Série d’exercices : Statistique et Suites numériques

Exercice 1

Le tableau suivant donne le poids $y$ en $kg$ d’un poulet « Bramane » en fonction de son âge $x$ en
semaines.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_{i}&4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\
\hline
y_{i} &3,61 &3,7& 3,75 &3,85 &3,90& 4,05 &4,12\\
\hline
\end{array}$$

1. Représenter le nuage de points associé à cette série.
2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire des caractères $x$ et $y$. En déduire une interprétation du résultat obtenu.
3. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ et représenter cette droite sur le graphique.
4. Donner une estimation du poids d’un poulet de ce type de $15$ semaines.
NB : Les résultats des calculs seront donnés à $10^{−2}$ près.

Exercice 2 : (BAC 2020)

On donne la série statistique suivante à deux variables :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_{i} &1,2 &1,4 &1,6 &1,8 &2\\
\hline
y_{i}&13 &12 &14 &16 &\alpha\\
\hline
\end{array}$$
Par la méthode des moindres carrés, on a obtenu l’équation de la droite de régression de $y$ en $x$, à
savoir $(D): y = 9x + 0.6$.
1. Calculer $x$.
2. Exprimer $y$ en fonction de $a$.
3. En utilisant les résultats de $1$. et $2$. Et la droite $(D)$, montre que $\alpha = 20$.
4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $x$ en $y$. La corrélation est-elle forte ?
5. Estimer la valeur de $y$ pour $x = 3.2$.
$2^{ème}$ Partie : Suites numériques

Exercice 3 : (Détermination de suites)

1. Soit $(U_{n})n\in\mathbb{N}$ la suite numérique définie par :$ U_{n} = 2n + 5$.
(a) Calculer $U_{0}; U_{1}; U_{5}$ et $U_{20}$.
(b) Exprimer $U_{n−1}$ et $U_{n+1}$ en fonction de $n$.
2. Soit $(U_{n})n\in\mathbb{N}$ la suite numérique définie par : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}
    U_{0} &=& −4\\
    U_{n+1} &=& 3U_{n} + 10
\end{array}\right.$$

(a) Calculer $U_{1}; U_{2}$ et $U_{4}$.
(b) Exprimer $U_{n+2}$ en fonction de $U_{n}$.

Exercice 4 : (suite arithmétique)

On considère la suite $(U_{n})n\in\mathbb{N}$ définie par : $U_{0} = 4$ et $U_{n+1} = U_{n} + 2$.
1. Quelle est la nature de la suite $(U_{n})n\in\mathbb{N}$ ?
2. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$ puis calculer $U_{25}$.
3. Étudier la convergence de la suite $(U_{n})n\in\mathbb{N}$.
4. Etudier la monotonie de la suite $(U_{n})n\in\mathbb{N}$.
5. Calculer $S = U_{0} + U_{1} + ⋯ + U_{9}$ .

Exercice 5 : (suite géométrique)

Soit $(U_{n})$ la suite définie par : $U_{0} = 5$ et $U_{n+1} = 4U_{n} − 6$.
1. Calculer $U_{1}; U_{2}$ et $U_{3}$.
2. On considère la suite $(V_{n})$ définie par : $V_{n} = U_{n} − 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$
3. (a) Montrer que     $(V_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
(b) Exprimer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$.
4. Etudier la convergence de la suite $(V_{n})$.
5. Calculer la somme $S = V_{0} + V_{1} + ⋯ + V_{10}$ et $S′ = U_{0} + U_{1} + ⋯ + U_{10}$.

Exercice 6 : (creusé de puits) BAC 2020

Une commune rurale contacte une entreprise pour creuser un puits de $15$ mètres de profondeur dans sa circonscription. L’entreprise propose les tarifs suivants : le premier mètre creusé coûte $30.000$ FCFA,
le suivant $34.000$ FCFA et ainsi de suite en augmentant de $4000 FCFA$, le prix de chaque mètre creusé.
On appelle $n$ le nombre de mètres creusés et $U_{n}$ le prix du n-ième mètre creusé.
1. Calculer $U_{3}$ et $U_{4}$.
2. (a) Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}$. En déduire la nature de la suite $(U_{n})$ pour $n ≥ 1$.
(b) Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $U_{15}$.
3. On pose $C$ le coût total du puits.
(a) Montrer que $C = 15 \left(\dfrac{U_{1}+U_{15}}{2}\right)$.
(b) Calculer alors le coût total $C$.

Exercice 7 : (placements à la banque)

Un client a ouvert un compte dans une banque de la place et a versé à l’ouverture $100.000 F$ en janvier $2010$ au taux d’intérêt de $5%$ l’an.
On désigne par $C_{n}$ le capital en l’an $2010 + n$ et $C_{0}$ le capital initial en $2010$.
1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$ les capitaux en $2011$ et $2012$.
2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$.
3. (a) Montrer que la suite des capitaux $(C_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
(b) Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$
(c) Calcule le capital en $2023$