Serie N°1 : Calcul dans $\mathbb{R}$ - 2nd L

 

Calcul élémentaire portant sur les fractions : Addition et Soustraction;

1. Calcule puis simplifier si possible le résultat obtenu :

$H=\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{18}{5}$ ;

$A=\left(-\dfrac{2}{12}\right)+\left(\dfrac{-7}{13}\right)$ ;

$M=-\dfrac{25}{15}+\dfrac{18}{5}$ ;

$I=\dfrac{25}{3}-\dfrac{7}{2}$ ;

$B=\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{-3}$ ;

$C=\left(+\dfrac{2}{7}\right)+\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ ;

$A=-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}$ ;

$R=3-\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ ;

$C=\left(+\dfrac{7}{7}\right)-\left(\dfrac{-2}{21}\right)$

Calcul élémentaire portant sur les fractions : Multiplication;

Simplifie si possible les produits avant d'effectuer

$A=3\times\dfrac{54}{18}$ ;

$B=\dfrac{18}{15}\times 5$ ;

$C=\dfrac{-75}{18}\times \dfrac{6}{-5}$ ;

$E=\dfrac{25}{15}\times \dfrac{18}{5}$ ;

$F=\dfrac{35}{25}\times\dfrac{7}{21}$ ;

$G=\dfrac{75}{18}\times\dfrac{6}{5}$

$H=3\times \dfrac{14}{28}$ ;

$I=\dfrac{18}{15}\times 5$ ;

$J=-3\times \dfrac{3}{4}$ ;

$K=-3\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ ;

$L=\left(-\dfrac{2}{15}\right)\times 35$ ;

$M=\dfrac{4}{3}\times -\dfrac{9}{12}$ ;

$N=\dfrac{125}{14}\times\dfrac{49}{-50}$ ;

$O=\dfrac{-248}{4}\times\dfrac{16}{-21}$ ;

$Q=\dfrac{-5}{-9}\times\dfrac{-18}{35}$ ;

$R=-\dfrac{24}{45}\times\left(-\dfrac{18}{42}\right)$

Calcul élémentaire portant sur les fractions : L division.

Calculer les quotients suivants puis simplifier.

$A=-\dfrac{12}{5}\ :\ 3$ ;

$B=\dfrac{4}{3}\ : \ -12$ ;

$C=\left(-\dfrac{2}{7}\right)\ :\ -8$ ;

$D=-\dfrac{\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{4}{5}}$ ;

$E=\dfrac{\dfrac{5}{7}}{3}$ ;

$F=\dfrac{-5}{-\dfrac{7}{8}}$ ;

$G=-\dfrac{4}{15}\ :\ +\dfrac{14}{25}$
 

Calcul élémentaire portant sur les fractions : la division.

Calculer puis simplifier.

$A=\dfrac{2}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}}$ ;

$B=\dfrac{2-\dfrac{5}{2}}{4}$ ;

$C=\left(\dfrac{4-(2-5)^{2}}{7-5}\right)^{3}+\dfrac{17}{8}$ ;

$D=\dfrac{\dfrac{2}{7}-\dfrac{5}{7}}{\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}}$ ;

$E=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}}$ ;

$F=\dfrac{\dfrac{3}{3}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{3}}\times \dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{4}{5}}$

$G=\dfrac{(-2)^{2}\times\dfrac{5}{3}}{7+\dfrac{2}{3}}\ :\ \dfrac{(-1)^{9}+\dfrac{4}{9}}{1-\dfrac{2}{11}}$

Simplification

Calcule les nombres suivants en présentant les résultats sous la forme d'une fraction
irréductible.

$A=\dfrac{3-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}}{2+\dfrac{5}{4}-\dfrac{4}{5}}$ ;

$B=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}-\left(+\dfrac{8}{3}\right)^{-3}$

$C=\left(\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}\ :\ \dfrac{1+\dfrac{1}{7}}{1-\dfrac{1}{7}}\right)\times\left(\dfrac{2-\dfrac{1}{9}}{3+\dfrac{5}{3}}\ :\ \dfrac{9-\dfrac{1}{2}}{5+\dfrac{9}{3}}\right)$

Simplification

Écris les nombres suivants à l'aide de puissances entières de nombres premières

$A=\dfrac{(-5)^{4}}{(-5)^{6}}\times \left[(-5)^{-2}\right]^{-1}$ ;

$B=\dfrac{8\times 5^{4}\times 7^{3}}{5^{3}\times 7^{5}\times 2^{6}}$ ;

$C=\dfrac{(-9)^{5}\times(-8)^{-3}}{16^{-2}\times (-12)^{6}}$ ;

$D=\dfrac{0.081\times 0.36\times 2560}{(0.009)^{-3}\times 2.16\times 64}$

Simplification

Soient $a$, $b$ et $c$ des réels non nuls.

Mettre sous la forme $a^{n}$ ou $a^{n}\cdot b^{p}$ ou $a^{n}$. $b^{p}$. $c^{q}$ les réels

suivants :

$A=\dfrac{a^{-2}.a^{3}.a^{5}}{a^{-4}.a^{3}.a^{2}}$ ;

$B=\dfrac{a^{5}}{b^{8}}\left(\dfrac{a}{b^{4}}\right)^{-2}$ ;

$C=\dfrac{\left(a^{2}b\right)^{3}\times b^{-2}\times c^{3}}{a^{2}\times c.\left(bc^{2}\right)^{2}}$ ;

$D=\dfrac{\left(a^{-2}c\right)^{-5}\times \left(-b^{2}c\right)^{4}\times\left(a^{5}bc^{-1}\right)^{-3}}{\left(-a^{2}\times b^{-5}c\right)^{3}\times \left(-b^{6}\right)\times \left(a^{-3}c\right)^{2}}$

Calcul sur les radicaux

Calculer le plus simplement possible :

$A=2\sqrt{8}-5\sqrt{32}+5\sqrt{16}-\sqrt{50}$ ;

$B=\sqrt{\dfrac{7}{3}}-3\sqrt{\dfrac{28}{27}}+4\sqrt{\dfrac{63}{75}}$ ;

$C=\dfrac{\sqrt{a^{2}\times \sqrt{a}}}{2a^{-2}\sqrt{a^{-1}}}\left(a> 0\right)$ ;

$M=\dfrac{2\sqrt{5}-3}{3\sqrt{2}+1}$ ;

$D=\left(2\sqrt{2}+3\right)^{2}+\left(3\sqrt{2}-2\right)^{2}-\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$ ;

$E=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ ;

Calcul sur le radicaux

1. Calcule :

$A=\dfrac{2\,m-18}{\sqrt{m}-3}+\dfrac{4}{9}$ et

$R=\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}+\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)^{2}$

2. Simplifie :

$K=\sqrt{600+\sqrt{576}+1}$ ;

$E=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{(1+6)^{2}}}}}}$

3. On pose $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, le nombre d'or.

Vérifier que $\phi^{3}=2\phi+1$

4. Donne une écriture simple de :

$M=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}$ et

$N=1-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

Calcul littéral : Développement

Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.

$A=(5x-2)(2x+1)+(x-2)(3x+1)$ ;

$B=(-6x-1)(x+2)-(7x-2)(-x-4)$ ;

$C=(4(3x-2)(-4x-3)-(5x-1)(-x+4)$ ;

$D=(5x-1)(5x+1)-2(2x+3)(2x-3)$ ;

« Calcul littéral :

Développement et identités remarquables »

Développer, réduire et ordonner en utilisant les propriétés des identités remarquables

$A=(x+3)^{2}$ ;

$B=(3x+2)^{2}$ ;

$C=(2+5x)^{2}$ ;

$D=(7x+3)^{2}$ ;

$F=(8x+5)^{2}$ ;

$M(2x-3)^{2}$ ;

$N=(6-x)^{2}$ ;

$O=(x-1)^{2}$ ;

$Q=(5x-1)^{2}$ ;

$R=\left(\dfrac{2x}{3}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$ ;

$S=(x+3)(x-3)$ ;

$V=\left(2+3x\right)\left(2+3x\right)$ ;

$T=(x-1)(x+1)$ ;

$K=(5x+1)(5x-1)$ ;

$J=\left(\dfrac{2x}{3}-2\right)\left(\dfrac{2x}{3}+2\right)$ ;

$G=\left(3x-\dfrac{1}{2}y\right)\left(3x+\dfrac{1}{2}y\right)$

Calcul littéral : Développement et identités remarquables

Développer, réduire et ordonner en utilisant les propriétés des identités remarquable

$A=(x+2)^{3}$ ;

$B=(3x+1)^{3}$ ;

$C=(3+5x)^{3}$ ;

$D=(2x+3)^{3}$ ;

$E=\left(\dfrac{2x}{3}+\dfrac{1}{2}\right)^{3}$ ;

$F=(8x+5)^{3}$ ;

$M=(x-3)^{3}$ ;

$N=(2-x)^{3}$ ;

$O=(4x-1)^{3}$ ;

$P=\left(\dfrac{2x}{3}-\dfrac{1}{2}\right)^{3}$

Calcul littéral : Développement et identités remarquables

Développer, réduire et ordonner chacune des expressions suivantes.

$A=(x+4)^{3}+(x-2)^{3}$ ;

$C=(2x+1)^{3}-2(3x-1)^{3}$ ;

$E=\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)^{3}+\left(\dfrac{3}{2}x-2\right)^{3}$ ;

$F=(2x+3)(-2x+3)+3(2x-1)^{3}$ ;

$G=-3(x-1)^{2}-(2x+5)^{3}$

Calcul littéral : Factorisation
Factorise chacune des expressions suivantes.

$A=(5x-2)(2x+1)+(5x-2)(3x+1)$ ;

$B=(6x-1)(x+2)-(6x-1)(-x-4)$ ;

$C=4(3x-2)(4x-3)-(5x-1)(3-4x)$ ;

$D=(x-1)(5x+1)-2(2x+3)(1-x)$ ;

Calcul littéral : Développement et identités remarquables
 
Factorise chacune des expressions suivantes.

$A=(x+3)^{2}-(3x+2)^{2}$ ;

$B=(2+5x)^{2}-(7x+3)^{2}$ ;

$E=\left(\dfrac{2x}{3}+\dfrac{1}{2}^{2}\right)-(8x+5)^{2}$

$M=(2x-3)^{3}-(6-x)^{3}$ ;

$O=(x-1)^{3}-(7x-2)^{3}$ ;

$Q=(5x-1)^{3}-\left(\dfrac{2x}{3}-\dfrac{1}{2}\right)^{3}$ ;

$V=(x+3)^{3}+(6-x)^{3}$ ;

$E=(x-1)^{3}+(7x-2)^{3}$ ;

$N=(5x+1)^{3}+\left(\dfrac{2x}{3}+\dfrac{1}{2}\right)^{3}$

Calcul littéral : Factorisation

Factorise chacune des expressions suivantes

$I=x^{3}-1$ ;

$H=x^{3}+1$ ;

$V=8x^{3}+27$ ;

$R=8x^{3}-27$ ;

$I=8x^{3}-1-(2x-1)^{3}$

$J=27x^{3}-1-2(3x-1)^{3}$ ;

$I=8x^{3}-1-3(2x-1)^{3}$ ;

$K=8-(2x+3)^{3}$ ;

$L=x^{3}+1-3(x+1)(3x+4)$ ;

$M=8(2x-1)^{3}-27(3x+1)^{3}$

Valeur absolue

Écrire les  nombres décimaux relatifs suivants sans symbole de valeur absolue

a. $|-4|=\ldots\ldots\ldots$

b. $|+\dfrac{4}{7}|=\ldots\ldots\ldots$

c. $|-237.7|=\ldots\ldots\ldots$

d. $|-\sqrt{17}|=\ldots\ldots\ldots$

e. $|3-2\sqrt{2}|=\ldots\ldots\ldots$

f. $|6-5\sqrt{3}|=\ldots\ldots\ldots$

2. Calcule : $B=\left(3\sqrt{2}-2\right)^{2}$ puis simplifie $C=\sqrt{22-12\sqrt{3}}$

Valeur absolue

Écrire sans symbole valeur absolue $||$

$M=|x+1|f$ ;

$N=|5x-10|$

$D=|x+2|+4$ ;

$F=|5x-10|-2$ ;

$=|5x-10|-|2x-1|$

1. Déterminer $E\cup F$

1. $E=]-\infty\ ;\ 4]$ et $F=]2\ ;\ 8]$ ;

2. $E=]-5\ ;\ 1]$ et $F=[7\ ;\ 12[$ ;

3. $=]-\infty\ ;\ 3]$ et $F=[-3\ ;\ +\infty[$ ;

4. $E=]-5\ ;\ 1]$ et $F=[2\ ;\ +\infty[$ ;

2. Déterminer $E\cap F$

1. $E=]-2\ ;\ 6]$ et $F=]-\infty\ ;\ 2]$ ;

2. $E=]-\infty\ ;\ 3]$ et $F=[3\ ;\ +\infty[$  ;

3. $E=]-5\ ;\ 1]$ et $F=[-3\ ;\ 6[$ ;

4. $E=]-10\ ;\ -1[$ et $F=[-6\ ;\ +\infty[$

Intervalle dans $\mathbb{R}$

a. $x\leq 5$

b. $x>-2$

c. $-3\leq x\leq 6$

d. $2< x\leq 5$

2. Traduire chacune des intervalles en inégalité.

a. $x\in[-1\ ;\ 3]$

b. $x]-\infty\ ;\ 1[$

c. $x\in[-2\ ;\ 70[$

d. $x\in\ ;\ +\infty[$

       
Équation et inéquation du type :

$ax+b=cx+d$ ou $ax+b< cx+d$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

a. $4x-3=6x+3$ ;

b. $3x-4=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{2}$

c. $\sqrt{2}x-3=2x-\sqrt{2}$ ;

d. $\dfrac{3}{4}(3x-1)=\dfrac{3}{4}(2x-3)$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équation suivantes :

a. $6x-1\leq 2x+4$ ;

b. $2x-1\leq 2x+2$ ;

c. $2(4-3x)<3(2x-1)$ ;

d. $-3(4-x)\geq -2(2x-1)$

Équation et inéquation du type : $(ax+b)(cx+d)=0$ ou $(ax+b)(cx+d)<0$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes

a. $(x-4)(x+\sqrt{2})=0$ ;

b. $(x-2)(x+3)=0$ ;

c. $\left(x+\dfrac{1}{3}\right)\left(x-\dfrac{1}{4}\right)=0$ ;

d. $(2x-5)(4x-3)-(2x-5)(6x-1)=0$ ;

e. $4x^{2}-1+(2x+1)(4x-5)=0$ ;

f. $9x^{2}-36=0$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

a. $(3x+1)(1-4x)\geq 0$ ;

b. $(-5x-3)(2x+3)\prec 0$ ;

c. $x^{2}-2\leq 0$

d. $5x^{2}-8\succ 0$

Équation et inéquation du type valeur absolue

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

a. $|2x-3|=5$ ;

b. $|3x+1|=-2$ ;

c. $|2x-3|=|x-4|$ ;

d. $\sqrt{(-3x+2)^{2}}$ ;

e. $|3x-4|=6$ ;

f. $|3x+2|=|2x-1|$ ;

g. $|x+3|=-4$ ;

h. $\sqrt{(3x-2)^{2}}=1$ ;

i. $\sqrt{(x+7)^{2}}=2x+4$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

a. $|2x-3|\leq 4$ ;

b. $|5x-7|\geq 3$ ;

c. $|1-3x|-2\prec 0$ ;

e. $|2x+6|-2\leq 0$ ;

f. $|6x-10|\geq -4$ ;

m. $|x-1|\geq 3$ ;

n. $|2x-1|\leq 2$ ;

t. $|x+2|\prec -2$

j. $|x|\succ 1$

Équation et inéquation du type quotient

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

g. $\dfrac{7}{x}=-4$

h. $\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{4}{3}$ ;

i. $\dfrac{-x+2}{x+3}=\dfrac{4}{3}$

j. $\dfrac{2}{x+3}=-\dfrac{4}{3}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

p. $x^{2}-2\leq 0$ ;

f. $\dfrac{2x-3}{x+2}\leq 0$ ;

g. $\dfrac{2x-4}{-x+3}> 0$ ;

h. $\dfrac{(2x-4)(-x-5)}{x+2}\geq 0$ ;

i. $\dfrac{2x-3}{(-6+x)(7x+2)}\prec 0$ ;

Équation et problème de la vie courante

Une mère a $30$ ans, sa fille a $4$ ans.
 
Dans combien d'années l'âge de la mère sera-t-il le triple de celui de sa fille ?
 

« Equation et problème »

Ndeuss, Dyé et Néné se partagent $79\,€$, Dyé en a $2$ fois plus que Ndeuss et Néné en a $7\,€$ de plus que Ndeuss.

Combien Ndeuss, Dyé et Néné ont-ils en argent ?

« Équation et problème »

1. Résoudre dans $Q$ l'équation : $20x-7560=13\,x$

2. Khoudia wade dépense le quart de son salaire pour son logement et les deux cinquièmes pour  la nourriture.

Elle lui reste $378\,€$ pour les autres dépenses.

Calculer son salaire mensuel.

Inéquation et problème de la vie courante

Moussa et Tatou vendent des jouets.

Moussa est payé $250\,F$ par heure et $150\,F$ en plus par jouet vendue.

Fatou est payée $100\,F$ par heure et $25\,F$ par jouet vendu.

Combien Moussa doit vendre de jouets pour gagner plus que Fatou en une heure ?

Inéquation et problème de la vie courante

Un père dit à son fils « Avec ces $2000\,f$, achète à la librairie $2$ stylos à $100\,f$ chacun et des cahiers à $250\,f$ chacun, autant que tu voudras ».

Combien de cahiers le fils peut-il acheter ? (Respecter

les étapes de la résolution d'un problème).

Inéquation et problème

Pour aller au cinéma, Moussa achète une carte d'abonnement à $1500\,F$ ce qui lui donne la droit  de payer $300\,F$ par séance.

Sachant qu'elle a assisté à $n$ séances, écris en fonction de $n$ la somme
totale $S$ dépensée pour le cinéma une somme supérieur à $7500\,F$

Calcule le nombre maximal de séances auxquelles elle peut assister