Série d'exercices sur la statistique 1e S

Les populations suivantes peuvent-elles être utilisées pour une étude statistique, sans ambiguïté ?

1) L'ensemble des habitants de Dakar.

2) L'ensemble des étudiants inscrits à l'université de Dakar en $2013.$

Réponses :

1) L'ensemble des habitants de Dakar n'est pas une population définie car :

l'année n'est pas précisée les individus qui sont immigrants à Dakar et qui y résident une partie seulement de l'année sont-ils réellement des habitants de Dakar ?

2) L'ensemble des étudiants de l'UCAD en $2013$ est bien défini et peut être utilisé sans ambiguïté pour une étude statistique car on connait de façon sure qui est ou n'est pas étudiant inscrit à l'UCAD en $2013.$

Dire parmi les caractères suivantes ceux qui sont qualitatifs et ceux qui sont quantitatifs :

le sexe, l'âge, la taille, le poids, la nationalité, la tension artérielle, la situation matrimoniale, le coefficient intellectuel.

Dire parmi les caractères suivants ceux qui peuvent être considérés comme discrets et ceux qui peuvent être considérés comme continus :

1) la taille des individus d'une population donnée

2) le coefficient intellectuel

3) la durée des appels d'un téléphone portable d'un individu durant une journée donnée

4) le nombre de candidats d'un jury de baccalauréat en $2013$, au Sénégal

5) les notes de mathématiques sur $20$, de l'ensemble des candidats au baccalauréat au Sénégal en $2013$

Déterminer $f_{5}$ dans le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Modalités}&M_{1}&M_{2}&M_{3}&M_{4}&M_{5}  \\ \hline \text{Fréquences }f_{i}&0.11&0.31&0.13&0.25&f_{5} \\ \hline \end{array}$$

Les individus d'une population sont regroupés en 6 classes $[C_{i}\;,\ C_{i+1}[$ d'égales

amplitudes ayant pour centres respectifs : $22\;,\ 32\;,\ 42\;,\ 52\;,\ 62\;,\text{ et }72.$

1) Quelle est l'amplitude $a$ de chaque classe ?

2) Déterminer chacune de ces $6$ classes

3) La moyenne de la série statistique correspondante peut-elle être égale à :

$20$ ? $84$ ? $36$ ?

4) La variance de cette série peut-elle être égale à :

$-18$ ? $0.32$ ?

On donne le tableau statistique suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Poids en }kg&30&40&60&80&90&100 \\ \hline \text{Effectifs}&10&20&10&30&40&n  \\ \hline \end{array}$$

Déterminer l'effectif $n$ sachant que la moyenne de cette série est $83.5\;kg.$

On donne le tableau statistique suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Taille en }cm&[160\;,\ 170[&[170\;,\ 180[&[180\;,\ 190[&[190\;,\ 200[&\text{Plus de }200 \\ \text{effectifs}&40&30&10&5&2  \\ \hline \end{array}$$

1) Quelle est la dernière classe sachant que toutes les classes ont la même amplitude ?

2) Quelle est en pourcentage, la proportion d'individus mesurant au moins de $185\;cm$ ?

3) Quelle est en pourcentage, la proportion d'individus mesurant plus de $200\;cm$ ?

Une étude statistique a porté sur les notes sur $20$, en mathématiques obtenues par $50$ candidats à un examen :

$$\begin{array}{ccccccccc} 10 & 8 & 7 & 14 & 15 & 16 & 12 & 9 & 11 \\  13 & 11 & 12 & 6 & 5 & 13 & 14 & 12 & 19 \\  11 & 18 & 6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 11 & 8 \\  13 & 14 & 15 & 8 & 8 & 8 & 10 & 10 & 11 \\  11 & 12 & 13 & 14 & 9 & 10 & 6 & 18 & 7 \\  4 & 4 & 5 & 5 & 10 & & & &  \end{array}$$

1) Regrouper ces $50$ notes dans des classes d'égale amplitude $2$ et dresser le tableau statistique contenant les classes, les milieux $x_{i}$ des classes, les effectifs, les effectifs cumulés croissants, les effectifs cumulés décroissants.

2) Calculer la moyenne $\overline{x}$ de cette série

3) Construire l'histogramme de cette série

4) Quel est le nombre de candidats ayant obtenu une note strictement supérieure à $15$ ?

5) Quel est le nombre de candidats ayant obtenu une note au moins égale à $10$ ?

6) Quel est le nombre de candidats ayant obtenu une note appartenant à $]5\;,\ 20[$ ?

Lors d'une étude sur les populations en milliers d'habitants de certaines localités du Sénégal, en 2000 et en 2010, on a obtenu le diagramme à bandes suivant :

Cette étude avait pour objectif d'étudier l'effet de l'exode sur les populations rurales.

Quelles sont les localités qui ont le plus souffert de l'exode rural ?

On considère une population de 20 familles, une étude statistique sur le nombre d'enfants de chaque famille a donné le diagramme en bâtons suivants :

1) Quels sont les individus de la population ?

2) Quel est :

a) Le caractère étudié ?

b) L'effectif total ?

c) Les valeurs $x_{i}$ du caractère ?

d) Les effectifs partiels ?

e) Le mode de cette série ?

3) Dresser le tableau des effectifs

4) Calculer et interpréter la moyenne $\overline{x}$, puis la variance $V(X)$.

5) Déterminer les quartiles $Q_{1}\;,\ Q_{2}\;,\text{ et }Q_{3}$ de cette série statistique et en construire le diagramme en boite

6) Calculer le coefficient de variation, l'écart absolu moyen par rapport à la moyenne, l'écart interquartile

On considère le tableau statistique suivant

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Classes}&[0\;,\ 5[&[5\;,\ 10[&[10\;,\ 15[&[15\;,\ 20[&[20\;,\ 25[ \\ \hline \text{Effectifs}&10&20&10&5&5  \\ \hline \end{array}$$

1) Construire l'histogramme des fréquences correspondant à ce tableau statistique et le polygone des fréquences

2) Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes et la courbe des fréquences cumulées décroissantes

Donner par lecture graphique la médiane $M_{e}$ de cette série statistique

3) Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart type de cette série statistique

4) Déterminer par le calcul les quartiles de cette série statistique

On considère le tableau statistique suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Classes}&[0\;,\ 4[&[4\;,\ 6[&[6\;,\ 8[&[8\;,\ 12[&[12\;,\ 17[ \\ \hline \text{Effectifs }n_{i}&20&10&5&5&10 \\ \hline \end{array}$$

1) Calculer l'amplitude $a_{i}$ et la densité $d_{i}$ de chaque classe $[C_{i}\;,\ C_{i+1}[$

2) Construire l'histogramme des effectifs de cette série statistique

3) Quelle est la classe modale ?

4) Calculer la moyenne $\overline{x}$ et la variance $V(X)$ de cette série statistique.

5) Déterminer par le calcul les quartiles de cette série statistique

Lors d'un test comprenant 10 questions notées chacune sur 10, un candidat a obtenu les 10 notes suivantes :

$3\;,\ 5\;,\ 9\;,\ 9\;,\ 9\;,\ 10\;,\ 7\;,\ 8\;,\ 3\;,\ 6$

1) Calculer la moyenne $\overline{x}$ de ce candidat

2) Déterminer la note médiane

On considère 5 terrains carrés de cotés respectifs

$5\;cm\;,\ 6\;cm\;,\ 6\;cm\;,\ 8\;cm\;,\text{ et }10\;cm.$

1) Déterminer l'aire moyenne de ces terrains et en déduire le coté moyen

$\overline{C}$ à $10^{-2}$ près par excès

2) Calculer le coté moyen $\overline{C}$ d'une autre façon

3) Déterminer le coté médian de ces terrains

On donne le tableau statistique suivant

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&1&2&4&5&6&8&9&10 \\ \hline n_{i}&10&12&11&13&15&20&14&5 \\ \hline \end{array}$$

Calculer la moyenne $\overline{x}$, la variance $V(X)$ et la médiane de cette série statistique

Soit le tableau statistique suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Classes}&[10\;,\ 20[&[20\;,\ 30[&[30\;,\ 40[&[40\;,\ 50[&[50\;,\ 60[  \\ \hline \text{Effectifs}&10&20&10&5&5 \\ \hline \end{array}$$

1) Déterminer la classe nodale

2) Calculer les quartiles de cette série statistique

Sur $5$ devoirs de mathématiques un élève a obtenu la moyenne de $13$ sur $20.$

Lors d'un $6^{eme}$ devoir, cet élève a obtenu la note de $17$ sur $20$

Quelle est la moyenne de cet élève sur l'ensemble des $6$ devoirs ?

la moyenne de $3$ devoirs d'un élève est de $12$ sur $20$, la moyenne de $2$ autres devoirs de cet élève est de $13$ sur $20.$

Quelle est la moyenne de cet élève sur l'ensemble des $5$ notes ?

On considère le tableau statistique suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&200&300&500&600&800&900&1000&1200 \\ \hline n_{i}&10&15&15&20&5&8&12&15 \\ \hline \end{array}$$

On pose $y_{i}=x_{i}-700$

1) Calculer $\overline{y}$ et en déduire $\overline{x}$

2) Calculer la variance $V(Y)$ et en déduire la variance $V(X)$

Lors de l'étude d'un caractère quantitatif $X$ sur une population donnée, une première série de $7$ observations a donné une moyenne de $5$ et une variance de $6.$

Une $2^{ième}$ série de $13$ observations a donné une moyenne de $6$ et une variance de $8$

Les $7$ valeurs de $X$ lors de la première série d'observation sont notées

$x_{1}\;,\ x_{2}\;,\ x_{3}\;,\ x_{4}\;,\ x_{5}\;,\ x_{6}\text{ et }x_{7}$

et les valeurs de $X$ lors de le $2^{eme}$ série d'observations sont notées

$x_{8}\;,\ x_{9}\;,\ x_{10}\;,\ x_{11}\;,\ x_{12}\;,\ x_{13}\;,\ x_{14}\;,\ x_{15}\;,\ x_{16}\;,\ x_{17}\;,\ x_{18}\;,\ x_{19}\text{ et }x_{20}$

1) En utilisant la formule de Koenig pour chaque série d'observations montrer que :
 
$$\sum_{i=1}^{7}\;x_{i}^{2}=217\text{ et }\sum_{i=8}^{20}\;x_{i}^{2}=572$$

2) Montrer que la moyenne de $X\text{ est }\dfrac{113}{20}$

3) Montrer que la variance de $X\text{ est de }V(X)=\dfrac{3011}{400}$

On donne le tableau statistique suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&1500&2000&2500&3000&3500&4000&4500&5000 \\ \hline n_{i}&130&350&210&130&90&50&30&10 \\ \hline \end{array}$$

On pose $y_{i}=\dfrac{x_{i}-2500}{500}$ pour $i$ allant de 1 à 8.

1) Dresser le tableau statistique de la série statistique des $(y_{i}\;,\ n_{i})$ pour $i$ allant de 1 à 8.

2) Calculer le moyenne $\overline{y}$ de la série des $(y_{i}\;,\ n_{i})$

et en déduire $\overline{x}$ de la série des $(x_{i}\;,\ n_{i})$

3) Calculer la variance $V(Y)$ et en déduire la variance $V(X)$.

4) Déterminer la médiane de la série des $(x_{i}\;,\ n_{i})$

5) Calculer l'écart absolu moyen de la série des $(x_{i}\;,\ n_{i})$, par rapport à la moyenne $\overline{x}$

6) Calculer l'écart absolu moyen de la série des $(x_{i}\;,\ n_{i})$, par rapport à la médiane $M_{2}$

On considère la boite moustaches suivante :

Déterminer :

1) La plus petite et la plus grande valeur du caractère

2) L'étendue de la série

3) Les quartiles de cette série

4) L'intervalle interquartile

Une étude sur le nombre d'années d'exercices $X$, des ouvriers d'une entreprise et leur salaire mensuel $Y$ en milliers de francs a donné les résultats indiqués dans le tableau ci-dessous

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline y\backslash x &2&6&10&14&18&22 \\ \hline 75&a&5&0&0&0&0 \\ \hline 125&0&7&1&0&2&0 \\ \hline 175&2&0&9&8&15&4 \\ \hline 225&0&1&0&3&b&1 \\ \hline \end{array}$$

1) Déterminer $a\text{ et }b$ pour que la moyenne de $1^{ere}$ série marginale $X$ soit $\overline{x}=\dfrac{996}{59}$ et la moyenne de la $2^{eme}$ série marginale $Y$ soit $\overline{y}=\dfrac{8450}{59}$

2) Donner les valeurs $n_{11}\;,\ n_{36}\;,\ n_{5}\;,\ n_{4}$

3) Donner l'effectif total $N$ de cette série statistique double

4) a) Établir le tableau des effectifs de le première série marginale $X$ et celui de la deuxième série marginale $Y$

b) calculer les variances marginales $V(X)\text{ et }V(Y)$

5) Calculer :

a) Le salaire moyen $m_{1}$ des ouvriers qui ont $2$ années d'exercices

b) La fréquence du salaire $125$ milles francs sachant que c'est lui d'un ouvrier qui a $6$ ans d'exercices

c) La fréquence des ouvriers qui ont $18$ ans d'exercices sachant qu'ils ont un salaire de $175$ milles francs

d) Le nombre moyen d'années d'exercices des ouvriers qui ont un salaire de $225$ milles francs

e) Calculer la fréquence des individus qui ont $6$ ans d'exercices et un salaire de $125$ milles francs

f) Dresser le tableau statistique de la série conditionnelle $Y/X=x_{2}$ et celui de la série conditionnelle $X/Y=y_{3}$

1) Compléter le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x\backslash y & 3 & 6 & 7 & 8 & \text{Total} \\ \hline 2 & 5 & 4 & & & 16 \\ \hline 3 & & 3 & 4 & 3 & \\ \hline 4 & 3 & 5 & 2 & & 12 \\ \hline \text{Total} & 10 & & 11 & & 40 \\ \hline \end{array}$$

2) Calculer
$$f\dfrac{x_{2}}{y_{2}}\;,\ f_{2}\;,\ f_{3}\;,\ f\dfrac{y_{3}}{x_{1}}\;,\ f_{23}\text{ et }f_{32}$$

3) $X\text{ et }Y$ sont-ils indépendants ?

Compléter le tableau des fréquences suivant sachant que $X\text{ et }Y$ sont indépendants.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x\backslash y & 10 & 30 & 40 & 50 & \text{Total} \\ \hline 2 & & & & & 0.45 \\ \hline 3 &  & & & & 0.55 \\ \hline \text{Total} & 0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Remplir le tableau des effectifs suivants sachant que $X\text{ et }Y$ sont indépendants :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x\backslash y & 12 & 13 & 15 \\ \hline 5 & 8 & 12 & 2 \\ \hline 7 & & 24 & \\ \hline 8 & & & 5 \\ \hline \end{array}$$

On donne le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x\backslash y & [0\;,\ 4[ & [4\;,\ 8[ & [8\;,\ 12[ & [12\;,\ 16[ & [16\;,\ 20[ \\ \hline [0\;,\ 4[ & 2 & 5 & 2 & 0 & 0 \\ \hline [4\;,\ 8[ & 1 & 12 & 10 & 3 & 0 \\ \hline [8\;,\ 12[ & 0 & 3 & 28 & 12 & 1 \\ \hline [12\;,\ 16[ & 0 & 1 & 5 & 10 & 2 \\ \hline [16\;,\ 20[ & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$$

1) Représenter graphiquement la série statistique double $(X\;,\ Y)$ par un nuage de points $M_{ij}(x_{i}\;,\ y_{j})$ pondère par $n_{ij}$

2) Déterminer les séries marginales $X\text{ et }Y$ et calculer les moyennes marginales $x\text{ et }y$ et les variances marginales $V(X)\text{ et }V(Y)$

3) Déterminer les distributions conditionnelles de $X$ liées par $Y$

Déterminer les distributions conditionnelles de $Y$ liées par $X$

Calculer toutes les moyennes et toutes les variances conditionnelles.

4) Déterminer la distribution des moyennes conditionnelles $m_{i}$ de $Y$ liées par $X.$

Calculer sa moyenne et sa variance

5) Déterminer la distribution des variances conditionnelles $V_{i}$ de $Y$ liées par $X$ et calculer sa moyenne