Série N°4 : Limite et continuité - 1er L

Limite en $x_{0}$ d'une fonction définie en $x_{0}$

 

Calcule la limite en $x_{0}$ de chacune des fonctions

 

1. $f(x)=x^{2}-5x+6\quad\quad x_{0}=-3$

 

2. $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+7x+1\quad\quad x_{0}=0$

 

3. $f(x)=\dfrac{-2x+1}{-x+3}\quad\quad x_{0}=2$

 

4. $f(x)=\dfrac{5x^{2}-3}{x^{2}+4}\quad\quad x_{0}=-2$

 

5. $g(x)=\sqrt{x-5}\quad\quad x_{0}=5$

 

6. $f(x)=\sqrt{5x+4}\quad\quad x_{0}=-\dfrac{4}{5}$

Limite à l'infini d'une fonction définie à l'infini.

 

a. Calcule

 

1. $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}-\dfrac{1}{x}$

 

2. $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}-\dfrac{x^{2}}{2}$

 

3. $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}2+\dfrac{1}{x}$

 

4. $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}-5x^{2}$

 

b. Calcule la limite en $x_{0}$ de chacune des fonctions

 

1. $f(x)=x^{2}-6\quad\quad x_{0}=-\infty$ ; 

 

2. $f(x)=-3x^{2}\quad\quad x_{0}=-\infty$ ; 

 

3. $f(x)=\dfrac{5}{2x+4}\quad\quad x_{0}=+\infty$

 

Exercice 3

Limite en $x_{0}$ d'une fonction non définie en $x_{0}$

 

Calcule :

 

1. $\lim\limits_{x\longrightarrow 9}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}$ ; 

 

2. $\lim\limits_{x\longrightarrow 4}\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{3}-8}$ ; 

 

3. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2}\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{x^{2}-4}$ ; 

 

4. $\lim\limits_{x\longrightarrow 9}\dfrac{\sqrt{x}-3}{x-9}$ ; 

 

5. $\lim\limits_{x\longrightarrow 4}\dfrac{x\sqrt{x}-8}{4-x}$ ; 

 

6. $\lim\limits_{x\longrightarrow 1}\dfrac{2x^{2}+x-3}{x^{2}+4x-5}$ ; 

a. Limite à l'infini d'une fonction définie à l'infini

 

a. Calcule la limite en $x_{0}$ de chacune des fonctions

 

1. $f(x)=x^{2}-2x+6\quad x_{0}=-\infty$ ; 

 

2. $f(x)=-3x^{3}+5x^{4}-7\quad x_{0}=+\infty$ ; 

 

3. $f(x)=4x^{3}-5x\quad x_{0}=+\infty$ ; 

 

4. $f(x)=\dfrac{x-5}{2x+4}\quad x_{0}=-\infty$ ; 

 

5. $f(x)=\dfrac{5-2x}{2x+4}\quad x_{0}=+\infty$ ; 

 

6. $f(x)=\dfrac{x^{2}-8}{-2x+4}\quad x_{0}=+\infty$ ;

 

7. $(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-x\quad x_{0}=-\infty$ ; 

 

8. $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-3x+2}{1+x}}x_{0}=+\infty$ ;

 

9. $f(x)=\sqrt{x^{2}-x}x_{0}=+\infty$

Limite à gauche et limite à droite

 

Calculer :

 

1. $\lim\limits_{x\longrightarrow -1^{-}}\dfrac{x^{2}+x-2}{x+1}$ ;

 

2. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2^{+}}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x-2}$ ;

 

3. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2}\dfrac{\sqrt{4x+1}-3}{x^{2}-4}$ ; 

 

4. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2^{-}}\dfrac{4x^{2}+2x-1}{x-2}$ ;

 

5. $\lim\limits_{x\longrightarrow 6}5x+6-\dfrac{7}{x-6}$ ; 

 

6. $\lim\limits_{x\longrightarrow 6}\sqrt{2x-12}$ ; 

 

7. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3^{-}}\sqrt{\dfrac{1}{3-x}}$ ; 

 

8. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3^{+}}5x+3-\dfrac{1}{\sqrt{3-x}}$ ;

 

9. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3^{-}}x+3$ ; 

 

10 $\lim\limits_{x\longrightarrow 2^{-}}2-x^{2}$ ; 

 

11 $\lim\limits_{x\longrightarrow 3^{+}}\dfrac{1}{2x-6}$ ; 

 

12 $\lim\limits_{x\longrightarrow 3^{+}}\dfrac{-7}{6-2x}$

 

Approfondissement

 

On considère la fonction suivante : 

 

$g(x)=\dfrac{x^{2}+4x+5}{x+2}$

 

1. Détermine le domaine de définition de $g.$

 

2. Calcule les limites aux bornes de $Dg$

 

En déduire les asymptotes

 

3. Détermine les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : 

 

$g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}$

 

4. Montre que la droite d'équation $y=x+2$ est une asymptote oblique à $cg.$

Approfondissement

 

On donne $p(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24$

 

1. Montre que $2$ est une racine de $p(x).$

 

2. Factorise $p(x)$

 

3. Résoudre $p(x)=0$ et $p(x)\geq 0$

 

4. En déduire le domaine de définition :

 

a. $h(x)=\dfrac{3x^{2}-4x+1}{p(x)}$

 

b. $f(x)=\sqrt{p(x)}$

 

c. Calcule les limites aux bornes des $h(x)$, en déduire les asymptotes.

 

d. Calcule les limites aux bornes des $f(x)$, en déduire les asymptotes

Continuité en un point

 

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R_{+}^{\ast}}$ par $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \sqrt{x-1}&\text{ si }&x\geq 2\\ \dfrac{4}{x^{2}}&\text{ si }&<x<2 \end{array}\right.$ Montre que $f$ est contenue en $2.$

Continuité en un point

 

On donne la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \text{pour }\ldots x\leq\ldots 2\ldots\ldots f(x)&=&2x^{2}-x+5\\ \text{pour }\ldots x\succ 2\ldots\ldots f(x)&=&3x+1 \end{array}\right.$

 

Étudier la continuité de $f$ en $x_{0}=2$

Continuité en un point

 

On donne la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : 

 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \text{pour }\ldots x\leq 0\ldots\ldots g(x)&=&\dfrac{2x-3}{x^{2}+2}\\ \text{pour }\ldots x\succ 0\ldots\ldots g(x)&=&\dfrac{2x^{2}+x+3}{x^{2}+5x-2} \end{array}\right.$

 

Étudier la continuité de $f$ en $x_{0}=0$

Continuité d'une fonction usuelle

 

Pour chacune des fonctions suivantes, rappeler sur quel(s) ensemble(s) la fonction est définie et continue.

 

$f_{1}\ :\ x\mapsto 2x^{3}+3x^{2}+1$

 

$f_{2}\ :\ x\mapsto |x|$

 

$f_{3}\ :\ x\mapsto \sqrt{x}$

 

$f_{4}\ :\ x\mapsto 1/x$

Continuité sur un intervalle

 

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} |x|+x+1&\text{ si }&x\leq 1\\ \sqrt{x}\left(x^{2}+2\right)&\text{ si }> 1 \end{array}\right.$

 

1. Montre que $f$ est continue sue $\mathbb{R}-{1}$

 

2. Étudier la continuité de $f$ en $I$

 

3. En déduire la continuité de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.

Continuité sur un intervalle

 

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \sqrt{x}-\dfrac{1}{x}&\text{ si }x>4\\ (x+k)^{2}&\text{ si }&x\leq 4 \end{array}\right.$ Déterminer la (les) valeur(s) du réel $k$ pour que $f$ soit continue sur son ensemble de définition.