Série N°1 : Système d'équations et d'inéquation - 1er L

Exercice 1 : Méthode d'addition

 

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ en utilisant la méthode d'addition.

 

$a. \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y&=&1\\ 2x+y&=&4 \end{array}\right.\quad\quad b.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3y-1&=&0\\ -3x+2y+5&=&0 \end{array}\right.$

 

$c.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+10y&=&58\\ 10x+3y&=&72 \end{array}\right.\quad\quad d.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y&=&7\\ 3x+4y&=&5 \end{array}\right.$

 

Exercice 2 : Méthode de substitution

 

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ en utilisant la méthode de substitution

 

$a\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+y-4&=&0\\ -3x+5y-1&=&0 \end{array}\right.\quad\quad b\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y-7&=&0\\ 3x+4y-5&=& \end{array}\right.$

 

$c \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y-1&=&0\\ 2x-y+7&=&0 \end{array}\right.\quad\quad d.\left\lbrace\begin{array}{rcl}-\dfrac{1}{3}x+y-1&=&0\\ 2x-\dfrac{1}{4}y+7&=&0 \end{array}\right.$

 

Exercice 3 : Méthode de comparaison

 

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ en utilisant la méthode de comparaison.

 

$a.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y-1&=&0\\ x+2y-4&=&0 \end{array}\right.\quad\quad b.\left\langle\begin{array}{rcl} -x-9y&=&0\\ 3x+y&=&8 \end{array}\right.$

 

$c.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+5y-1&=&0\\ 2x-3y+5&=&0 \end{array}\right.\quad\quad d\left\lbrace\begin{array}{rcl} -x+2y-7&=&0\\ 2x+3y-1&=&0 \end{array}\right.$

 

Exercice 4 : Méthode de Cramer

 

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ en utilisant la méthode de Cramer

 

$a.\left\lbrace\begin{array}{rcl}2x+2y&=&1\\3x+4y&=&6\end{array}\right.\quad\quad b.\left\lbrace\begin{array}{rcl} -x-9y&=&\\3x+y&=&8 \end{array}\right.$

 

$c.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+2y-1&=&0\\ 2x+\dfrac{4}{3}y-\dfrac{2}{3}&=&0 \end{array}\right.\quad\quad d.\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}y&=&1\\ -x+\dfrac{2}{3}y&=&\dfrac{2}{3}\right. \end{array}$

 

Exercice 5 : Méthode de Pivot de Gauss

 

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ chacun des systèmes en utilisant la méthode du Pivot de Gauss (avec la combinaison)

 

$a.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y-z-8&=&0\\ -x+3y+4z+7&=&\\ 2x-y+2z+6&=& \end{array}\right.\quad\quad b.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+2z&=&5\\ 3x+2y+z&=&10\\ 2x-3y-2z&=&-10 \end{array}\right.$

 

$c.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x-2y-7z&=&20\\ 3x-y+3z&=&10\\ 2x-3y-z&=&3 \end{array}\right.\quad\quad d.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+z&=&8\\ y+z&=&10\\ x+y&=&5 \end{array}\right.$

 

Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ chacun des systèmes en utilisant la méthode du Pivot de Gauss (avec la comparaison)

 

$e.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y-z-8&=&0\\ -x+3y+4z+7&=&0\\ 2x-y+2z+6&=&0 \end{array}\right.$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          $g.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&2\\ 4x+5y-20z&=&-2\\ -3x+5y+5z&=&4 \end{array}\right.$

 

 

Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ chacun des systèmes en utilisant la méthode du Pivot de Gauss (avec substitution)

 

$h.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&1\\ 5x-2y-10z&=&0\\ 3x+5y-2z&=&6 \end{array}\right.$

 

$i.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 5x+2y-3z&=&1\\ 8x-4y+3z&=&-5\\ 2x-5y+4z&=&-6 \end{array}\right.$

 

$j.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y+z&=&15\\ 2x+2y-5z&=&-10\\ -9x+y+2z&=&5 \end{array}\right.$

 

Exercice 6 : Inéquation du premier degré à deux inconnues Résoudre graphiquement les systèmes suivants :

 

$a.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-1&\geq& 0\\ 2x-y+4&<& \end{array}\right.\quad\quad b.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+y-1&\geq&0\\ -2x+y+2&<&0 \end{array}\right.$

 

$c.\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-1&\geq&0\\ 2x+2y+2&\leq&0 \end{array}\right.\quad\quad d.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-2y-1&<&0\\ x+2y+3&\geq&0\\ x+y&>&0 \end{array}\right.$

 

$e.\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-2y+5&\geq&0\\ 2x+y-2&\leq&0\\ x-2&\geq&0 \end{array}\right.$

 

 

Exercice 8 : Problème d'optimisation

 

Lors de son anniversaire, Karine veut faire un cocktail de jus de fruits.

 

Elle achète $x$ litres de jus de goyave à $600\,F$ le litre et y litres de jus d'ananas à $400\,F$ le litre.

 

Karine veut avoir au moins $10$ litres de ce cocktail de jus de fruit, mais elle ne dispose pour cela que $6000\,F$

 

Résoudre graphiquement ce problème.

 

$(\text{On cherchera les valeurs possibles de } x \text{ et } y)$