans. Peut-être une erreur dans l'énoncé ou les données.*
 
2. Somme décaissée
Soit S la somme décaissée.
Dépenses :
- Ciment : 14S
- Fer : 25S
Reste :
S−(14S+25S)=49000
S−(520S+820S)=49000
S−1320S=49000
720S=49000
S=49000×207=140000 F CFA
 

 Exercice 9 : Inéquations

 
1.
34x−15<2x+5
Multiplions par 20 pour éliminer les dénominateurs :
15x−4<40x+100
−25x<104
x>−10425
 
2.
2x−25>3x
−x>25
x<−25
 

 Exercice 10 : Équations et inéquations avec racines carrées

 
1. √2x2−8=x−2
Conditions :
1. 2x2−8≥0⇒x2≥4⇒x≤−2 ou x≥2
2. x−2≥0⇒x≥2
 
Élevons au carré :
2x2−8=x2−4x+4
x2+4x−12=0
Solutions :
x=−4±√16+482=−4±82
x=2 ou x=−6
Seule x=2 est valide (car x≥2 et −6≱2).
 
2. √2x2−x+1=√3x+1
Conditions :
1. 2x2−x+1≥0 (toujours vrai car discriminant négatif)
2. 3x+1≥0⇒x≥−13
 
Élevons au carré :
2x2−x+1=3x+1
2x2−4x=0
2x(x−2)=0
Solutions :
x=0 ou x=2
Les deux sont valides.
 
3. √−2x2+5x+3≤2x+1
Conditions :
1. −2x2+5x+3≥0
   Racines : x=−5±√25+24−4=−5±7−4
   x=3 ou x=−12
   Parabole tournée vers le bas : x∈[−12,3]
2. 2x+1≥0⇒x≥−12
 
Élevons au carré :
−2x2+5x+3≤4x2+4x+1
−6x2+x+2≤0
Racines :
x=−1±√1+48−12=−1±7−12
x=23 ou x=−12
Parabole tournée vers le bas : x≤−12 ou x≥23
 
Intersection avec les conditions :
- x∈[−12,3] et x≥−12 et x≤−12 ou x≥23
- Donc x=−12 ou x∈[23,3]
 
4. √2x2−3x−5>5−x
Conditions :
1. 2x2−3x−5≥0
   Racines : x=3±√9+404=3±74
   x=52 ou x=−1
   Parabole tournée vers le haut : x≤−1 ou x≥52
2. 5−x≥0⇒x≤5
 
Cas 1 : 5−x<0 (i.e. x>5)
L'inégalité est vraie car la racine est toujours positive.
Mais x>5 n'est pas dans le domaine de validité (car x≥52 et x≤5). Donc pas de solution ici.
 
Cas 2 : 5−x≥0 (i.e. x≤5)
Élevons au carré :
2x2−3x−5>25−10x+x2
x2+7x−30>0
Racines :
x=−7±√49+1202=−7±132
x=3 ou x=−10
Parabole tournée vers le haut : x<−10 ou x>3
 
Intersection avec les conditions :
- x≤−1 ou x≥52
- x≤5
- x<−10 ou x>3
 
Donc :
- x<−10 (mais x≤−1 et x<−10 implique x<−10)
- 3<x≤5 et x≥52 implique 52≤x≤5
 
Solution finale :
x∈]−∞,−10[∪[52,5]
 
 Exercice 11 : Systèmes d'inéquations et optimisation
 
1. Résolution du système
{x≥0y≥03x+2y≤75x+2y≤362x+3y≤60
 
Trouvons les points d'intersection :
- Intersection de 3x+2y=75 et x+2y=36 :
  2x=39⇒x=19.5, y=8.25
- Intersection de 3x+2y=75 et 2x+3y=60 :
  Résolution donne x=21, y=6
- Intersection de x+2y=36 et 2x+3y=60 :
  Résolution donne x=12, y=12
 
Vérifions la validité de chaque point dans toutes les inéquations.
 
2. Problème du fleuriste
 
a. Système d'inéquations
Contraintes :
- Roses : 6x+4y≤150
- Gerberas : 3x+6y≤108
- Gypsophiles : 2x+3y≤60
Ainsi que x≥0, y≥0.
 
Simplifions :
- Roses : 3x+2y≤75
- Gerberas : x+2y≤36
- Gypsophiles : 2x+3y≤60
 
C'est le même système que précédemment.
 
b. Bénéfice
B=18x+30y
 
c. Optimisation
Évaluons B aux points d'intersection :
- (0,0) : B=0
- (0,18) (intersection y-axe et x+2y=36) : B=540
- (12,12) : B=18×12+30×12=576
- (19.5,8.25) : B=18×19.5+30×8.25=351+247.5=598.5
- \(

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