Exercices Calcul intégral - Tle
Exercice 1
Répondre par V (vrai) ou F (faux) à chacune des affirmations suivantes.
| Affirmations | Réponses |
|---|---|
| Une primitive sur ℝ de la fonction définie par : f(x) = 3x² − 4x + 1 est la fonction définie par : F(x) = x³ − 2x² + x − π. | |
| La primitive sur ]0; +∞[ de la fonction définie par p(x) = x − 1/x² − 1/√x qui prend la valeur −½ en 1 est la fonction définie par P(x) = ½ x² + 1/x − 2√x + 1. | |
| Une primitive sur un intervalle I de la fonction u'v + uv' est la fonction u × v. |
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, déterminer toutes les primitives sur \( I \) de la fonction \( f \).
\[
a) \, f(x) = \frac{1}{(2x + 5)^2}; \quad I = \left] \frac{5}{2}; +\infty \right[ \quad b) \, f(x) = (3x + 2)(3x^2 + 4x - 7)^3; \quad I = \mathbb{R}
\]
Exercice 3
On pose : \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = x + 1 - e^x \).
On désigne par \( (C) \) la courbe représentative de \( f \) dans le plan muni d’un repère orthonormé \( (O, I, J) \) d’unité graphique 2 cm.
1) Calculer les limites en \( +\infty \) de \( f(x) \) et de \( \frac{f(x)}{x} \). Interprète graphiquement les résultats obtenus.
a)Calculer la limite en \( -\infty \) de \( f(x) \).
b) Montrer que la droite \( (D) \) d’équation \( y = x \) est asymptote à \( (C) \) en \( -\infty \).
c) Étudier les positions relatives de \( (C) \) et \( (D) \).
2) Dresser le tableau de variation de \( f \).
3) Tracer \( (D) \) et \( (C) \).
4) Calculer en cm², l’aire \( \mathcal{A} \) de la partie \( \Delta \) du plan limitée par \( (C) \), la droite \( (D) \), les droites d’équations \( x = -2 \) et \( x = 0 \).
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