Série N° 8 : Suite arithmétique et suite géométrique
Rappel du cours portant les suite
I. Suite arithmétique
1. Définition :
Une suite (Un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n Un+1=Un+r.r est appelé raison de la suite
2. Calcul de Un :
Si Un est une suite arithmétique de raison, alors pour tous les entiers naturels n et p , on a : Un=U0+nr et Un=Up+(n−p)r
3. Somme de n premier termes :
Si (Un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U0, alors pour tout entier n : \boxed{S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots U_{a 1}=\dfrac{n\left(U_{0}+U_{n+1}\right)}{2}=\dfrac{\text{nombre\ldots\text{ et }\ldots\text{terme}\left(1er\text{terme } \text{dernier\ldots\text{terme}\right)}}}}{2}}
S est appelé la somme de n premiers termes de la suite (Un).
Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi- somme des termes extrême.
II Suite géométrique :
1. Définition :
Une suite ((Un) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n. $$\boxed{U_{n+1}=q\cdot U_{n}\quad\quad q\text{est appelé raison de la suite}}$
2. Calcul de Un :
Si Un est une suite géométrique de raison q , alors pour tous les entiers naturels n et p , on a : Un=U0qn et Un=Upqn−p
3. Somme de n premier termes :
Si (Un) est une suite géométrique de raison q(q≠1) et de premier terme U0, alors pour tout entier n : \boxed{S_{n}=U_{0}+U_{1}+U_{2}+\ldots U_{n-1}=\dfrac{U_{0}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\dfrac{1^{er}\text{terme}\left(1-q^{\text{nombre\ldots\text{ de }\ldots\text{terme}\right)}}}{1-q}}
S est appelé la somme de n premiers termes de la suite (Un).
Remarque :
Nombre de terme =(indice du dernier terme − indice du 1er terme +1.
Exercice 1
Généralité
La suite (Un) est définie par :
Un=3n−1
Calcule les termes d'indice 0 à 5.
Exercice 2
Généralité
On donne la suite (Un) définie par :
Un=2n+2+5n+5
Calcule à 10−2 prés, les termes d'indice 0 à 4.
Exercice 3
Généralité
On donne la suite (Un) définie par :
{U0=7Un+1=Un−5
Calculer U1 et U5
Exercice 4
Suite arithmétique
Soit Un une suite arithmétique de premier terme U0=10 et de raison −7.
1. Exprime Un en fonction de n.
2. Calcule U100
Exercice 5
Suite arithmétique
Soit Un une suite arithmétique de premier terme U1=7 et de raison 2.5
1. Exprime Un en fonction de n.
2. Calcule U50.
Exercice 6
Suite arithmétique
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques.
Pour les suites arithmétiques, précise la raison et la premier terme.
1.U0=2 et, pour tout entier naturel n,Un=1n+8
2. Pour tout entier naturel n,UN1n+8
3. Pour tout entier naturel n,Un=2n2+8
Exercice 7
Suite arithmétique
On considère les suites numériques (Un) définie par :
a. Un+1=Un−2 ;
b. Un=Un+2 ;
c. {Un=4n−7Un+1=4n+2
d. {Un=−n+1Vn+1=−n−5
Dans chacun des cas ci-dessous :
1. Démontrer que (Un) est une suite arithmétique.
2. Indique la raison et le premier terme.
3. Exprime \left(U_{n} en fonction de n
Exercice 8
Suite géométrique
Soit Un une suite géométrique de premier terme U0=2 et de raison 3.
1. Exprime Un en fonction de n.
2. Calcule U7.
Exercice 9
Suite géométrique
Soit Vn une suite arithmétique de premier terme V1=7 et de raison 4.5.
1. Exprime Un en fonction de n.
2. Calcule U30
Exercice 10
Suite géométrique
Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites géométriques.
Pour les suites géométriques, précise la raison et la premier terme.
1. U0=5 et, pour tout entier naturel n, Un+1=−2Un.
2. Pour tout entier naturel n, Un=8×(23)n
3. Pour tout entier naturel n, Un=2n+8
Exercice 11
Suite géométrique
On considère les suites numériques (Vn) définie par :
a. Vn+1=34Vn ;
b. 7vn=vn+1 ;
c. {Vn=7nVn+1=2n
d. {Vn=2n+4Vn+1=3n
Dans chacun des cas ci-dessous :
1. Démontrer que (Vn) est une suite arithmétique.
2. Indique la raison et le premier terme.
3. Exprime (Vn) en fonction de n
Exercice 12
« suite récurrente »
On considère la suite (Un) définie par :
{U0=2Un+1=32Un+1
1. Calculer U1 et U2
2. On considère la suite (Vn) définie par :
Vn=Un+2 par tout n appartient à N
a Calculer V0 et V1
b. Montrer que (Vn) est une suite géométrique.
Préciser la raison et le premier terme de (Vn)
c. Exprimer (Vn) puis Un en fonction de n.
3. Calculer Sn=V0+V1+…+Vn−1 en fonction de n puis S′n en fonction de n.
Exercice 13
« Suite arithmétique dans la vie courante »
Un particulier effectue un devis auprès d'une entreprise de forage.
Le cout du forage d'un puits est calculé de la manière suivante :
− Le premier mètre coute 200F
− Chaque mètre supplémentaire coute 70F de plus que le précédent.
On note Un le prix du nième foré.
Ainsi U1=200
1. Calcule U2 et U3
2. Quelle est la nature de la suite Un ?
Donner l'expression de Un en fonction de n.
3. Déterminer le prix à payer pour forer un puits de 9 mètres de profondeur.
Exercice 14
Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 2010.
Le loyer annuel initial est 250.000f
La personne s'engage à occuper la maison pendant 10 ans complets et accepte une augmentation annuelle de 5%
du loyer (c'est-à-dire chaque année, il paye % de plus que l'année précédente).
On désigne par Un le loyer payé lors de la nième année.
1. Calculer le loyer U2 payé au er janvier 2011
2) a) Calculer Un+1 en fonction de Un.
En déduire la nature de la suite (Un)
a. donner l'expression de Un en fonction de n.
Calculer U10
3) Quel est le montant total des loyers au bout des 10 années ?
Exercice 15
« Détermination d'une suite »
Soit (Un)n≥1 une suite arithmétique telle que U8=1 et U25=−16
1. Déterminer la raison r et le premier terme U1 de cette suite.
2. Exprimer Un en fonction de n.
Exercice 16
« Détermination d'une suite »
(Un) est une suite géométrique de premier terme U1 et de raison q strictement positif.
1. Déterminer q sachant que :
625U12=16U8
\text{5On remarquera que\ :\ 625=5'4\text{ et }16=2^{4})
2. Calculer U1 sachant que :
U3=12125
3. On pose Sn=U1+U2+…+Un.
Exprimer Sn en fonction de n.
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