Série d'exercice Fonction ln et Expo - Tl

 
 
Exercice 1 
 
on considère le polynôme P défini par P(x)=2x39x2+x+12.
 
1. Calculer P(1)
 
2. Résoudre dans R l'équation P(x)=0
 
3. En déduire les solutions des équations : 
 
2(lnx)39(lnx)2+lnx+12=0.
 
2e3x9e2x+ex+12=0
 
Exercice 2
 
1. Soit P(x)=x39x2x+9
 
Calculer (1) puis résoudre l'équation P(x)=0
 
2. Résoudre dans R les équations suivantes :
 
a. (lnx)39(lnx)2lnx+9=0 ;
 
b. e2x+9rx9ex+1=1.
 
Exercice 3
 
1. soit P(x)=2x313x210x+21.
 
Calculer P(1) puis factoriser P(x)
 
2. Résoudre dans R les équations suivantes :
 
a. 2(lnx)313(lnx)210lnx+21=0
 
b. e2x+9ex9ex+1=1
 
Exercice  4
 
1. Soit P(x)=2x313x210x+21
 
Calculer P(1) puis factoriser P(x)
 
2. Résoudre dans R les équations suivantes :
 
a. 2(lnx)313(lnx)210lnx+21=0
 
b. 10+13ex2e2x=21ex
 
Exercice 5
 
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
 
a. e2x1>1 ;
 
b. ex23>e2x
 
c. 2ex5+2ex>0 ;
 
d. e2x+2ex30
 
Exercice 6
 
1. Résoudre dans R2 le système :
 
{+y=9lnx+lny=ln84
 
2. Montrer que x+y152(x12)+(y7)
 
3. En utilisant les questions 1 et 2 résoudre dans R2
 
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y-\dfrac{15}{2}&=&19\\ \ln\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\ln(y-7)&=&\ln84 \end{array}
 
Exercice 7
 
1. Résoudre dans R2 les systèmes suivantes: 
 
1. {2lnx+lny=73lnx5lny=4 
 
2. {2x+y=5ln(x)+ln(y)=ln3
 
3. {2ex+3ey=1ex5ey=7
 
4. {ex+ey=3ex+ey=32
 
5. {x+y=7lnx+lny=2ln2+ln3
 
6. }ex×e2y=1ex+2×ey=e
 
Exercice 8
 
\begin{array}{lcl} \text{Soit }f\ :\ \mathbb{R}&\mapsto&\mathbb{R}\\ x&\mapsto&\ln\left[\dfrac{3(x+2}{x-2}\right] \end{array}\right.
 
1. Déterminer l'ensemble de définition de f.
 
2. Étudier les limites aux bornes des intervalles de Df et préciser les asymptotes de (Cf).
 
3. Montrer que Ω(0, ln3) est centre de symétrie pour (Cf)
 
4. Dresser le tableau de variations f
 
5. Montrer que (Cf) rencontre l'axe des abscisses en un point A dont on donnera le coordonnées. 
 
6. Donner l'équation de la tangente à (Cf) en A
 
7. (Cf) rencontre-elle l'axe des ordonnées ? justifier la réponse.
 
8. En prenant pour unité 1cm, construire les asymptotes, les points Ω et A, la tangente en A et la courbe \lef\mathbf{C}_{f}\right)
 
Exercice 9
 
Soit f(x)=1ex2
 
1. Déterminer Df, les limites de f aux bornes de Df et les asymptotes de (Cf)
 
2. Calculer f(x) et étudier les variations de f 
 
3. Écrire l'équation de la tangente (T) à (Cf) au point d'abscisse zéro.
 
4. Résoudre l'équation f(x)=2, qu'en déduire ?
 
5. Montrer que I(ln2, 12) est centre de symétrie de la courbe (Cf)
 
6. Tracer (Cf)
 
On donne
 
ln20.7 ;
 
e20.14 ;
 
e10.37 ;
 
e0.51.6 ;
 
e12.7 ;
 
e27.4
 
Exercice 10
 
Soit f : xx24ex1
 
1. Déterminer Df
 
b. montrer que f est impaire. 
 
Que peut-on en déduire pour la courbe (Cf)
 
2. a. Étudier le signe de ex1.
 
Calculer 
 
limx0+(fx)
 
et limx0f(x)
 
Interpréter graphiquement ces résultats.
 
b. Déterminer les autres limites aux bornes de Df
 
3.a. Montrer que la droite (D)  d'équation y=x2 est asymptote à (Cf) en +
 
b. Montrer que l'équation la droite (Δ) d'équation y=x+2 est asymptotes à (Cf) en
 
4. Calculer f(x) et donner sont tableau de variations.
 
5. Calculer à 102 près par défaut f(0.5), f(1), f(2) et f(3)
 
6. Tracer dans un repère orthonormal (O, i j) les droites (D)  et Δ et la courbe (Cf)
 
Unité= 1cm
 
Exercice 11
 
Soit f(x)=xexex+1
 
1. Déterminer (Df), les limites de f aux bornes de (Df) et les asymptotes de la courbe (Cf)
 
2. Étudier les variations de f
 
3. Déterminer le point A d'intersection avec la droite y=1 
 
Donner une équation de la tangente en A à (Cf)
 
4. Soit B le point de (Cf) d'abscisse 1
 
Déterminer une équation de la tangentes en B à (Cf)
 
Tracer dans un repère orthonormé les tangentes en A et en B, les asymptotes (Cf)
 
Exercice 12
 
Soit  f(x)=3ex2ex1
 
1. Déterminer (Df) et vérifier que f(x)=3+1ex1, xDf
 
2 Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition et les asymptotes de (Cf) 
 
3. Étudier les variations de f. 
 
4. La courbe (Cf) coupe l'axe des abscisses en un point A : déterminer les coordonnées de A puis une équation de la tangente en A à (Cf)
 
5. Démonter qu'il existe un deuxième point B (dont on déterminera les coordonnées) où la tangente est parallèle à la tangente en A.
 
6. Montrer que Ω(O; 52) est centre de symétrie pour (Cf)
 
7. Construire avec soin la courbe (Cf) dans un repère orthonormé (O; i; j)
 
Exercice 13
 
1. Développer P(x)=(4x21)(x29), réduire et ordonner ce polynôme suivant les puissances décroissantes de x
 
2. Résoudre dans R les équations suivantes :
 
a. 4(lnx)437(lnx)2+9=0
 
b. 4e4x37e2x+9=0
 
Exercice 14
 
1. Soit P(x)=x3x214x+24
 
Calculer P(2) puis faction P(x) en polynômes du 1er degré
 
2. Résoudre dans R les équations suivantes
 
a. \2lnx+ln(x1)=ln(14x24)
 
b. e2xex24ex+14=0
 
Exercice 15
 
Soit f(x)=2ex2ex+2
 
1. Déterminer (Df), les limites de f aux bornes de (Df) ainsi les asymptotes de \left(\mathcal{C}_{f}\right
 
2. Calculer f(x) puis donner son signe et donner le tableau de variations f
 
3. Montrer que f définit une bijection de R sur une intervalle J à déterminer. 
 
4. Donner une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d'abscisse zéro.
 
5.a. Montrer que le point I(ln2, 12) est une centre de symétrie pour (Cf)
 
b. Donner une équation de la tangente à Cf en I
 
6. Calculer f(2) ; f(1) ; (x)(1) ; f(2) ; f(3) à 102 près.
 
7. Construire (Cf) dans un repère orthonormé (O, i; j).
 
On tracera aussi les deux tangentes.
 
8.a. Vérifier que xDf ;
 
f(x)=1+3exex+2
 
b. En déduire une primitive de f sur R
 
c. Calculer en cm2 la surface exacte e l'aire Φ du domaine délimité par les droites d'équation x=0 et x=2, l'axe des abscisses et la courbe (Cf) donner la valeur approchée de ϕ à 102 près.
 
On donne : 
 
e2.72
 
ee7.39
 
e320.09
 
e10.36 ;
 
e20.14
 
ln0.9
 
Exercice 15
 
Soit f(x)=2ex+4ex1 et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i; j) du plan.
 
1. Déterminer (Df) (l'écris sous forme e réunion d'intervalles).
 
2. Déterminer les limites de f aux de D et les asymptotes de (Cf)
 
3. étudier les variations de f et donner son tableau de variations.
 
4.a. Déterminer les coordonnées du point A d'intersection de (Cf) avec l'axe des abscisses.
 
b. Donner une équation de la tangente en a à (Cf)
 
5. Résoudre l'équation f(x)=4. 
 
En déduire les coordonnées du point B de (Cf) où la tangente que parallèle à la tangente en A 
 
6. Montrer que I(0, 3) est centre de symétrie pour (Cf)
 
7. Tracer (Cf) ainsi que la en A dans un repère (O, i, j)
 
8.a. Déterminer les réels a et b tels que xDf, f(x)=a+cexex1
 
b. En déduire une primitive F de f sur ]0, +[
 
c. On désigne par D le domaine délimité par (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=4.
 
Hauteur D sur la figure.
 
Montrer que la valeur exacte de l'aire de d, en cm2, est égale à 82ln(e2+1)
 
Exercice 16
 
Soit f(x)=12e21+ex et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j)
 
1. Déterminer (Df)
 
2. Déterminer limxf(x) et limx+f(x)
 
3. Calculer f(x) et déterminer son signe 
 
4. Déterminer le tableau de variation de f
 
5.a Montrer que I(0, 12) est un centre de symétrie pour (Cf)
 
b. Résoudre dan sR l'équation 2e2x5ex+2=0
 
c. Déterminer l'équation de la tangente à (Cf) au point d'abscisse x0=2
(soit T cette tangente)
 
6. Tracer T et construire (Cf). 
 
Unité graphique : 4cm
 
7.a. Vérifier que : xR, f(x)=13ex1+ex
 
b. En déduire les primitives de f sur R
 
c. Déterminer l'air en cm2 du domaine du plan délimité par (Cf), l'axe des abscisses,l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=ln3
 
Exercice 17 (D'après épreuve de 2001, TL2 épreuve 1er groupe)
 
Soit f(x)=x2+1ex et (Cf) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j).
 
L'unité de longueur est 2cm
 
1.a. Calculer
 
limx+f(x).
 
On admet que limxf(x)=+
 
b. Vérifier que : xR, f(x)=x(12x+1xex)
 
c. En déduire la limite de f en (On admettra que limxxxx=0)
 
2.a Étudier les variations de f
 
b. Donner le tableau de variations de f
 
3.a Calculer limx[f(x)(x2)]
 
b. En déduire que la droite (D) d'équation y=x2 est une asymptote oblique à (Cf) quand x tend vers +
 
4. Tracer (Cf) et (D) dans un repère (O, i, j) 
 
6.a Trouver une primitive F de f sur R
 
b. Calculer l'aire en cm2 du domaine délimité par les droites d'équations respectives x=0, x=1, y=0 et la courbe (Cf)
 
Exercice 18 D'après épreuve de 2001, TL2, épreuve 1er groupe
 
Soit f(x)=x2+1ex et (Cf) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormée \left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}
 
L'unité de longueur est 2cm 
 
1.a Calculer limx+f(x)
 
On admet que limx(x)=+
 
b. Vérifier que xR, f(x)=x(12x+1xex)
 
c. En déduire la limites de f en
 
On admettra que limxxex=0
 
2.a Étudier les variations de f
 
b. Donner le tableau de variation de f
 
3.a Calculer limx[f(x)(x2)]
 
b. En déduire que la droite (D) d'équation y=x2 est une asymptote oblique à (Cf) quand x tend vers +
 
4. Étudier suivant les valeurs de x, la position de (Cf) par rapport à (D)
 
5. Tracer ((Cf) et (D) dans un repère (O, i, j)
 
6. Trouver une primitive F de f sur R
 
b. Calculer l'aire en cm2 du domaine délimité par les droites d'équations respectives x=0, x=1, y=0 et la courbe (Cf)
 
Exercice 19 bac 2005, 2eme groupe, L2
 
Soit f la fonction numérique définie par : (x)=2ex2+ex et (C) sa courbe représentative
 
1. Étudier les limites de f aux bornes R. 
 
En déduire l'existence de 2 asymptotes dont on donnera les équations
 
2. Calculer f(x)f est la fonction dérivé de f.
 
3. Étudier les variations de f et établir son tableau de variations.
 
4. Donner une équation de la tangente à (C) au point d'abscisse 0.
 
5. Tracer (C), les asymptotes et la tangente dans un repère (O, i,j)
 
Exercice 20 (bac 2006,1er groupe)
 
1. Résoudre dans ex+ex=0.
 
2. Soit la fonction f définie par f(x)=ex+exexex et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 1cm.
 
a. Déterminer le domaine de définition de f, noté (Df)
 
b. Montrer que pour tout x(Df), f(x)=f(x).
 
En déduire que l'origine du repère est le centre de symétrie de (C)
 
II. Dans la suite du problème, o, étudiera la fonction f sur ]0, +[.
 
1.a Calculer de f en 0 à droite.
 
b. Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme : 
 
f(x)=1+e2x1e2x ; en déduire la limite de f en + 
 
c. Quelles sont les asymptotes à la courbe (Cf) ?
 
2. Montrer que f'(x)=\dfrac{-4}{\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}^{2}\right) ; en déduire le sens de variations de f sur ]0, +[
 
3. Donner le tableau de variation de f
 
4. Construire la courbe (Cf) et ses asymptotes sur ]0, +[
 
En utilisant la question I/2b, Construire (Cf) sur Df
 
III Soit A le domaine limité par (Cf) et les droites d'équations : x=1, x=2 et l'axe des abscisses. 
 
On pose u(x)=exex
 
1. Montrer que f(x)=u(x)u(x)
 
En déduire une primitive F de f sur ]0, +[
 
2. Exprimer en cm2 une valeur approchée à 102 près de l'aire du domaine A.
 
Exercice 21 (bac 2006, 2eme groupe)
 
On se prose d'étudier la fonction numérique f par f(x)=x+24exex+2
 
1. Montrer 24exex+2=2+8ex+2
 
2.a En utilisant l'une des expressions f(x) calculer 
 
limxf(x) ; lim+f(x) et
 
limx++f(x)
 
b. En utilisant l'une des expressions de f montrer que les droites : (D1) d'équation y=x2 et \left(\mathcal{D}_{2} d'équation y=x+2 sont des asymptotes à la courbe (Cf) de f.
 
3. Montrer que f(x)=(ex2)2(ex+2)2 étudier son signe et en déduire le tableau de variations de f

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