Série N°2 : Polynômes - 1er L

Exercice 1 :

Identification d'un polynôme

Parmi les fonctions numériques suivantes, reconnaître celles qui sont des polynômes et préciser le degré et le coefficient du terme de plus haut degré

1.

$f(x)=10x^{2}-5x+2x^{7}$ ;

$g(x)=\sqrt{x^{2}-5x^{2}+7}$ ;

$h(x)=\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+7x}{\sqrt{2}}$ ;

$p(x)=3x^{5}+|x|-7$

2.

$f(x)=\left(x\sqrt{3}-2\right)\left(x^{2}+\pi\right)$ ;

$g(x)=\left(x^{3}-2x^{2}\right)\left(x^{5}-3x\right)-x^{8}$ ;

$h(x)=\dfrac{x^{4}-81}{x^{2}+9}$ ;

$p(x)=-\dfrac{1}{2}x^{4}+\dfrac{7}{x}+x^{2}$

Exercice 2 :

Forme canonique

Mettez chacun des polynômes

$P(x)$ sous la forme canonique :

a.

$P(x)=x^{2}-4x+9$

b.

$P(x)=x^{2}-x+6$

c.

$P(x)=2x^{2}-3x+1$

d.

$P(x)=2x^{2}-x-1$

e.

$P(x)=x^{2}+9$

f.

$P(x)=x^{2}-16$

g.

$P(x)=-x^{2}-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{9}$

Exercice 3 :

Équation du second degré

1. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ chacune des équations et inéquations suivantes :

a.

$x^{2}+2x-1=0$ ;

$b. -x^{2}+x-1=0$ ;

c.

$-5x^{2}+x+1=0$

d.

$3x^{2}+5x-1=0$ ;

e.

$169x^{2}+13x-1=0$ ;

f.

$\dfrac{1}{2}x^{2}+5x-1=0$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ chacun des systèmes d'équations suivantes :

a.

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&4\\ xy&=&3 \end{array}\right.$ ;

b.

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&13\\ xy&=&40 \end{array}\right.$

c.

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&-1\\ xy&=&-1 \end{array}\right.$ ;

d.

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&2\\ xy&=&3 \end{array}\right.$

e.

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&4\\ xy&=&-12 \end{array}\right.$

Exercice 4 :

Équation du second degré

1. Étudie le signe de chacune des trinômes

a.

$x^{2}+2x-1$ ;

b.

$-4x^{2}+5x-2$ ;

c.

$3x^{2}-12x-9=0$

d.

$-36x^{2}+64$ ;

e.

$x^{2}-6x+8=0$ ;

f.

$x^{2}-x=0$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ chacun des inéquations suivantes :

a.

$x^{2}+x-2<0$ ;

b.

$3x^{2}-6x+3\geq 0$ ;

c.

$2x^{2}-x+9>$

d.

$2x^{2}-x+1\geq 0$ ;

e.

$x^{2}-\dfrac{1}{2}x-1<0$ ;

f.

$x^{2}-2x+5\leq 0$

3. Factoriser si possible les polynômes du second degré :

a.

$f(x)=x^{2}+6x-7$ ;

b.

$f(x)=2x^{2}-x+1$ ;

c.

$f(x)=x^{2}+11x-26$

Exercice 5 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode de la division Euclidienne.

On considère le polynôme

$P$ définie par :

$P(x)=x^{3}-x^{2}-5x+6$

1. Montre que

$-2$ est une racine de

$P(x)$

2. Factorisation

$P(x)$ par la méthode de la division euclidienne.

Exercice 6 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode de la division Euclidienne.

On considère le polynôme h définie par :

$h(x)=-2x^{3}-x^{2}+5x-2$

1. Calculer

$h(1)$ Conclure.

2. Factorisation

$P(x)$ par la méthode de la division euclidienne.

Exercice 7 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode de la division Euclidienne.

On considère le polynôme

$h$ définie par :

$k(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$

1. Trouve une racine évidente

$k(x)$

2. Factorisation

$k(x)$ par la méthode de la division euclidienne.

Exercice 8 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de coefficient.

On considère le polynôme

$h$ définie par :

$A(x)=2x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$

1. Montre que

$4$ est une racine de

$A(x)$

2. Factorisation

$A$ par la méthode d'identification des coefficients.

Exercice 9 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de coefficient.

On considère le polynôme h définie par :

$B(x)=x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$

1. Calcule

$B(1)$ et

$B(-2)$

2. Factorisation

$B$ par la méthode d'identification des coefficients.

Exercice 10 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de coefficient.

Soit

$C$ le polynôme défini par :

$C(x)=x^{3}-3x+2$

1. Trouve une racine évidente de

$C(x)$

2. Factorise

$C(x)$ par la méthode d'identification des coefficients.

Exercice 11 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode de Höner.

On considère le polynôme h définie par :

$A(x)=2x^{3}-3x^{2}-23x+12.$

1. Montre que

$4$ est une racine de

$A(x).$

2. Factorisation

$A$ par la méthode de Höner.

Exercice 12 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de Höner.

On considère le polynôme h définie par :

$B(x)=x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$

1. Calcule

$B(1)$ et

$B(-2)$

2. Factorisation

$B$ par la méthode d'identification de Honer.

Exercice 13 :

Factorisation d'un polynôme : Méthode d'identification de Höner.

Soit

$C$ le polynôme défini par :

$C(x)=x^{3}-3x+2$

1. Trouve une racine évidente de

$C(x)$

2. Factorise

$C(x)$ par la méthode d'identification de Höner.

Exercice 14 :

Résolution d'équation et d'inéquation.

1. Développe, réduis et ordonne

$p(x)=x^{3}-3x+2.$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}p(x)=0$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}p(x)\leq 0$

4. Déduire les solution de l'équation :

$\left(\sqrt{x}-3\right)^{3}-7\left(\sqrt{x}-3\right)-6=0$

Exercice 15:

On considère le polynôme

$f$ définie par :

$f(x)=x^{4}+x^{3}-5x^{2}-3x+6$

1. Calculer

$f(1)$ et

$f(-2)$

2. En déduire une factorisation de

$f(x).$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation :

$f(x)=0$

4. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation :

$f(x)\geq 0$

Exercice 16 :

Résolution d'équation et d'inéquation.

Soit le polynôme

$p(x)x^{3}+ax^{2}+bx+6$ où

$a$ et

$b$ sont des nombres réels ;

1. Déterminer

$a$ et

$b$ sachant que

$p(-2)=0$ et

$p(-1)=8$

2. On pose

$p(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$

a. Factoriser

$p(x)$

b. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation :

$p(x)=0$

c. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation :

$p(x)\leq 0$

Exercice 17 :

Résolution d'équation et d'inéquation.

Soit

$P$ le polynôme défini par :

$P(x)=2x^{3}-5x^{2}-4x+a$

1. Détermine le réel a tel que

$P(x)$ soit divisible par

$2x-1$

2. Mettre

$P(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs binômes.

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}P(x)=0$ et

$P(x)\leq 0$

4. En déduire la résolution de l'équation

$P\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$

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