Série d'exercices : Fonction logarithme népérien - Ts
Classe:
Terminale
Simplification d'écriture
Exercice 1
1) Simplifier $\ln(n^{7})-12\ln\sqrt{n}+\ln\left(\dfrac{2}{n}\right)\text{ pour }n\in\mathbb{N}^{\ast}.$
2) Montrer que $\ln(5000)^{3}=12\ln 5+9\ln 2.$
3) Simplifier l'expression suivante après avoir déterminé pour quelles valeurs elle est définie :
$\ln\dfrac{x+5}{x+3}-\ln(x+5)+\ln(x+3).$
4) Montrer que, pour tout $x>0$ :
$\dfrac{\ln \left(\dfrac{2\mathrm{e}}{x}\right)}{\ln 2}=1+\dfrac{1-\ln x}{\ln 2}$
5) Simplifier $\ln\mathrm{e}^{4}+ln\dfrac{1}{\mathrm{e}^{4}}+\ln\sqrt{e}-\ln\dfrac{1}{\sqrt{e}}$
6) Calculer $y$ sachant que :
$\ln y=\ln(7+5\sqrt{2})+8\ln(\sqrt{2}+1)+7\ln(\sqrt{2}-1)$
7) Démontrer l'égalité :
$\dfrac{7}{16}\ln(3+2\sqrt{2})-4\ln [\sqrt{2}+1)=\dfrac{25}{8}\ln(\sqrt{2}-1).$
Équations et Inéquations
Exercice 2
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
1) $\ln x=-4\quad 2)\ \ln(x+2)+\ln(x-2)=\ln(2x+11)$
$3)\ ln(x+4)+ln x=0\quad 4)\ \ln(2x+1)-\ln(x+2)=ln(2-x)$
$5)\ 2\ln x=ln(2x-1)\quad 6)\ 2\ln x=\ln 2.$
$7)\ \ln(x^{2}-4)=\ln(2x+11)\quad 8)\ \ln x(x+4)=0$
$9)\ \ln x+\ln x^{2}=\ln 8\quad 10)\ 2\ln x=ln(-2x-11)$
$11)\ \dfrac{\ln|x-3|}{\ln|2x+1|}=\dfrac{\ln|2x+1|}{\ln|x-3|}\quad 12)\ \ln(x^{2}+2x-3)-2\ln(x-1)=2$
$13)\ \ln(x+3)+\ln(x+2)=\ln(x+11)\quad 14)\ \ln(x^{2}+5x+6)=\ln(x+11)$
$15)\ \ln(-x-2)=\left(\dfrac{-x-11}{x+3}\right)\quad 16)\ \ln(x+2)=\ln(-x-11)\ln(x+3)$
$17)\ \ln^{2}x+\ln x-6=0\quad 18)\ 2\ln^{2}-3\ln x-2=0$
$19)\ \ln^{2}x-3\ln x=0\quad 20)\ \ln^{3}x-2\ln^{2}x-\ln x+2=0$
$21)\ \ln[\ln(x-1)(x^{2}-x-1)]=\ln[\ln(8x+1)]\quad 22)\ \ln^{4}x-34ln^{2}x+225=0.$
Exercice 3
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
$1)\ \ln x<-2\quad 2)\ 2\ln x\leq\ln 3\quad 3)\ \ln x^{2}\leq\ln 3$
$4)\ \ln(x+3)+\ln(x-4)<2\ln(x-1)\quad 5) \ \ln[(x+3)(x-4)]<\ln(x-1)^{2}$
$6)\ 1+\ln(x+3)>\ln(x^{2}+2x-3)\quad 7)\ \ln(\ln(x^{2}+1)>0$
$8)\ \ln\left(\dfrac{3x+1}{x+2}\right)<0\quad 9)\ \ln^{2}x+\ln x-2>0\quad 10)\ \ln^{2}x-3\ln x\leq 0.$
Calculs de limites
Exercice 4
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de leur ensemble de définition :
$1)\ f\ :\ x\mapsto x-\ln x\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto (\ln x)^{2}-x\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x+1}{\ln x-1}$
$4)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x+1)-\ln(x-1)\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1+\ln x}{(\ln x)}$
$6)\ f\ :\ x\mapsto (1-x)^{2}-\ln x\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\ln\sqrt{x}-x$
$8)\ f\ :\ x\mapsto\ln\sqrt{x+1}-x\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln[2x+1)}{\ln x}$
$10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln(x+1)}{x}\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln(x+1)}{x^{2}}$
$12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln(x+1)}{2-x} \quad 13)\ f\ :\ x\dfrac{\ln(x^{2}+1)}{x}$
$14)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x^{2}-x-2)\quad 15)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}-1}{x\ln x}$
$16)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{3x+1}{x-1}\right)\quad 17)\ f\ :\ x\mapsto 2x\ln x-x^{2}$
$18)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x-1}+\ln(x-1)\quad 19)\ f\ :\ x\mapsto\ln|1-x|$
$20)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2\ln x+1}{2x}\quad 21)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$
$22)\ f\ :\ x\mapsto(x+1)\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\quad 23)\ f\ :\ x\mapsto(x-2)\ln\left(\dfrac{x+1}{x^{2}-4x+4}\right)$
$24)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{x^{2}-4x}{x^{2}-4x+3}\right)$
Exercice 5
a) Déterminer, lorsque $x$ tend vers zéro, la limite de $f(x)$ dans chacun des cas suivants :
$1)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+2x)}{x}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+\sin x}{x}$
$3)\ f(x)=\dfrac{x+2}{x}\ln\left(1+\dfrac{x}{x+2}\right)$
b) Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués :
$1)\ f(x)=\dfrac{\ln(\tan x)}{\sin x-\cos x}\;;\ x_{0}=\dfrac{\pi}{4}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+\cos x}{\cos x}\;;\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$
$3)\ f(x)=\dfrac{\ln(1+\sin x}{\sin x}\;;\ x_{0}=0\quad 4)\ f(x)=\dfrac{x+1}{x}+\ln x-\ln(x+1)\;;\ x_{0}=0\;,\text{ puis }x_{0}=+\infty$
$5)\ f(x)=\dfrac{x^{2}\sqrt{|\ln x|}}{x-1}\;;\ x_{0}=1\quad 6)\ f(x)=\dfrac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}\;;\ x_{0}=\mathrm{e}$
$7)\ f(x)=\sin x\ln x\;;\ x_{0}=0\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto x\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\;;\ x_{0}=+\infty$
$9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{x-2}\ln(x-1)\;;\ x_{0}=2$
Dérivées
Exercice 6
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes après avoir déterminé l'ensemble de dérivabilité.
$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}\ln x\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{2x-3}{x-1}\right)$
$3)\ f\ :\ x\mapsto\ln[(2x+1)(x-3)]\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{1-\ln x}$
$5)\ f\ :\ x\mapsto\ln\sqrt{2x-1}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left|\dfrac{3x-1}{x+1}\right|$
$7)\ f\ :\ x\mapsto\ln|\ln x|\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$
$9)\ f\ :\ x\mapsto\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$
Primitives
Exercice 7
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :
$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2}{3-x}\text{ sur }]3\;;\ +\infty[\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}\text{ sur }]-\infty\;;\ +\infty[$
$3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x\ln x}\text{ sur }]1\;;\ +\infty[\;,\text{ puis sur }]0\;;\ 1[$
$4)\ f\ :\ x\mapsto\tan x\text{ sur }]-2\;;\ 0[\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x-1}{x^{2}-2x+3}\text{ sur }\mathbb{R}$
$6)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{2x+1}\text{ sur }\left]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}\right[\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2\ln x}{x}\text{ sur }]0\;;\ +\infty[$
$8)\ f\ :\ x\dfrac{2x^{2}+x-1}{x^{2}}\text{ sur }]0\;;\ +\infty[\quad 9)\ f\ :\ x\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[$
$10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1+\tan^{2}x}{\tan x}\text{ sur }\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\quad 11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{(x+1)[\ln(x+1)]^{2}}\text{ sur }]0\;;\ +\infty[$
$12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x}{1-x^{2}}+\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\text{ sur }]-1\;;\ 1[$
$13)\ f\ :\ x\mapsto 1+\ln x\text{ sur }]0\;;\ +\infty[.$
(Indication : écrire $1=x\times\dfrac{1}{x}).$
En déduire les primitives de $\ln\text{ sur }]0\;;\ +\infty[.$
$14)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{13x+1}{x(x+1)}$ (on mettra d'abord $f(x)$ sous la forme $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}\text{ avec }a\text{ et }b$ réels)
Exercice 8
Dans chacun des cas suivants, déterminer les nombres réels $\alpha\text{ et }\beta$ annulant le polynôme dénominateur.
Déterminer des réels $a\;,\ b\text{ et }c$ tels que, pour tout $x$ élément de l'ensemble de définition de $f$, on ait :
$f(x)=a+\dfrac{b}{x-\alpha}+\dfrac{c}{x-\beta}.$
En déduire une primitive de la fonction étudiée.
$1)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-x}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}}$
$3)\ f(x)=\dfrac{2x^{2}+4x-5}{1-x^{2}}\quad 4)\ f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-4x+3}$
$5)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}-2x-8}\quad 6)\ f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+x-12}$
Exercice 9
Trouver les réels $a\text{ et }b$ tels que :
$\forall \;x \in\;\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\;,\ \dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{a\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{b\cos x}{1+\sin x}$
En déduire les primitives sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{\cos x}.$
Exercice 10
Soit $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\text{ et }g\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}.$
1) Donner une primitive sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ de chacune des fonctions $h_{1}\ :\ x\mapsto f+g\text{ et }h_{2}\ :\ x\mapsto f-g$
2) En déduire une primitive sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ de chacune des fonctions $f\text{ et }g.$
Exercice 11
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}-x-6}$
1) a) Mettre $f(x)$ sous la forme $\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{b}{x-3}\;,\ \forall \;x \in D_{f}.$
b) En déduire la primitive sur $]-2\;;\ 3[\text{ de }f$ qui s'annule en 2.
2) Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-2x-2}{x^{3}-1}$
a) Trouver les réels $a\;,\ b\text{ et }c$ tels que :
$\forall \;x \in D_{f}\;,\ f(x)=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x^{2}+x+1}$
b) En déduire la primitive $F\text{ de }f\text{ sur }]-\infty\;;\ 1[\text{ de }f \text{ telle que }F(-1)=-\ln 2.$
Étude de fonctions
Exercice 12
Étudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer leur courbe représentative dans le plan rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
$1)\ f\ :\ x\mapsto x\ln x\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\ln^{2}x\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x}{x}$
$4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{(\ln x)^{2}} \quad 5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\ln x}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$
$7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^{2}}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|$
Exercice 13
Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}^{\ast}\setminus\left\lbrace-\dfrac{1}{2}\right\rbrace\text{ dans }\mathbb{R}$ définie par :
$f(x)=\dfrac{x+1}{2x+1}+\ln|x|.$
1) Étudier les variations de la fonction $f.$
2) Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
N.B.
(La construction de $\mathcal{C}$ n'est pas demandée).
Montrer que $\mathcal{C}$ coupe l'axe $(O\;,\ \vec{i})$ en trois points d'abscisses $a\;,\ b\text{ et }c$ tels que :
$-1\leq a\leq -\dfrac{1}{2}\;\ -\dfrac{1}{4}<b<-\dfrac{1}{8}\;;\ \dfrac{3}{8}<c<\dfrac{1}{2}.$
Exercice 14
Soit $f$ la fonction définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln\dfrac{1}{|x|}\text{ si }x\neq 0 \\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$$
1) Montrer que $f$ est continue au point $x=0.$
Étudier la dérivabilité de $f$ en 0 2) Étudier les variations de $f.$
Donner une équation de la tangente en $A$ d'abscisse 1.
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ et de la tangente en $A.$
3) Tracer $\mathcal{C}_{f}.$
Exercice 15
Soit $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x}{x-\ln x}$
1) Étudier les variations de $g\ :\ x\mapsto x-\ln x.$
En déduire l'ensemble de définition de $f.$
2) Montrer que l'on peut prolonger $f$ par continuité à droite au point $x=0.$
Soit $h$ ce prolongement. Étudier la dérivabilité de $h$ en 0.
3) Étudier les variations de $h.$
4) Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{h}$ au point d'abscisse 1 et préciser la position de $\mathcal{C}_{h}$ par rapport à cette tangente.
5) Tracer $\mathcal{C}_{h}$ dans un repère orthonormé.
Exercice 16
Soit $f$ la fonction définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x^{2}\sqrt{|\ln x|}\text{ si }x\neq 0\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$$
1) Montrer que $f$ est dérivable en 0 et préciser $f'(0).$
2) Étudier la dérivabilité de $f$ en 1.
3) Étudier les variations de $f.$
4) Construire $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal.
Exercice 17
Soit la fonction $f$ définie sur $I=\left[\mathrm{e}\;;\ +\infty\right[\text{ par : }f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x.$
1) Étudier les variations de $f\text{ sur }I.$
2) Quelle est la limite en $+\infty$ de la fonction :
$x\mapsto f(x)-\ln x.$
Représenter sur un même graphique la fonction $\ln$ et la fonction $f$ (pour $x \in I$).
Exercice 18
Étude de la fonction $f\ :\ x \mapsto x-\ln x$
1) Étudier les variations de cette fonction.
2) On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
Déterminer l'équation de la tangente $T\text{ à }\mathcal{C}$ au point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\mathrm{e}.$
3) Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ est entièrement située au-dessus de $T.$
(Pour cela, on étudiera le sens de variation d'une fonction bien choisie).
4) Déduire de la question 3) la limite de $f\text{ en }+\infty.$
5) Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $T.$
6) La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une tangente de coefficient directeur 1 ?
Exercice 19
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle définie par : $f(x)=\ln\left(\dfrac{5-x}{3+x}\right).$
1) Rechercher l'ensemble de définition de $f$ et les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble.
2) Étudier les variations de $f.$
3) On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans le plan rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité de longueur : $1\;cm$).
Rechercher le point $A$ d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe $(O\;,\ \vec{i})$ et former une équation de la tangente $T\text{ à }\mathcal{C}$ en ce point.
4) Démontrer que le point $A$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}.$ Construire $\mathcal{C}\text{ et }T.$
Exercice 20
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x)=x+4+\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|.$
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé , le centimètre étant l'unité de longueur.
1) a) Étudier les variations de $f.$
b) Montrer que $\mathcal{C}$ admet trois asymptotes, dont l'une $\Delta$ d'équation $y=x+4$ ; préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta.$
3) Montrer que l'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des ordonnées est un centre de symétrie pour $\mathcal{C}.$
d) Construire la courbe $\mathcal{C}$;
On placera en particulier les points d'abscisses $-3\;;\ -1\;;\ 0\;;\ 1\;;\ 3.$
2) Soit $k$ un nombre réel.
Étudier suivant les valeurs de $k$ le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x+k.$
Montrer que lorsque $\mathcal{D}\text{ coupe }\mathcal{C}$ en deux points distincts, d'abscisses $x'\text{ et }x''$, le produit $x'x''$ est indépendant de $k.$
Exercice 21
Soit la fonction $f\ :\ x\mapsto\ln(1-\ln x).$
1) Étudier les variations de $f.$Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de $f\;,\ D_{f}.$
2) Montrer que $f$ est une bijection de $D_{f}$ sur un ensemble $I$ que l'on précisera.
3) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}\text{ de }f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $1\;cm$).
Exercice 22
Soit la fonction définie par :
$f(x)=\dfrac{(\ln|x|)^{2}}{x}$
1) Démontrer que $f$ est une fonction impaire.
Étudier les variations de $f.$
Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
2) Montrer que $f$ définit une bijection de $]0\;;\ 1]$ sur un intervalle à préciser.
Discuter suivant les valeurs du paramètre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation :
$$[\ln(x)]^{2}=m$$
Exercice 23
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ de la fonction numérique $fg$ définie sur $\mathbb{R}^{\ast}_{+}\text{ par : }g(x)=\dfrac{x}{2}+2\dfrac{\ln x}{x}.$
1) On considère la fonction \begin{eqnarray} h\ :\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\nonumber \\ x&\mapsto &x^{2}-2\ln x+2\nonumber \end{eqnarray}
Étudier les variations de $h$ et préciser le signe de $h(x).$
(On ne demande pas de tracer la courbe représentative de $h.$)
2) Étudier les variations de la fonction $g.$
Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ a deux asymptotes que l'on déterminera.
Montrer que $\mathcal{C}$ coupe l'une de ces asymptotes en un point que l'on précisera.
Tracer la courbe $\mathcal{C}.$
Problèmes
Exercice 24
Dans ce problème, on étudie la famille de fonctions $f_{\lambda}$ définies par :
$f_{\lambda}(x)=1+\ln(1+\lambda x)\text{ où }\lambda$ est un nombre réel non nul.
$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ est un repère orthonormé, $(\mathcal{C}_{\lambda})$ est la courbe représentative de $f\text{ et }\mathcal{D}$ est la droite d'équation $y=x.$
1) Donner l'ensemble de définition de $f_{\lambda}.$
(On distinguera les cas $\lambda > 0\text{ et }\lambda < 0.)$
2) a) Existe-t-il un lien entre les deux courbes $(\mathcal{C}_{\lambda})\text{ et }(\mathcal{C}_{-\lambda})$ ?
b) Soit $(\Gamma)$ la représentation graphique de la fonction logarithme népérien.
Trouver, lorsque $\lambda > 0$, une translation qui transforme $(\Gamma)\text{ en }(\mathcal{C}_{\lambda}).$
3) On pose $\varphi(x)=f_{\lambda}(x)-x.$
a) On suppose $\lambda < 0.$
Étudier les variations de $\varphi_{\lambda}$ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition.
En déduire le nombre de points d'intersection de $(\mathcal{C}_{\lambda})\text{ et }\mathcal{D}.$
b) On suppose $\lambda > 0.$
Étudier les variations de $\varphi_{\lambda}$ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition (on pourra par exemple mettre $x$ en facteur dans l'expression de $\varphi_{\lambda}(x)$ pour déterminer la limite à l'infini).
Établir que la plus grande valeur prise par $\varphi_{\lambda}(x)$ , quand $x$ décrit le domaine de définition de $\varphi_{\lambda}\text{ est }m(\lambda)=\dfrac{1}{\lambda}+\ln\lambda.$
c) Étudier, quand $\lambda$ décrit $]0\;;\ +\infty[$, les variations de $m$ ; en déduire son signe.
d) Combien, lorsque $\lambda$ est positif, $(\mathcal{C}_{\lambda})\text{ et }\mathcal{D}$ ont-elles de points communs ?
Exercice 25
$f$ est la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par :
pour tout $x \in \mathbb{R}^{\ast}_{+}$ :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$$
$(\mathcal{C})$ est sa courbe représentative
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0.
2) On considère la fonction $g$ définie pour $x \in [1\;;\ +\infty[\text{ par }g(x)=x\ln x$ et on appelle
$(\Gamma)$ sa courbe représentative dans le même repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
Étudier $g$ et tracer $(\Gamma).$
3) Étudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty.$
Montrer que les courbes $(\Gamma)\text{ et }(\mathcal{C})$ sont asymptotes et préciser leurs positions relatives.
4) Déterminer $f'\text{ et }f''$ , puis étudier le sens de variation de $f'$ et montrer que $f'$ est positive.
Achever l'étude de la fonction $f.$
Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ sur la même figure que $(\Gamma).$
Exercice 26
1) Soit $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{x-1}+\ln|x-1|$
a) Étudier $f$ et dresser son tableau de variation.
b) Calculer $f(0)$ ; en déduire le signe de $f.$
2) Soit $g\ :\ x\mapsto x\ln|x-1|.$
a) Étudier $g$ et tracer $(\mathcal{C}_{g}).$
b) Soit $A$ le point d'intersection de $(\mathcal{C}_{g})$ avec l'axe $(Ox)$ , d'abscisse non nulle.
Démontrer que $A$ est un point d'inflexion de $(\mathcal{C}_{g})$ et écrire une équation de la tangente
$(T)\text{ à }(\mathcal{C}_{g})\text{ en } A.$
3) Soit $h=g|]1\;;\ +\infty[$ (c'est-à-dire la restriction de $g\text{ à }]1\;;\ +\infty[).$
Démontrer que $h$ est une bijection de $]1\;;\ +\infty[$ sur un intervalle à préciser et construire sur un autre graphique les courbes $(\mathcal{C}_{h})\text{ et }(\mathcal{C}_{h}^{-1}).$
Exercice 27
Soit $f\ :\ x\mapsto x+\sqrt{x^{2}+1}$
1) a) Déterminer $D_{f}$ et démontrer que :
$\forall \;x \in D_{f}\;,\ f(x)>x+|x|.$
b) En déduire le signe de $f(x)\text{ sur }D_{f}.$
2) Étudier $f$ et tracer $(\mathcal{C}_{f}).$
3) Soit $g\ :\ x\mapsto\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}).$
a) Résoudre l'équation : $g(x)=-\ln(3-2\sqrt{2}).$
b) Démontrer que $g$ est impaire.
c) Étudier $g$ et tracer $(\mathcal{C}_{g}).$
d) Démontrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}\text{ et que : }\forall \;m \in \mathbb{Z}\;,\ g\left(\dfrac{\mathrm{e}^{m}+\mathrm{e}^{-m}}{2}\right)=m.$
Exercice 28
Soit $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1+(\ln x)^{2}}{x}-x+2.$
1) Montrer, en posant $y=\sqrt{x}\;,\text[{ que }\lim _{x\rightarrow +\infty}\dfrac{(\ln x)^{2}}{x}=0.$
2) Étudier le signe de$-(\ln x)^{2}+2\ln x-1$ suivant les valeurs de $x.$
3) En utilisant les résultats précédents, étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation.
4) Soit $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $1\;cm$).
a) Montrer que $(\mathcal{C}_{f})$ admet une asymptote oblique $\mathcal{D}$ d'équation $y=-x+2.$
Préciser la position de $\mathcal{D}$ par rapport à la courbe $(\mathcal{C}).$
b) Déterminer une équation de la tangente $T\text{ à }(\mathcal{C}_{f})$ parallèle à la droite d'équation $y+x=0$
c) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ comprise entre 2 et 3.
Calculer $f(2.7)\text{ et }f(2.8).$
En déduire que $\mathrm{e}$ est une valeur approchée de $\alpha\text{ à }10^{-1}$ près.
d) Construire $\mathcal{D}\;,\ T\text{ puis }(\mathcal{C}_{f}).$
Exercice 29
1) Soit $g$ définie sur $]0\;;\ +\infty[\text{ par : }g(x)=\ln(x+1)-\ln x+\dfrac{x}{x-1}.$
a) Calculer $\lim _{x\rightarrow +\infty}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\text{ puis }\lim _{x\rightarrow +\infty}g(x).$
b) Étudier le sens de variation de $g.$ En déduire que, pour tout $x>0\;,\ g(x)>1.$
2) Soit $f$ définie sur $[0\;;\ +\infty[$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(0) &=& 0\\ f(x) &=& x[\ln(x+1)-\ln x]\text{ si }x> 0 \end{array}\right.$$
a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0.
b) Calculer $f'(x)\text{ pour }x>0$ ; déterminer le signe de $f'(x)$ à l'aide du 1).
c) Déterminer $\lim _{x\rightarrow +\infty}f$ ( on pourra écrire : $f(x)=x\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\text{ et poser }x=\dfrac{1}{X}.$
d) Dresser le tableau de variation de $f.$
3) Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $4\;cm$).
a) Soit $T$ la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 1.
Déterminer l'intersection de la droite $(O\;,\ \vec{i})\text{ avec }T.$
b) Construire $(\mathcal{C})\text{ et }T.$
(Extrait du Bac D Djibouti, 1986).
Exercice 30
On considère la fonction numérique $f$ définie par :
$f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\text{ pour }x \in]0\;;\ 1[\;\cup\;]1\;;\ +\infty[\;,\text{ avec }f(0)=0.$
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
On prendra comme unité : $1.5\;cm.$
1) a) Montrer que $f$ est continue à droite en $x=0.$
En calculant $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)}{x}$, établir que $\mathcal{C}$ admet à l'origine une demi-tangente que l'on précisera.
b) Étudier les variations de $f.$
Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ et tracer la courbe $\mathcal{C}.$
2) a) Discuter, suivant les valeurs du réel $\alpha$ , le nombre de solutions réelles de l'équation
$$(1)\ :\ \alpha(\ln x)^{2}-\ln x+1=0.$$
b) Montrer que le nombre de tangentes à $\mathcal{C}$ de coefficient directeur $\alpha$ est égal au nombre de solutions de l'équation (1).
(On ne comptera pas la demi-tangente obtenue en 1) a)).
c) Calculer les solutions $x_{1}\text{ et }x_{2}$ de (1) lorsque $\alpha=-2.$
Chercher les équations des tangentes à $\mathcal{C}$ aux points $M_{1}\text{ et }M_{2}$ d'abscisses respectives $x_{1}\text{ et }x_{2}.$
Tracer ces tangentes.
d) Discuter graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, le nombre de solutions réelles de l'équation
$$(2)\ :\ \dfrac{x}{\ln x}=-2x+m.$$
(Extrait du Bac D Lille, 1985).
Exercice 31
Le but du problème est l'étude de la fonction numérique $f$ de variable réelle définie sur $[0\;;\ 1]$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln(1-x)-x\ln x+x\\ f(0) &=& 0 \end{array}\right.$$
1) Étude d'une fonction auxiliaire.
Soit $g$ la fonction numérique de variable réelle définie sur $]0\;;\ +\infty[\text{ par : }g(x)=x+\ln x.$
Étudier les variations de $g$ ;en déduire que l'équation $g(x)=0$ d'inconnue réelle $x$ admet une solution $\alpha$ et une seule.
Vérifier que l'on a $\dfrac{1}{\mathrm{e}}\leq \alpha \leq 1.$
2) Étude de $f.$
a) La fonction $f$ est-elle continue en 0 ?
Déterminer $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}$; quelle est l'interprétation géométrique de ce résultat ?
b) Expliciter la fonction dérivée $f'\text{ de }f.$
Montrer que, $g$ étant la fonction considérée en 1) ,on a :
$f'(x)=-g\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\text{ pour tout }x \in]0\;;\ 1[.$
c) En déduire que $f'$ s'annule en un point $\beta$ et un seul.
Exprimer $\beta$ en fonction de $\alpha.$
3) Construction de la courbe représentative de $f.$
a) Dresser le tableau de variation de $f.$
b) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}\text{ de }f$ dans un plan $P$ rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$(unité graphique : $10\;cm$).
(Extrait du Bac D, Polynésie Française, 1989).
Exercice 32
Soit la fonction numérique de la variable réelle $f$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x) &=& \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}} & \text{pour }x\in\;]-\infty\;;\ 0]\\ \\ f(x) &=& \ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| & \text{pour }x\in\;]0\;;\ 1[\;\cup\;]1\;;\ +\infty[ \end{array}\right.$$
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan $P$ rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
(On prendra $2\;cm$ par unité de longueur.)
1) a) Montrer que, pour $0<x<1\;,\ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\ln(1-x)}{x}-\dfrac{\ln(1+x)}{x}$
b) Étudier la dérivabilité de $f$ en 0.
c) En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet au point $O$ deux demi-tangentes dont on donnera les équations.
d) Étudier le signe de $f(x)-2x$ sur l'intervalle $]-\infty\;;\ 0[.$
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de l'ensemble de définition de $f$ et étudier les variations de $f.$
3) Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
Exercice 33
A) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}\setminus\{1\}\text{ par : }g(x)=\dfrac{1}{\ln^{2}(x)}-\dfrac{1}{\ln(x)}.$
1) Montrer que l'on peut prolonger $g$ par continuité à droite en 0 en attribuant à $g(0)$ la valeur 0.
2) Étudier les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
Dresser son tableau de variation.
En déduire le signe de $g(x)$ en fonction de $x.$
B) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}\text{ par : }g(x)=\dfrac{-x}{\ln(x)}\text{ si }x>0\text{ et }f(x)=0.$
1) Montrer que $f$ est continue à droite et dérivable à droite au point $O.$
En déduire l'existence d'une demi-tangente à la courbe représentative $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
2) Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
3) Comparer $f'(x)\text{ et }g(x).$ En déduire les variations de $f$ et son tableau de variations.
4) Calculer l'équation $y=h(x)$ de la tangente $\mathcal{D}\text{ à la courbe }\mathcal{C}$ au point d'abscisse.
5) Soit $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x\text{ et }N$ le point de $\mathcal{D}$ de même abscisse.
On pose $\varphi(x)=\overline{NM}.$
Montrer que :
$\varphi(x)=f(x)+\dfrac{x+\mathrm{e}^{2}}{4}.$
Déduire de A) le tableau de variations de $\varphi'(x)$ puis le signe de $\varphi'(x)\text{ sur }]1\;;\ +\infty[.$
En déduire le signe de $\varphi(x)\text{ sur }]1\;;\ +\infty[$ et la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$ pour les points d'abscisse $x>1.$
6) Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$
(unité $2\;cm$).
C) On revient à la fonction $g\text{ du }A).$
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité $2\;cm).$
Sans construire $\mathcal{C}_{g}$, calculer en $cm^{2}$ l'aire de la partie plane comprise entre la courbe $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives :
$x=\mathrm{e}\text{ et }x=\mathrm{e}^{2}.$
Exercice 34
A) Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0\;;\ 1]$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& -x\ln x-(1-x)\ln(1-x)\text{ si }x\in ]0\;;\ 1[\\ f(0) &=& f(1)=0 \end{array}\right.$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative dans un plan $P$ rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $10\;cm$).
1) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0\;;\ 1[\text{ par : }g(x)=\ln(1-x)-\ln(x).$
a) Résoudre l'équation $g(x)=0$ d'inconnue $x.$
b) Étudier le signe de $g(x)$ en fonction de $x.$
2) Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ comme axe de symétrie.
3) a) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0\;; \ 1[$ et calculer sa dérivée.
b) Montrer que $f$ est continue sur $[0\;;\ 1].$
Étudier la limite de $\dfrac{f(x)}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0 ; interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Dresser le tableau de variation de $f$ et construire la courbe $\mathcal{C}.$
4) Soit $a\text{ et }b$ deux nombres réels strictement positifs tels que : $a+b=1.$
a) Utiliser les résultats de 3) pour montrer que :
$$a\ln\dfrac{1}{a}+b\ln\dfrac{1}{b}\leq\ln 2.\ (1)$$
b) Montrer que l'inégalité (1) est une égalité si et seulement si :
$a=b=\dfrac{1}{2}.$
B) On se propose de généraliser l'inégalité (1) obtenue ci-dessus en A) 4).
Soit $p$ un nombre entier strictement supérieur à 1 et soit $a_{1}\;,\ a_{2}\;,\cdots a_{p}$des nombres réels strictement positifs tels que $a_{1}+a_{2} +\cdots+a_{p}=1.$
On pose :
$$H=a_{1}\ln\dfrac{1}{a_{1}}+a_{2}\ln\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+a_{p}\ln\dfrac{1}{a_{p}}$$
1) a) Montrer que pour tout nombre réel $t>0$ , on a : $\ln t\leq t-1\ (2).$
Pour cela, on pourra étudier les variations de la fonction $h$ définie par $h(t)=t-1-\ln t.$
b) Montrer que, si $t$ est différent de 1, l'inégalité (2) est stricte.
c) En déduire que pour tout entier $j$ tel que $1\leq p$ , on a :
$$a_{i}\ln\dfrac{1}{a_{i}}\leq\dfrac{1}{p}-a_{i}$$,
avec égalité si et seulement si : $a_{i}=\dfrac{1}{p}.$
2) a) Montrer que :
$$H-\ln p=a_{1}\ln\dfrac{1}{p a_{1}}+a_{2}\ln\dfrac{1}{p a_{2}}+\cdots+a_{p}\ln\dfrac{1}{p a_{p}}.$$
b) En déduire que :
$H\leq\ln p\ (3)$
c) Déterminer $a_{1}\;,\ a_{2}\;,\cdots a_{p}$ pour que l'inégalité (3) soit une égalité.
Fonction Logarithme Décimal
N.B.
Le symbole log désigne le logarithme décimal, c'est-à-dire le logarithme de base 10.
Exercice 35
On rappelle que la fonction logarithme décimal est définie par :
$\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$
1) Montrer que pour tous réels $a\text{ et }b$ strictement positifs :
$$\log(ab)=\log a+\log b.$$
2) Étudier les variations de $\log$ et la représenter graphiquement.
3) Déterminer $\log(10^{n})$, pour $n$ entier relatif.
4) Soit $N$ un entier naturel $(N\geq 1)$ ; montrer que le nombre de chiffres de $N$ dans son écriture décimale est $1+E(\log N)$, où $E(x)$ est la partie entière de $x.$
5) Application : avec combien de chiffres s'écrit $2^{2008}$ ? $2008^{2008}$ ?
Exercice 36
En utilisant les logarithmes décimaux, trouver un entier naturel $n$ tel que :
1) $10^{n}>3548^{3}\qquad 2)\ 10^{-n}<(0.003)^{3}$
Exercice 37
Simplifier :
$A=\log 10^{4}+\log 10^{-4}+\log\sqrt{10}-\log\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
$B=\log a^{2}b^{3}-\dfrac{1}{2}\log\sqrt{a^{2}b^{3}}+\dfrac{1}{3}\log\dfrac{a^{4}}{b^{2}}+\log\sqrt{a^{7}b^{3}}\text{ avec }a>0\text{ et }b>0.$
Exercice 38
Résoudre les équations suivantes :
$1)\ \log x-\log(11-x)=\log 2x^{2}\quad 2)\ 3(\log x)^{2}+14\log x-5=0$
$3)\ 2(\log x)^{3}-(\log x)^{2}-32\log x+16=0\text{ (après avoir développé }(X^{2}-16)(2X-1).$
Exercice 39
L'acidité d'une solution est déterminée par la concentration en ions $H_{3}O^{+}$(hydronium) contenus dans cette solution.
On note $[H_{3}O^{+}]$ le nombre de moles de $H_{3}O^{+}$ par litre de solution.
on définit alors son $pH$ par la formule $pH=-\log[H_{3}O^{+}].$
1) Une solution contient $10^{-4}$ moles de $H_{3}O^{+}$ par litre.
Quel est son $pH$ ?
2) Quelle est la concentration en ions $H_{3}O^{+}$ d'une solution de $pH=2$ ? d'une solution neutre $(pH=7)$ ?
3) Comment varie le $pH$ lorsque la concentration en ions $H_{3}O^{+}$ découple ?
Exercice 40
La magnitude $m$ d'un séisme est mesurée sur une échelle dite de Richter par $m=\log\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ , où $I$ est l'intensité du séisme et $I_{0}$ une intensité de référence.
La quantité $a=\dfrac{I}{I_{0}}$ est l'amplitude maximale du mouvement.
Elle est mesurée en microns sur un séismographe étalon à une distance de $100\;km$ de l'épicentre.
1) Quelle est l'amplitude maximale d'un séisme de magnitude 3 ?
2) Placer sur l'échelle de Richter les séismes :
San Francisco (1906), $I=1.78\;\cdot\;10^{8}I_{0}.$
Los Angeles (1971), $I=5.01\;\cdot\;10^{6}I_{0}.$
3) Dans quelles proportions le séisme d'Arménie en 1988 (magnitude 8.5) était-il plus important que celui de Mexico (magnitude 7.5) ?
4) Sachant que le séismographe étalon multiplie les vibrations par 2800, quelle est l'amplitude réelle du mouvement du sol lors d'un séisme de magnitude 9 ?
Exercice 41
Les archéologues et les paléontologues datent les objets découverts contenant du carbone (restes d'êtres vivants : os, fossilles...) en mesurant la proportion de l'un de ses isotopes, le carbone 14, encore présent dans l'objet.
En effet, à la mort d'un être vivant, le carbone 14 présent dans son organisme se désintègre au fil des années, de sorte que si $p$ est la proportion de $C_{14}$ restante au bout de $N$ années (par rapport à la quantité initiale), on ait :
$N=-8310\ln p.$
1) Un squelette d'« homme de Cro-Magnon » contient $5\%$ du carbone 14 initial.
Quel âge a-t-il ?
2) Lucy est la plus ancienne forme d'hominidé connu ; les spécialistes lui donnent 4.4 millions d'années.
A-t-on pu raisonnablement dater les fragments trouvés à l'aide du carbone 14 ?
3) Découverte dans un glacier en 1991, la momie Hibernatus contenait $52.8\%$ (à $1\%$ près) du carbone 14 initial.
Donner un encadrement de l'âge d'Hibernatus.
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