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Série d'exercices : Fonction logarithme népérien - TL

Exercice 1

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$\ln(3-2x)+\ln(1-x)=\ln 2+\ln 3$

$\ln(x+3)+\ln(x+5)=\ln 15$

$\ln(x+4)+\ln(x+3)=\ln(2x+18)$

$\ln(x+2)=\ln(-x+11)-\ln(x+3)$

$2\ln(3x-1)+\ln(5x+2)=\ln 2$

$\ln(3-x)+\ln 2-\ln(2x+1)=0$

$\ln(x-1)+\ln(3x+4)-2\ln\sqrt{6}=0$

$\lnx+\ln(3x+2)=\ln(2x+3)$

Exercice 2

$\ln(2x+6)+\ln(3x-5)\leq\ln 10$

$\ln(2x-5)+\ln(x+1)\leq 2\ln 2$

$\ln(x+5)+\ln(x+4)\leq\ln(x+13)$

$\ln(x+1)>\ln(4x-1)-\ln(x-1)$

$\ln(3x^{2}-x)\leq\ln x+\ln 2$

$2\ln(1-x)-\ln(x+5)\leq 0$

$\ln(3-x)+\ln 24<\ln(x+1)+\ln(25x-49)$

$\ln x+\ln(2-x)+\ln(x+4)\geq\ln 5$

Exercice 3

1. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation

$(\ln x)^{2}+2\ln x-3=0.$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$[\ln(2-x)]^{2}+2\ln(2-x)-3=0$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$(\ln x)^{2}+2\ln x-3\leq 0$

Exercice 4

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations ou inéquations suivantes :

$3(\ln x)^{2}-2\ln x-1=0$

$[\ln(x+1)]^{2}-\ln(x-1)-2=0$

$(\ln x)^{2}+\dfrac{5}{2}\ln x-\dfrac{3}{2}=0$

$2[\ln(2x)]^{2}-6\ln(2x)+3\leq 0$

$(\ln x)^{2}+\ln x-6\geq 0$

$\ln x-\dfrac{1}{\ln x}>\dfrac{3}{2}$

Exercice 5

1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de

$x$ le polynôme

$(x)=(x^{2}-4)(4x^{2}-1)$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation

$4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4=0.$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$4(\ln x)^{4}-17(\ln x)^{2}+4\leq 0$

Exercice 6

1. S&oit

$P(x)=2x^{3}-7x^{2}+2x+3$

Calculer

$P(1)$ puis factoriser

$P(x)$ en un produit de facteurs du

$1^{er}$ degré.

2. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction:

$f : x-\longrightarrow\ln(2x^{3}-7x^{2}+2x+3)$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$

a. l'équation

$2(\lnx)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3=0$

b. L'inéquation

$2(\ln x)^{3}-7(\ln x)^{2}+2\ln x+3\leq 0$

Exercice 7

1. Soit

$P(X)P(x)=2x^{2}-x^{2}13x-6.$

a. Calculer

$P(-2.)$

En déduire que

$(X)$ peut s'écrire sous la forme

$P(x)=(x+2)(ax^{2}+bx+c)$ avec

$a$ ,

$b$ et

$c$ des réels à déterminer.

b. Résoudre l'équation

$P(x)=0.$

2. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$\2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6=0.$

$\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x+1)=2\ln 3.$

3. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les inéquations suivantes

$2(\ln x)^{3}-(\ln x)^{2}-13\ln x-6<0$

$2\ln(1-x)+\ln(2x+3)-\ln(x-+1)\geq\2ln 3$

Exercice 8

Résoudre dans

$\mathbb{R}^{2}$ chacun des systèmes suivantes :

$a\left\rbrace\begin{array}{lcl} \ln x&-4\ln y&=6\\ \ln\left(x^{2}\right)&+\ln y&=7\\ \end{array}\right.$

$b\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln\left(xy^{2}\right)&=&1\\ \ln\dfrac{x}{y}&=&4 \end{array}\right.$

$c\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&+y=\dfrac{3}{2}\\ \ln\left(x^{2}\right)+\ln\left(y^{2}\right)&=-\ln 4 \end{array}\right.$

$\text{d }\left\lbrace\begin{array}{lcl} -2x&+y&=5\\ \ln(-x)&+\ln\left(y^{2}\right)&=\ln 3\\ \end{array}$

$\text{e }\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2\ln(x+7)&-\ln(y+4)&=\\ln 2 -5\ln(x+7)&+3\ln(y+4)&=\ln 4 \end{array}$

$\text{e }\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln(x-2)&+3\ln(y-1)&=9\\ 2\ln(x-2)&-\ln(y-1)&=4 \end{array}$

Exercice 9

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, les limites aux bornes de ce domaine et les asymptotes de la courbes représentative :

$f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x$ ;

$f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x}$ ;

$f(x)=x-\ln x$ ;

$f(x)=x-2-\ln x$ ;

$f(x)=\ln(\dfrac{2-x}{2+x})$ ;

$f(x)=\ln(\dfrac{2x+2}{x-3}$ ;

$f(x)=\ln(x+4)-\ln(5-x)$ ;

$f(x)=2x+\ln(\dfrac{x-1}{x+1})$

(N.B : pour la fonction 8), on montrera que la droite d'équation

$y=2x$ est une asymptote à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en

$+\infty$ et en

$-\infty$

Exercice 10

1. Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation :

$-2+\ln x=0$ puis l'inéquation

$-2+\ln x>0$

2. Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\dfrac{3-3\ln x}{x}$ et

$\left(\mathcal{C}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan

$\left(O\;,\ \vec{i}\;, \vec{j}\right)$

Unité graphique :

$1\,cm$

a. Déterminer

$D_{f}$ puis les limites de

$f$ aux bornes de cet ensemble.

b. Pour tout

$x$ de

$D_{f}$ , calculer

$f^{'}(x)$ puis, en utilisant les résultats de la question n° 1

$-\$ étudier les variations de

$f$ et donner sont tableau de variations.

c. Déterminer les cordonnées du point

$A$ intersection de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

avec l'axe des abscisses.

d. Donner une équation de la tangente

$(T)$ à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point

$A.$

e. Calculer, à

$10^{-2}$ près.

$f(1)$ ,

$f(2)$ ,

$f(3)$ ,

$f(4)$ ,

$f(6)$

f. Tracer

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère

$\left(O\;,\ \vec{i}\ \vec{j}\right)$

On donne

$\mathrm{e}\approx 2.72$ ;

$\mathrm{e}^{2}\approx 7.39$ ;

$\ln 2\approx 0.69$ ;

$\ln 3\approx 1.09$

Exercice 11

Étudier et représenter graphiquement chacune des fonctions suivantes :

$f(x)=\ln(\dfrac{2-x}{3+x})$

N.B :

on montera que

$I\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ 0\right)$ est un centre de symétrie de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

$f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

N.B :

on montrera que

$f$ est impaire.

$f(x)=\dfrac{1}{4x}+\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$

N.B

On montrera que

$f$ est impaire rt que la droite d'équation

$y=\dfrac{1}{4x}$ est une asymptote oblique de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ .

$f(x)=-x+\ln(x-1)-\ln x$

N.B :

On montrera que

$D\ :\ y=-x$ est asymptote à

$\mathcal{C}_{f}$ en

$+\infty$

$(x)=-\dfrac{3}{4}x+\ln\left(\dfrac{3x-6}{x+1}\right)$

$f(x)=x\ln x$

$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$

Exercice 12

Soit

$f$ la fonction définie par

$f(x)=x+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

1 Déterminer

$D_{f}$

2. Montrer que

$f$ est impaire.

Que peut-on en déduire pour

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?

3.On pose

$\vec{u}(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ et

$v(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$

Calculer

$\vec{u}^{'}$ et

$v^{'}(x).$

En déduire

$f^{'}(x)$ et donner le tableau de variations de

$f.$

4.a. Déterminer les asymptotes verticales de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et montrer que la droite

$D :y=x$ est asymptote à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en

$+\infty$ et

$-\infty$

b. Préciser la position relative de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et

$(D).$

5. Tracer

$\left(\mathcal{C}_{f}\right).$

Exercice 13

Soit

$f(x)=\ln\left[\dfrac{3(x+2)}{x-2}\right]$

1. Déterminer

$D_{f}$ ; les limites aux bornes de

$D_{f}$ ; les asymptotes de

$\left(\mathcal{C}\right)$

2.Montrer que

$I(0\,;\ 3)$ est un centre de symétrie pour

$\left(\mathcal{C}\right)$

3. Étudier les variations de

$f$ et donner son tableau de variations.

4. Montrer que

$\left(\mathcal{C}\right)$ rencontre l'axe des abscisses en un pont

$A$ dont on donnera les coordonnées.

5. Donner l'équation de la tangente à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en

$A.$

6.0

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre-telle l'axe des ordonnées ? justifier la réponse.

7. Construire dans le repère orthonormé

$\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ , les asymptotes, les points

$I$ et

$A$ , la tangente en

$A$ et la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ (Déjà proposé au BAC)

Exercice 14

Soit

$f(x)=\ln(x^{2}-5x+6)$ et

$\left(\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé

$\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$

1. Préciser

$D_{f}.$

Calculer les limites aux bornes de

$D_{f}$ et préciser les asymptotes de la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

2. Résoudre l'équation

$f(x)=0.$

Que peut-on en déduire pour

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?

3. Calculer

$\f^{'}$ puis donner le tableau de variation de

$f$

4. Calculer

$f(0)$ ,

$f(-1)$ ,

$f(6)$ et

$-\dfrac{5}{2}$

On donnera pour chacun des réels une valeur approchée à

$10^{-2}$ près.

5. Déterminer une équation

$d$ la tangente

$(T)$ à la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse

$-1$

6. Déterminer que la droite

$D$ d'équation

$x=\dfrac{5}{2}$ est axe de symétrie de

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

7. Construire

$(T)$ et la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère

$\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$

Unité :

$1\,cm$

Exercice 15

Soit

$f(x)=(\ln x-2)\ln x$ et

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé

$\left(0\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$

unité

$1\,cm$

1. Déterminer

$D_{f}$ et les limites aux bores de

$D_{f}$

2. Calculer

$f^{'}(x)$ et étudier le sens de variations de

$f.$

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en deux points

$A$ et

$B.$

Déterminer leurs abscisses.

4. Déterminer les équations de la tangente à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en

$A$ et

$B$

5. Construire la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

Exercice 16

soit

$f(x)=x-2+\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$

1. Déterminer

$D_{f}$ et les limites de

$f$ aux bornes des intervalles de

$D_{f}$

2. On pose

$u(x)=\dfrac{x-2}{x+2}$ et

$v(x)=\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$

Calculer

$u'(x)$

$v'(x)$

$f'(x)$

pour

$x\in D_{f}$

3.Donner le tableau de variation de

$f$

4. Montrer

$(\mathcal{D})$ d'équation

$y=x-2$ est une asymptote à

$(\mathcal{C}_{f})$ en

$+\infty$ et en

$-\infty$

5. Montrer que

$\Omega\begin{pmatrix}0\\-2 \end{pmatrix}$ est centre de symétrie pour

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

6. Tracer

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

unité =

$1\,cm$

On donne

$\ln 2\approx 0.7$

$\ln 3\approx 1.1$

$\ln 5\approx 1.6$

Exercice 17

Soit

$f(x)=\ln\left(\dfrac{4+x}{2-x}\right)$

1. Déterminer

$D_{f}$

2. Étudier les limites de faux bornes de

$D_{f}$ et donner les équations des asymptotes de la courbe

$\left(\mathcal{C}_{f}$

3.a. Montrer que

$f$ est dérivable sur son domaine de définition.

b. Calculer

$f'(x)$ , pour

$x\in\;D_{f}$ et donner le tableau de variation de

$f$

4. Déterminer les coordonnées du point

$I$ d'intersection de

$\left(\mathcal{C}_{f}$

avec l'axe des abscisses.

5. Donner une équation de la tangente

$(T)$ à

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au

$I$

6. Montrer que

$I$ est centre de symétrie de la courbe

$(CF).$

7. Construire

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans un repère.

Exercice 18 Bac 2007 2ème groupe

le pans est muni d'un repère orthogonal

$\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ , unités graphiques :

$1\,cm$ en abscisse,

$2\,cm$ en ordonnée.

On considère une fonction

$F$ dont le tableau de variations est le suivant :

On note

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe de

$f$

1. Préciser l'ensemble de définition

$E_{f}$ de

$f.$

justifier que

$\left(\mathcal{ C}_{f}\right)$ admet deux asymptotes que l'on précisera

2. On donne :

$f(\mathrm{e})=-\ln 3$

$f(3)=-\ln 2$ ;

$\ln 2\approx 0.7$ et

$\ln 3\approx 1.1$

Tracer

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$

3. On admet que la fonction

$F$ définie par :

$F(x)=(x-1)\ln(x-1)-(x+1)\ln(x+1)$ est une primitive de

$f$ sur

$E_{f}.$

Calculer l'aire

$\mathcal{A}$ du domaine compris entre

$\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations

$x=2$ et

$x=3$

Exercice 19

partie A

1. Étudier le signe de

$\dfrac{x-1}{x}$ pour

$x\in]10\;,\ +\infty[$

2. Donner :

$\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ ; en déduire

$\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}-\\dfrac{\ln x}{x}\right)$

3. Calculer la dérivée du produit

$x.\ln x$ pour

$x\in]0\,;\ +\infty[.$

4. Calculer la fonction dérivée de la fonction

$f$ définie sue

$]0\;,\ +\infty[$ par

$f(x)=\dfrac{1}{2}x_{2}+2x-x\ln x.$

Partie B

Soit la fonction

$g$ définie par

$g(x)=x+1-\ln x$

1. Déterminer le domaine de définition

$D_{g}$ de

$g.$

2. Déterminer les limites de

$g$ aux bornes de

$D_{g}$

3. Calculer

$g^{'}(x)$ et en déduire le tableau de

$g$ (en utilisant la question A/1)

4. Calculer

$g(1)$ ,

$g(2)$ ,

$g(3)$ et

$g(4)$

Partie C

1. Tracer la courbe

$(\mathcal{C}_{g})$ de la fonction

$g$ dans un repère orthonormé

$\left(O\,;\ \vec{i}\,;\ \vec{j}\right)$ d'unité :

$1\,cm$

2. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe

$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ les droites d'équations

$y=0\;,\ x=1$ et

$x=4$

Exercice

Soit l fonction définie par

$G(x)=2x+\ln\left(\dfrac{3x+1}{x-1}\right)$

1.a Déterminer

$\mathcal{D}_{G}$ ensemble de définition de

$G$

b. Calculer

$G^{'}(x)$ pour tout

$x\in]1\,;\ +\infty[.$

2. On pose

$g(x)=2+\dfrac{3}{3x-1}-\dfrac{1}{x-1}$ pour tout

$\in]1\,;\ +\infty$

Montrer

$(x)=2-\dfrac{4}{(3x+1)(x-1)}$ pour tout

$x\in]1\;,\ +\infty[$

3. Calculer :

$I+\int_{2}^{3}g(x)\mathrm{d}{x}.$

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