Solution des exercices : Triangle rectangle - Théorème de Pythagore - 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que : $AB=4\;cm\;;\ AC=3\;cm.$ 
 
1) En mesurant la distance $BC$ avec une règle graduée, on trouve :
$$BC=5\;cm$$
2) a) Le segment $[BC]$ représente l'hypoténuse, c'est le côté opposé à l'angle droit
 
Calculons $BC^{2}.$
 
On a : $BC^{2}=(5\;cm)^{2}=25\;cm^{2}$
 
Donc, $\boxed{BC^{2}=25\;cm^{2}}$
 
b) Les segments $[AB]\ $ et $\ [AC]$, adjacents à l'angle droit, sont appelés cathètes
 
Calculons $AB^{2}+AC^{2}.$
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}+AC^{2}&=&(4\;cm)^{2}+(3\;cm)^{2}\\\\&=&16\;cm^{2}+9\;cm^{2}\\\\&=&25\;cm^{2}\end{array}$
 
Donc, $\boxed{AB^{2}+AC^{2}=25\;cm^{2}}$
 
c) Comparons $BC^{2}\ $ et $\ AB^{2}+AC^{2}.$
 
On a : $BC^{2}=25\;cm^{2}\ $ et $\ AB^{2}+AC^{2}=25\;cm^{2}$
 
Alors : $\boxed{BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}}$
 
3) La propriété que nous venons de démontrer pour le triangle rectangle est appelée : Le théorème de Pythagore
 
 
 

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que : $BC=4\;cm\;;\ AC=3\;cm.$
 
 
Calculer $AB.$
 
Comme $ABC$ est un triangle rectangle en $C$ alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&AC^{2}+BC^{2}\\\\&=&3^{2}+4^{2}\\\\&=&9+16\\\\&=&25\end{array}$
 
Ainsi, $AB^{2}=25$
 
Or, $25=5^{2}$ donc, $AB^{2}=5^{2}$
 
Par suite, $\boxed{AB=5\;cm}$

Exercice 3 Application du théorème

Soit $IJK$ un triangle rectangle en $J$ tel que : $IJ=8\;cm\ $ et $\ IK=10\;cm.$
 
Calculons $JK.$
 
On a : $IJK$ un triangle rectangle en $J$ alors, le côté $[IK]$ représente l'hypoténuse.
 
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
$$IJ^{2}+JK^{2}=IK^{2}$$
Ce qui donne, $JK^{2}=IK^{2}-IJ^{2}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} JK^{2}&=&IK^{2}-IJ^{2}\\\\&=&10^{2}-8^{2}\\\\&=&100-64\\\\&=&36\end{array}$
 
Ainsi, $JK^{2}=36$
 
Or, on sait que : $36=6^{2}$ donc, $JK^{2}=6^{2}$
 
D'où, $\boxed{JK=6\;cm}$
 
 

Exercice 4 Application du théorème

Soit $RST$ un triangle rectangle en $R$ tel que : $TS=2.5\;cm\ $ et $\ RT=1.5\;cm.$
 
Calculons $RS.$
 
Comme $RST$ est un triangle rectangle en $R$ alors, $TS$ représente l'hypoténuse.
 
Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$$RS^{2}+RT^{2}=TS^{2}$$
Par suite, $RS^{2}=TS^{2}-RT^{2}$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} RS^{2}&=&TS^{2}-RT^{2}\\\\&=&(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\\\\&=&6.25-2.25\\\\&=&4\end{array}$
 
Donc, $RS^{2}=4$
 
Or, on sait que : $4=2^{2}$ donc, $RS^{2}=2^{2}$
 
Par conséquent, $\boxed{RS=2\;cm}$
 
 

Exercice 5 Application du théorème

 
 
La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire. On donne $BC=15\;m\ $ et $\ AC=25\;m.$ Calculons le périmètre et l'aire de ce champ.
 
Soit $\mathcal{P}_{_{ABCD}}$ le périmètre de ce champ alors, on a :
$$\mathcal{P}_{_{ABCD}}=2\times(AB+BC)$$
Cherchons alors la longueur $AB.$
 
En effet, comme le champ est rectangulaire alors, $ABC$ est un triangle rectangle en $B.$
 
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
$$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$$
Ce qui donne : $AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&25^{2}-15^{2}\\\\&=&625-225\\\\&=&400\end{array}$
 
Ainsi, $AB^{2}=400$
 
Comme $400=20^{2}$ alors, $AB^{2}=20^{2}$
 
D'où, $AB=20\;m$
 
Par conséquent, le périmètre est :
 
$\begin{array}{rcl} \mathcal{P}_{_{ABCD}}&=&2\times(AB+BC)\\\\&=&2\times(20+15)\\\\&=&2\times 35\\\\&=&70\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\mathcal{P}_{_{ABCD}}=70\;m}$
 
Soit $\mathcal{A}_{_{ABCD}}$ l'aire de ce champ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{ABCD}}&=&AB\times BC\\\\&=&20\times 15\\\\&=&300\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\mathcal{A}_{_{ABCD}}=300\;m^{2}}$

Exercice 6

Traçons un triangle $AKS$ rectangle en $S.$
 
1) Marquons $M$, pied de la hauteur relative à l'hypoténuse.
 
2) Écrivons la relation de Pythagore dans chacun des triangles $AKS\;,\ SMK\ $ et $\ AMS.$
 
Le triangle $AKS$ étant rectangle en $S$ alors, la relation de Pythagore dans ce triangle s'écrit :
$$AK^{2}=SA^{2}+SK^{2}$$
Par ailleurs, comme $M$ est le pied de la hauteur issue de $S$ alors, $(SM)\ $ et $\ (AK)$ sont perpendiculaires en $M.$
 
Par conséquent, $SMK\ $ et $\ AMS$ sont des triangles rectangles en $M.$
 
Ainsi,
 
la relation de Pythagore dans le triangle $SMK$ s'écrit :
$$SK^{2}=MS^{2}+MK^{2}$$
la relation de Pythagore dans le triangle $AMS$ s'écrit :
$$SA^{2}=MA^{2}+MS^{2}$$
 
 

Exercice 7

Soit $(AB)\ $ et $\ (CD)$ deux droites perpendiculaires en $M.$ 
 
Démontrons que $AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+DB^{2}.$
 
En effet, comme les droites $(AB)\ $ et $\ (CD)$ sont perpendiculaires en $M$ alors, les triangles $ACM\;,\ ADM\;,\ BCM\ $ et $\ BDM$ sont rectangles en $M.$
 
Donc,
 
en appliquant la relation de Pythagore dans le triangle $ADM$, on a :
$$AD^{2}=MA^{2}+MD^{2}$$
en appliquant la relation de Pythagore dans le triangle $BCM$, on obtient :
$$BC^{2}=MB^{2}+MC^{2}$$
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} AD^{2}+BC^{2}&=&MA^{2}+MD^{2}+MB^{2}+MC^{2}\\\\&=&MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{AD^{2}+BC^{2}=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}}$
 
De la même manière,
 
en appliquant la relation de Pythagore dans le triangle $ACM$, on a :
$$AC^{2}=MA^{2}+MC^{2}$$
en appliquant la relation de Pythagore dans le triangle $BDM$, on obtient :
$$BD^{2}=MB^{2}+MD^{2}$$
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} AC^{2}+BD^{2}&=&MA^{2}+MC^{2}+MB^{2}+MD^{2}\\\\&=&MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{AC^{2}+BD^{2}=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}}$
 
On a alors :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} AD^{2}+BC^{2}&=&MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}\\\\AC^{2}+BD^{2}&=&MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}\end{array}\right.$$
Par conséquent, $\boxed{AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}}$
 
 

Exercice 8 Réciproque du théorème Pythagore

Soit $ABC$ un triangle rectangle.
 
Dans chacun des cas ci-dessous répondons par vrai ou faux.
 
En effet, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on sait que : si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors, le triangle est rectangle.
 
Alors, on a :
 
1er cas : $AB=6\qquad AC=10\qquad BC=8.\qquad\text{vrai}$
 
En effet, $AC^{2}=100\ $ et $\ AB^{2}+BC^{2}=36+64=100$
 
Donc, $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
 
D'où, le triangle $ABC$ est rectangle en $B.$
 
2ième cas : $AB=4\qquad AC=7\qquad BC=6\qquad\text{faux}$
 
En effet, $AC^{2}=49\ $ et $\ AB^{2}+BC^{2}=16+36=52$
 
Donc, $AB^{2}+BC^{2}$ n'est pas égale à $AC^{2}.$
 
Par conséquent, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle
 
3ième cas : $AB=6\qquad AC=9\qquad BC=8\qquad\text{faux}$
 
En effet, $AC^{2}=81\ $ et $\ AB^{2}+BC^{2}=36+64=100$
 
On constate que $AB^{2}+BC^{2}$ $AB^{2}+BC^{2}$ n'est pas égale à $AC^{2}.$
 
D'où, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle
 
4ième cas : $AB=9\qquad AC=15\qquad BC=10\qquad\text{faux}$
 
En effet, $AC^{2}=225\ $ et $\ AB^{2}+BC^{2}=81+100=181$
 
On remarque que $AB^{2}+BC^{2}$ n'est pas égale à $AC^{2}.$
 
Par conséquent, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle

Exercice 9 Approfondissement

1) Construisons un triangle $OAB$ tel que : 
$$OA=5\;cm\;;\ OB=3\;cm\ \text{ et }\ AB=4\;cm$$
2) Démontrons que le triangle $OAB$ est rectangle.
 
Pour cela, calculons d'abord le carré de la longueur de chaque côté.
 
On a :
 
$OA^{2}=5^{2}=25$
 
$OB^{2}=3^{2}=9$
 
$AB^{2}=4^{2}=16$
 
Par suite, en comparant $AB^{2}+OB^{2}\ $ et $\ OA^{2}$, on obtient :
$$AB^{2}+OB^{2}=OA^{2}$$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $OAB$ est rectangle en $B.$
 
3) Soit $D$ le symétrique du point $A$ par rapport à $B.$
 
Soit $C$ le symétrique de $O$ par rapport à $B$, montrons que le quadrilatère $OACD$ est un losange.
 
En effet, comme $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ alors, $B$ est milieu de $[AD].$
 
De la même manière, comme $C$ est le symétrique de $O$ par rapport à $B$ alors, $B$ est milieu de $[OC].$ 
 
Donc, $[AD]\ $ et $\ [OC]$ ont même milieu.
 
Ainsi, le quadrilatère $OACD$ a ses diagonales de même milieu.
 
C'est donc un parallélogramme.
 
Par ailleurs, comme le triangle $OAB$ est rectangle en $B$ alors, les droites $(AD)\ $ et $\ (OC)$ sont perpendiculaires en $B.$
 
Ainsi, le parallélogramme $OACD$ a ses diagonales perpendiculaires.
 
Par conséquent, $OACD$ est un losange.
 
 

Exercice 10 Approfondissement

$ABC$ est un triangle isocèle eu $A$ tel que : $AB=5\;cm\ $ et $\ BC=8\;cm.$
 
Soit $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $(BC).$
 
1) Faisons une figure.
 
2) Soit $I$ le milieu de $[BC].$
 
Calculons $AI$
 
Comme $ABC$ est isocèle en $A\ $  et $\ I$ milieu de $[BC]$ alors, $(AI)$ est médiatrice du segment $[BC].$
 
Par suite, $(AI)\ $ et $\ (BC)$ sont perpendiculaires en $I.$
 
Donc, $AIC$ est un triangle rectangle en $I.$
 
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$$AI^{2}+IC^{2}=AC^{2}$$
Ce qui donne :
$$AI^{2}=AC^{2}-IC^{2}$$
Or, $IC=\dfrac{BC}{2}\ $ et $\ AC=AB.$
 
Donc, en remplaçant, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AI^{2}&=&AC^{2}-IC^{2}\\\\&=&AB^{2}-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^{2}\\\\&=&5^{2}-\left(\dfrac{8}{2}\right)^{2}\\\\&=&25-4^{2}\\\\&=&25-16\\\\&=&9\end{array}$
 
Alors, $AI^{2}=9$
 
Comme $9=3^{2}$ alors, on a : $AI^{2}=3^{3}$
 
Par conséquent, $\boxed{AI=3\;cm}$
 
Calculons l'aire du triangle $ACI.$
 
Soit $\mathcal{A}_{_{ACI}}$ l'aire du triangle $ACI.$
 
Comme $ACI$ est rectangle en $I$ alors, on a :
$$\mathcal{A}_{_{ACI}}=\dfrac{AI\times IC}{2}$$
Or, $IC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{8}{2}=4\;cm\ $ et $\ AI=3\;cm$
 
Donc, en remplaçant $AI\ $ et $\ IC$ par leur valeur, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{ACI}}&=&\dfrac{AI\times IC}{2}\\\\&=&\dfrac{3\times 4}{2}\\\\&=&\dfrac{12}{2}\\\\&=&6\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\mathcal{A}_{_{ACI}}=6\;cm^{2}}$
 
3) Le quadrilatère $ACA'B$ est un losange.
 
En effet, comme $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(BC)$ alors, $I$ est milieu de $[AA'].$
 
Donc, les diagonales $[BC]\ $ et $\ [AA]$ du quadrilatère $ACA'B$ ont même milieu.
 
Par suite, $ACA'B$ est un parallélogramme.
 
Par ailleurs, $ABC$ est isocèle en $A$ donc, $[AA']$ est aussi bissectrice de l'angle $\widehat{A}.$
 
Ainsi, le parallélogramme $ACA'B$ a une diagonale qui est en même temps bissectrice.
 
Par conséquent, $ACA'B$ est un losange.
 
Calculons son aire.
 
Soit $\mathcal{A}_{_{ACA'B}}$ l'aire du losange $ACA'B.$
 
En remarquant que l'aire du losange $ACA'B$ est constituée de la somme des aires des quatre triangles identiques, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{ACA'B}}&=&4\times\mathcal{A}_{_{ACI}}\\\\&=&4\times 6\\\\&=&24\end{array}$
 
D'où, $\boxed{\mathcal{A}_{_{ACA'B}}=24\;cm^{2}}$
 
 

Exercice 11 Relation métrique

1) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$
 
 
2) Calculons de deux manières différentes l'aire du triangle $ABC.$
 
Soit $\mathcal{A}_{_{ABC}}$ l'aire du triangle $ABC$ alors, on a :
$$\mathcal{A}_{_{ABC}}=\dfrac{\text{Base}\times\text{Hauteur}}{2}$$
$-\ \ $ 1e méthode
 
Dans le triangle $ABC$, en considérant $[AC]$ comme la base alors, $[AB]$ est la hauteur issue de $B.$
 
Par suite,
$$\mathcal{A}_{_{ABC}}=\dfrac{AC\times AB}{2}$$
$-\ \ $ 2e méthode
 
Si $[BC]$ est la base alors, $[AH]$ est la hauteur issue de $A.$
 
Ainsi,
$$\mathcal{A}_{_{ABC}}=\dfrac{BC\times AH}{2}$$
3) Déduisons-en une égalité qui relie : $AB\;,\ AC\;,\ BC\ $ et $\ AH.$
 
D'après la question $2)$, on a :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{ABC}}&=&\dfrac{BC\times AH}{2}\\\\\mathcal{A}_{_{ABC}}&=&\dfrac{AC\times AB}{2}\end{array}\right.$$
Ce qui donne :
$$\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{AC\times AB}{2}$$
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{AC\times AB}{2}&\Rightarrow&2\times BC\times AH=2\times AC\times AB\\\\&\Rightarrow&AH=\dfrac{2\times AC\times AB}{2\times BC}\\\\&\Rightarrow&AH=\dfrac{AC\times AB}{BC}\end{array}$
 
D'où, une égalité qui relie $AB\;,\ AC\;,\ BC\ $ et $\ AH$ est :
$$\boxed{AH=\dfrac{AC\times AB}{BC}}$$

Exercice 12

 
Sur la figure ci-dessus $ABC$ est un triangle rectangle en $A\ $ et $\ H$ le pied de la hauteur issue de $A.$
 
On donne $BC=6\;cm\;;\ AC=4.8\;cm$
 
1) Calculons $AB.$
 
Comme $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors, le côté $[BC]$ représente l'hypoténuse.
 
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
 
$$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$$
 
Ce qui donne, $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&BC^{2}-AC^{2}\\\\&=&6^{2}-(4.8)^{2}\\\\&=&36-23.04\\\\&=&12.96\end{array}$
 
Ainsi, $AB^{2}=12.96$
 
Or, on sait que : $12.96=(3.6)^{2}$ donc, $AB^{2}=(3.6)^{2}$
 
D'où, $\boxed{AB=3.6\;cm}$
 
2) Calculons l'aire du triangle $ABC.$
 
Soit $\mathcal{A}_{_{ABC}}$ l'aire du triangle $ABC$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{ABC}}&=&\dfrac{AB\times AC}{2}\\\\&=&\dfrac{3.6\times 4.8}{2}\\\\&=&\dfrac{17.28}{2}\\\\&=&8.64\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{_{ABC}}=8.64\;cm^{2}}$
 
En déduisons $AH$
 
Comme $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ alors, l'aire du triangle $ABC$ peut encore s'écrire :
$$\mathcal{A}_{_{ABC}}=\dfrac{BC\times AH}{2}$$
Donc, en remplaçant $\mathcal{A}_{_{ABC}}\ $ et $\ BC$ par leur valeur, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} \dfrac{6\times AH}{2}=8.64&\Rightarrow&6\times AH=2\times 8.64\\\\&\Rightarrow&AH=\dfrac{17.28}{6}\\\\&\Rightarrow&AH=2.88\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{AH=2.88\;cm}$

Exercice 13 Application à la relation métrique

1) Construisons un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que : $AB=3\;cm\ $ et $\ AC=4\;cm.$
 
Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A.$
 
 
2) Calculons $AH.$
 
En effet, on sait que : dans un triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit est égale au produit des longueurs des côtés perpendiculaires divisé par la longueur de l'hypoténuse.
 
Donc, en appliquant cette relation métrique, on obtient :
$$AH=\dfrac{AB\times AC}{BC}$$
On va donc calculer $BC.$
 
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : 
 
$\begin{array}{rcl} BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\\\\&=&3^{2}+4^{2}\\\\&=&9+16\\\\&=&25\end{array}$
 
Alors, $BC^{2}=25$
 
Comme $25=5^{2}$ alors, $BC^{2}=5^{2}$
 
Par suite, $\boxed{BC=5\;cm}$
 
Donc, en remplaçant $AB\;,\ AC\ $ et $\ BC$ par leur valeur dans la relation métrique, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AH&=&\dfrac{3\times 4}{5}\\\\&=&\dfrac{12}{5}\\\\&=&2.4\end{array}$
 
D'où, $\boxed{AH=2.4\;cm}$

Exercice 14

1) Construisons un cercle $(c)$ de centre $O$ est de rayon $5\;cm.$
 
2) Marquons un point $M$ situé à $13\;cm$ de $O.$
 
3) Soit $I$ le point de contact d'une tangente à $(c)$ passant par $M.$
 
4) Dans le triangle $IOM$, la hauteur passant par $I$ coupe la droite $(OM)$ en $H.$
 
 
5) Calculons $MI\ $ et $\ IH.$
 
$-\ $ Calcul de $MI$
 
On sait que la tangente à $(c)$ au point $I$ est perpendiculaire à la droite $(OI).$
 
Or, cette tangente passe aussi par le point $M$ donc, les droites $OM\ $ et $\ (OI)$ sont perpendiculaires en $I.$
 
Ainsi, la mesure de l'angle $\widehat{OIM}$ est de $90^{\circ}$
 
Par suite, $OIM$ est un triangle rectangle en $I.$
 
Alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
 
$\begin{array}{rcl} OI^{2}+MI^{2}=OM^{2}&\Rightarrow&MI^{2}=OM^{2}-OI^{2}\\\\&\Rightarrow&MI^{2}=13^{2}-5^{2}\\\\&\Rightarrow&MI^{2}=169-25\\\\&\Rightarrow&MI^{2}=144\end{array}$
 
Ainsi, $MI^{2}=144$
 
Comme $144=12^{2}$ alors, $MI^{2}=12^{2}$
 
D'où : $\boxed{MI=12\;cm}$
 
$-\ $ Calcul de $IH$
 
On sait que dans un triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit est le produit des longueurs des côtés perpendiculaires divisé par la longueur de l'hypoténuse.
 
Donc, en appliquant cette relation métrique, on obtient :
$$IH=\dfrac{OI\times MI}{OM}$$
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} IH&=&\dfrac{5\times 12}{13}\\\\&=&\dfrac{60}{13}\\\\&=&4.6\end{array}$
 
D'où, $\boxed{IH=4.6\;cm}$

Exercice 15 Approfondissement

$EFG$ est un triangle rectangle en $E$ tel que : $EF=8\;cm\ $ et $\ EG=6\;cm.$
 
1) Calculons $FG$
 
Comme $EFG$ est un triangle rectangle en $E$ alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} FG^{2}&=&EF^{2}+EG^{2}\\\\&=&8^{2}+6^{2}\\\\&=&64+36\\\\&=&100\end{array}$
 
Donc, $FG^{2}=100$
 
Comme $100=10^{2}$ alors, $FG^{2}=10^{2}$
 
Ainsi : $\boxed{FG=10\;cm}$
 
2) Calculer l'aire du triangle $EFG.$
 
Soit $\mathcal{A}_{_{EFG}}$ l'aire du triangle $EFG$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{EFG}}&=&\dfrac{EF\times EG}{2}\\\\&=&\dfrac{8\times 6}{2}\\\\&=&\dfrac{48}{2}\\\\&=&24\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{_{EFG}}=24\;cm^{2}}$
 
3) Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $E.$
 
Calculons $EH\;,\ FH\ $ et $\ HG.$
 
$-\ \ $ Calcul de $EH$
 
Comme $H$ le pied de la hauteur issue de $E$ alors, en appliquant la relation métrique, on obtient :
$$EH=\dfrac{EF\times EG}{FG}$$
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} EH&=&\dfrac{8\times 6}{10}\\\\&=&\dfrac{48}{10}\\\\&=&4.8\end{array}$
 
D'où, $\boxed{EH=4.8\;cm}$
 
$-\ \ $ Calcul de $FH$
 
En effet, comme $[EH]$ est la hauteur issue de $E$ alors, $(EH)\ $ et $\ (FG)$ sont perpendiculaires en $H.$
 
Par suite, $EFH\ $ et $\ EGH$ sont deux triangles rectangles en $H.$
 
Donc, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $EFH$, on obtient :
$$FH^{2}+EH^{2}=EF^{2}$$
Ce qui donne, $FH^{2}=EF^{2}-EH^{2}$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} FH^{2}&=&8^{2}-(4.8)^{2}\\\\&=&64-23.04\\\\&=&40.96\end{array}$
 
Ainsi, $FH^{2}=40.96$
 
Or, on sait que : $40.96=(6.4)^{2}$ donc, $FH^{2}=(6.4)^{2}$
 
D'où, $\boxed{FH=6.4\;cm}$
 
$-\ \ $ Calcul de $GH$
 
En effet, comme $H\in[FG]$ alors, on a :
$$GH+FH=FG$$
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} GH&=&FG-FH\\\\&=&10-6.4\\\\&=&3.6\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{GH=3.6\;cm}$
 
4) Précisons le centre $M$ du cercle circonscrit au triangle $EGH$ puis calculons son rayon.
 
Comme $EGH$ est rectangle en $H$ alors, le centre $M$ du cercle circonscrit sera le milieu de l'hypoténuse.
 
Donc, $M$ est milieu de $[EG].$
 
Calcul du rayon
 
On a :
 
$\begin{array}{rcl} \text{rayon}&=&MG\\\\&=&\dfrac{EG}{2}\\\\&=&\dfrac{6}{2}\\\\&=&3\end{array}$
 
Ainsi, le rayon du cercle circonscrit au triangle $EGH$ est égal à $3\;cm.$
 
5) Soit $A$ le point de la demi-droite $[FE)$ tel que : $FA=12.5\;cm.$ Calculons $EA\ $ et $\ GA.$
 
$-\ \ $ Calcul de $EA$
 
Comme $H\in[FG]$ alors, on a :
$$EA+EF=FA$$
Ce qui donne : $EA=FA-EF$
 
Ainsi,
 
$\begin{array}{rcl} EA&=&12.5-8\\\\&=&4.5\end{array}$
 
D'où, $\boxed{EA=4.5\;cm}$
 
$-\ \ $ Calcul de $GA$
 
En effet, comme le triangle $EFG$ est rectangle en $E$ alors, les droites $(EG)\ $ et $\ (FA)$ sont perpendiculaires en $E.$
 
Par conséquent, $EGA$ est un triangle rectangle en $E.$
 
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
$$GA^{2}=EG^{2}+EA^{2}$$
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} GA^{2}&=&6^{2}+(4.5)^{2}\\\\&=&36+20.25\\\\&=&56.25\end{array}$
 
Ainsi, $GA^{2}=56.25$
 
Or, on sait que : $56.25=(7.5)^{2}$ donc, $GA^{2}=(7.5)^{2}$
 
D'où, $\boxed{GA=7.5\;cm}$
 
6) Montrons que $FGA$ est un triangle rectangle.
 
Pour cela, comparons $GA^{2}+FG^{2}\ $ et $\ FA^{2}$
 
On a :
 
$GA^{2}=(7.5)^{2}=56.25$
 
$FG^{2}=10^{2}=100$
 
$FA^{2}=(12.5)^{2}=156.25$
 
Alors, $GA^{2}+FG^{2}=56.25+100=156.25$
 
On remarque donc que $GA^{2}+FG^{2}=FA^{2}$
 
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $FGA$ est un triangle rectangle en $G.$
 
 

Exercice 16 Approfondissement

Soit un triangle $ABC$ et la hauteur $[BE]$ avec $E$ appartenant au segment $[AC].$ 
 
On pose $AC=12.5\;cm$ et $AE=4.5\;cm.$ On appel $x$ la longueur du segment $[BE].$
 
 
1) Calculons $AB^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $ABE.$
 
En effet, dans le triangle $ABC$, comme $E$ est le pied de la hauteur issue de $B$ alors, $(BE)\ $ et $\ (AC)$ sont perpendiculaires en $E.$
 
Donc, le triangle $ABE$ est rectangle en $E.$
 
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
$$AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}$$
Par suite, en remplaçant $BE$ par $x$ et $AE$ par sa valeur, on trouve : 
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&x^{2}+(4.5)^{2}\\\\&=&x^{2}+20.25\end{array}$
 
D'où, $\boxed{AB^{2}=x^{2}+20.25}$
 
2) Calculons $BC^{2}$ en fonction de $x$ dans le triangle $BCE.$
 
Le triangle $BCE$ est rectangle en $E$ alors, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
$$BC^{2}=BE^{2}+CE^{2}$$
Or, $E\in[AC]$ donc, $AE+CE=AC$
 
Par suite, $CE=AC-AE=12.5-4.5=8$
 
Donc, $CE=8\;cm$
 
Ainsi, en remplaçant $BE$ par $x$ et $CE$ par sa valeur, on obtient : 
 
$\begin{array}{rcl} BC^{2}&=&BE^{2}+CE^{2}\\\\&=&x^{2}+8^{2}\\\\&=&x^{2}+64\end{array}$
 
D'où, $\boxed{BC^{2}=x^{2}+64}$
 
3) On suppose que $ABC$ est rectangle en $B.$ En utilisant les résultats $1)$ et $2)$ appliquons lui le théorème de Pythagore et en déduisons que $2x^{2}=72.$
 
Comme $ABC$ est rectangle en $B$ alors, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
$$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$$
Or, d'après les résultats $1)$ et $2)$, on a :
 
$AB^{2}=x^{2}+20.25\ $ et $\ BC^{2}=x^{2}+64$
 
Donc, en remplaçant $AB^{2}\ $ et $\ BC^{2}$ par leurs expressions, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}&\Rightarrow&x^{2}+20.25+x^{2}+64=(12.5)^{2}\\\\&\Rightarrow&2x^{2}+84.25=156.25\\\\&\Rightarrow&2x^{2}=156.25-84.25\\\\&\Rightarrow&2x^{2}=72\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{2x^{2}=72}$
 
Calculons $x.$
 
D'après le résultat $3)$, on a : $2x^{2}=72$
 
Ce qui donne : $x^{2}=\dfrac{72}{2}=36$
 
Par suite, $x^{2}=36$ or, $36=6^{2}$
 
Donc, $x^{2}=6^{2}$
 
D'où, $\boxed{x=6}$
 
4) Calculons $AB\ $ et $\ BC.$
 
D'après le résultat $1)$, on a : $AB^{2}=x^{2}+20.25$
 
Donc, en remplaçant $x$ par $6$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&6^{2}+20.25\\\\&=&36+20.25\\\\&=&56.25\end{array}$
 
Ainsi, $AB^{2}=56.25$
 
Or, on sait que : $56.25=(7.5)^{2}$ donc, $AB^{2}=(7.5)^{2}$
 
D'où, $\boxed{AB=7.5\;cm}$
 
Toujours, d'après le résultat $1)$, on a : $BC^{2}=x^{2}+64$
 
Alors, en remplaçant $x$ par $6$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} BC^{2}&=&6^{2}+64\\\\&=&36+64\\\\&=&100\end{array}$
 
Ainsi, $BC^{2}=56.25$
 
Comme $100=10^{2}$ alors, $BC^{2}=10^{2}$
 
D'où, $\boxed{BC=10\;cm}$
 
Déterminons l'aire de $ABC.$
 
Soit $\mathcal{A}_{_{ABC}}$ l'aire du triangle $ABC$ alors, on a :
 
$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{ABC}}&=&\dfrac{AB\times BC}{2}\\\\&=&\dfrac{7.5\times 10}{2}\\\\&=&\dfrac{75}{2}\\\\&=&37.5\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{_{ABC}}=37.5\;cm^{2}}$
 
Remarque :
 
Comme $H$ est le pied de la hauteur issue de $B$ alors, on peut aussi l'expression suivante pour calculer l'aire de $ABC\ :$
$$\mathcal{A}_{_{ABC}}=\dfrac{BH\times AC}{2}$$

Exercice 17 Recherche

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A\ $ et $\ H$ le pied de la hauteur issue de $A.$
 
Montrons que $AH^{2}=BH\times CH;$
 
En effet, $H$ étant le pied de la hauteur issue de $A$ alors, les triangles $ABH\ $ et $\ ACH$ sont rectangles en $H.$
 
Donc,
 
en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$, on obtient :
$$AH^{2}+BH^{2}=AB^{2}$$
en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ACH$, on obtient :
$$AH^{2}+CH^{2}=AC^{2}$$
Ainsi, on a :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} AH^{2}+BH^{2}&=&AB^{2}\\\\AH^{2}+CH^{2}&=&AC^{2}\end{array}\right.$$
En additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
$$AH^{2}+BH^{2}+AH^{2}+CH^{2}=AB^{2}+AC^{2}$$
Ce qui donne :
$$2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=AB^{2}+AC^{2}$$
Or, $ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$$
Ainsi, en remplaçant $AB^{2}+AC^{2}$ par $BC^{2}$, on obtient :
$$2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}$$
Par ailleurs, on a : $H\in[BC]$ alors, $BC=BH+CH$
 
Ainsi, $BC^{2}=(BH+HC)^{2}=BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}$
 
Par suite, en remplaçant $BC^{2}$ par $BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} 2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=BC^{2}&\Leftrightarrow&2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}\\\\&\Leftrightarrow&2AH^{2}=BH^{2}+2\times BH\times CH+CH^{2}-BH^{2}-CH^{2}\\\\&\Leftrightarrow&2AH^{2}=2\times BH\times CH\\\\&\Leftrightarrow&AH^{2}=\dfrac{2\times BH\times CH}{2}\\\\&\Leftrightarrow&AH^{2}=BH\times CH\end{array}$
 
D'où, $\boxed{AH^{2}=BH\times CH}$
 
Montrons que $AB^{2}=BH\times BC;$
 
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ABH$, on obtient :
$$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$$
Or, on vient de monter que $AH^{2}=BH\times CH$
 
Donc, en remplaçant $AH^{2}$ par $BH\times CH$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&AH^{2}+BH^{2}\\\\&=&BH\times CH+BH^{2}\\\\&=&BH\times (CH+BH)\quad\text{or, }CH+BH=BC\\\\&=&BH\times BC\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{AB^{2}=BH\times BC}$
 
Montrons que $AC^{2}=BC\times CH.$
 
De la même manière, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $ACH$, on obtient :
$$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$$
Or, $AH^{2}=BH\times CH$
 
Donc, en remplaçant $AH^{2}$ par $BH\times CH$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AC^{2}&=&AH^{2}+CH^{2}\\\\&=&BH\times CH+CH^{2}\\\\&=&CH\times (BH+CH)\quad\text{or, }CH+BH=BC\\\\&=&CH\times BC\end{array}$
 
D'où, $\boxed{AC^{2}=CH\times BC}$
 

Exercice 18

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors, on a :
 
b) $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

Exercice 19

Répondons par vrai ou faux à chacune des affirmations ci-dessous.
 
1) Dans un triangle rectangle, la somme des côtés de l'angle droit est égale à l'hypoténuse.$\quad(\text{faux})$
 
2) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse.$\quad(\text{vrai})$

Exercice 20

Recopions puis complétons chacune des phrases ci-dessous.
 
1) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse.
 
2) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse.

Exercice 22

$ABCD$ est un rectangle de longueur $4\;cm$ et de largeur $3\;cm.$
 
 
Calculons la diagonale de ce rectangle.
 
Comme $ABCD$ est un rectangle alors, le triangle $ABC$ est rectangle en $B.$
 
Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient :
$$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$$
Par suite, en remplaçant $AB\ $ et $\ BC$ par leur valeur, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} AC^{2}&=&4^{2}+3^{2}\\\\&=&16+9\\\\&=&25\end{array}$
 
Ainsi, $AC^{2}=25$
 
Comme $25=5^{2}$ alors, $AC^{2}=5^{2}$
 
D'où, $\boxed{AC=5\;cm}$

Exercice 23

$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AB=15\;cm$ et $CB=12\;cm.$
 
La mesure de la hauteur issue de $C$ est égale à $7.2\;cm.$
 
 
Calculons $AC$ sans utiliser le théorème de Pythagore.
 
Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $C.$
 
Donc, en utilisant la relation métrique, on a :
$$CH=\dfrac{AC\times CB}{AB}$$
Ce qui donne alors : $\dfrac{AC\times 12}{15}=7.2$
 
Par suite,
 
$\begin{array}{rcl} AC\times 12=15\times 7.2&\Rightarrow&AC\times 12=108\\\\&\Rightarrow&AC=\dfrac{108}{12}\\\\&\Rightarrow&AC=9\end{array}$
 
D'où, $\boxed{AC=9\;cm}$

Exercice 24

$EGH$ est un triangle rectangle en $G$ tel que $GE=4\;cm\ $ et $\ GH=3\;cm.$
 
La mesure de la hauteur issue de $G$ est égale à $2.4\;cm.$
 
 
Calculons $EH$ sans utiliser le théorème de Pythagore.
 
En effet, on sait que : dans un triangle rectangle la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit est égale au produit des longueurs des côtés perpendiculaires divisé par la longueur de l'hypoténuse.
 
Donc, si $I$ est le pied de la hauteur issue de $G$ alors, on a :
$$GI=\dfrac{GE\times GH}{EH}$$
Par suite, en remplaçant $GI\;,\ GE\ $ et $\ GH$ par leur valeur, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} 2.4=\dfrac{4\times 3}{EH}&\Rightarrow&2.4\times EH=4\times 3\\\\&\Rightarrow&2.4\times EH=12\\\\&\Rightarrow&EH=\dfrac{12}{2.4}\\\\&\Rightarrow&EH=5\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{EH=5\;cm}$

Exercice 25

On donne trois points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ tels que : 
$$AB=5\;cm\;,\ AC=3\;cm\text{ et }BC=4\;cm$$
Montrons que le triangle $ABC$ est rectangle.
 
Pour cela, comparons $AC^{2}+BC^{2}\ $ et $\ AB^{2}.$
 
Calculons d'abord le carré de la longueur de chaque côté.
 
On a :
 
$AC^{2}=3^{2}=9$
 
$BC^{2}=4^{2}=16$
 
$AB^{2}=5^{2}=25$
 
Alors, $AC^{2}+BC^{2}=9+16=25$
 
On remarque donc que $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$
 
Or, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on sait que : si, dans un triangle le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors, le triangle est rectangle.
 
Par conséquent, le triangle $ABC$ est rectangle en $C.$

Exercice 26

Soit $M\;,\ N\ $ et $\ P$ trois points tels que : 
$$MN=1.5\;cm\;,\ NP=2.5\;cm\text{ et }PM=2\;cm$$
Montrons que le triangle $MNP$ est un triangle rectangle.
 
Calculons d'abord le carré de la longueur de chaque côté.
 
On a :
 
$MN^{2}=(1.5)^{2}=2.25$
 
$NP^{2}=(2.5)^{2}=6.25$
 
$PM^{2}=2^{2}=4$
 
Comparons ensuite $MN^{2}+PM^{2}\ $ et $\ NP^{2}.$
 
On a : $MN^{2}+PM^{2}=2.25+4=6.25$
 
Par suite, $MN^{2}+PM^{2}=NP^{2}.$
 
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $MNP$ est un triangle rectangle en $M.$

Exercice 27

On donne trois points $L\;,\ M\ $ et $\ N$ tels que : 
$$LM=2\;cm\;,\ MN=2\;cm\text{ et }NL=3\;cm$$
Le triangle $LMN$ n'est pas rectangle.
 
Justifions notre réponse.
 
En effet, d'après le théorème de Pythagore, on sait que : pour tout triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés perpendiculaires.
 
Donc, calculons d'abord le carré de la longueur de chaque côté.
 
On a :
 
$LM^{2}=2^{2}=4$
 
$MN^{2}=2^{2}=4$
 
$NL^{2}=3^{2}=9$ 
 
Par suite, $LM^{2}+MN^{2}=4+4=8$
 
On constate alors que $NL^{2}$ n'est pas égal à la somme $LM^{2}+MN^{2}.$
 
Par conséquent, le triangle $LMN$ n'est pas rectangle.

Exercice 28

On donne trois points $E\;,\ F\ $ et $\ G$ tels que : 
$$EF=2\;cm\;,\ FG=3.5\;cm\text{ et }GE=4\;cm$$
Le triangle $EFG$ n'est pas rectangle
 
Justifions notre réponse.
 
En effet, il suffit de comparer $GE^{2}$ avec la sommes $EF^{2}+FG^{2}.$
 
On a :
 
$EF^{2}=2^{2}=4$
 
$FG^{2}=(3.5)^{2}=12.25$
 
$GF^{2}=4^{2}=16$ 
 
Donc, $EF^{2}+GF^{2}=4+12.25=16.25$
 
On constate alors que $GE^{2}$ n'est pas égal à la somme $EF^{2}+FG^{2}.$
 
Par conséquent, le triangle $EFG$ n'est pas rectangle.

Exercice 29

En Mésopotamie, pendant l'antiquité, on utilisait des cordes à nœuds distants d'un mètre comme indique la figure ci-contre, pour obtenir des angles droits dans les constructions d'autels religieux.
 
 
Expliquons pourquoi cette corde à nœuds bien tendue donne un angle droit.
 
En effet, on remarque que cette corde à nœuds a la forme d'un triangle noté $ENO.$
 
Comme la distance entre deux nœuds est égale à $1\;m$ alors, on a :
 
$ON=3\times 1\;m=3\;m$
 
$OE=4\times 1\;m=4\;m$
 
$EN=5\times 1\;m=5\;m$
 
Donc, en calculant le carré chaque longueur, on obtient :
 
$ON^{2}=3^{2}=9$
 
$OE^{2}=4^{2}=16$
 
$EN^{2}=5^{2}=25$ 
 
Par suite, $ON^{2}+OE^{2}=9+16=25$
 
On constate alors que $ON^{2}+OE^{2}=EN^{2}.$
 
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ENO$ est un triangle rectangle en $O.$
 
Ce qui signifie que l'angle $\widehat{O}$ est un angle droit.
 
Ainsi, cette corde à nœuds bien tendue donne un angle droit.

Exercice 30

On a fixé au mur une étagère $[ET]$ en la soutenant par un support $[SP].$
 
 
$ST=17.6\;cm\;,\ TP=33\;cm\ $ et $\ SP=37.4\;cm.$
 
On suppose que le mur est vertical.
 
Alors, l'étagère est bien horizontale.
 
Justifions :
 
Considérons le triangle $STP.$
 
Calculons le carré de la longueur de chaque côté.
 
On a :
 
$ST^{2}=(17.6)^{2}=309.76$
 
$TP^{2}=33^{2}=1089$
 
$SP^{2}=(37.4)^{2}=1398.76$ 
 
Par suite, $ST^{2}+TP^{2}=309.76+1089=1398.76$
 
On constate alors que $ST^{2}+TP^{2}=SP^{2}.$
 
Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $STP$ est un triangle rectangle en $T.$
 
Ce qui signifie que $(ST)\ $ et $\ (TP)$ sont perpendiculaires en $T.$
 
Comme le mur est vertical alors, $(TP)$ est vertical.
 
Par suite, la droite $(ST)$ est horizontale.
 
D'où, $(ET)$ est horizontale car $E\;,\ S\;,\ T$ sont alignés.
 
Ce qui montre que l'étagère est bien horizontale.
 

Auteur: 
Diny Faye

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