Contexte : La culture de produits vivriers.

M. Zénith est le propriétaire d’une boutique de vente des produits vivriers, construite devant son domicile.

Après les travaux de libération des espaces publics qui ont occasionnés la démolition de sa boutique M. Zénith décide d’exploiter sa ferme pour la culture de riz et de l’ananas.

Pour irriguer la ferme en cas de manque de précipitations, $M$. Zénith sollicite, les services d’une agence de forage qui a prescrit la construction d’un puits à l’intersection de $(P)$ et $(\Delta)$ où dans l’espace
muni du repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{i};\vec{j};\vec{k}): (P)$ est l’ensemble des points $M ( x ; y ; z )$ de l’espace tel que $\vec{AM}.\vec{u}= 5$ et $(\Delta)$ est l’ensemble des points $M ( x ; y ; z )$ de l’espace tels que $\vec{AM}\wedge\vec{u} =\vec{OB}$ avec $A (1 ;2 ;- 4) ; \vec{u}(3 ;- 2 ; 1 )$ et $\vec{AB}(3 ; 5 ; 6 )$.

Informé, Réussite, fille de M. Zénith et élève en classe de terminale scientifique désire localiser la position du puits, calculer le temps minimal t en mois que durera la récolte du riz et évaluer le nombre d’ananas que son père peut espérer après culture.
Tâche :

Tu vas aider Réussite à trouver des solutions à ses préoccupations en résolvant les trois problèmes suivants.

Problème 1

1. Justifie que $\vec{OB}(4 ; 7 ; 2)$.

2. a. Démontre que $$M \in (\Delta) \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{rcl} x& =& 3\beta + 6\\ y& =& −2\beta − 2, \beta \in IR.\\ z& =& \beta \end{array}\right.$$

b. Déduis- en la nature de $(\Delta)$ et donne un de ses repères.

3. a. Démontre que $M \in (P) \Leftrightarrow\vec{BM}. \vec{u}= 0$.

b. Détermine alors l’ensemble $(P)$ puis donne une équation cartésienne de $(P)$.

4. a. Étudie la position relative de $(\Delta)$ et $(P)$.

b. Détermine les coordonnées du point $R$ où sera construit le puits.

Problème 2

Pendant la récolte, M. Zénith amène sur la ferme une grande boîte qui contient $8$ petites boîtes cubiques indiscernables au toucher dont une rouge numérotée $1$, trois rouges numérotées $2$, deux vertes numérotées $1$, une verte numérotée $2$ et une jaune numérotée $2$.

5. Un enfant de Zénith choisi au hasard et successivement sans remise deux petites boîtes cubiques de la grande boîte.

On admettra que la probabilité de choisir une petite boîte cubique est indépendante de son numéro et de sa couleur.

On note : $E_{1}$ l’évènement « Obtenir des boîtes cubiques de couleurs différentes ».

$E_{2}$ L’évènement « Obtenir au plus une boîte cubique portant le numéro $2$ ».

a. Calcule la probabilité de l’évènement $E_{1}$.

b. Vérifie que la probabilité de l’évènement $E_{2}$ est égale à $\dfrac{9}{14}$ .

c. Les évènements $E_{1}$ et $E_{2}$ sont – ils indépendants ?

6. L’enfant tire cette fois, simultanément trois petites boîtes cubiques de la grande boîte.

a. Détermine la probabilité de l’évènement $E_{3}$ « Obtenir au plus une petite boîte cubique portant le numéro $2$ ».

b. L’enfant répète $n$ fois l’expérience, en remettant dans la grande boîte les petites boites cubiques tirées avant de procéder au tirage suivant.

On note $P_{n}$, la probabilité de l’évènement En « $E_{3}$ soit réalisé au moins une fois ».

Exprime $P_{n}$ en fonction de $n$.

c. En réalité le temps minimal $t$ en mois que durera la récolte de riz est $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}  P_{n}$ .

Calcule $t$.

Problème 3

Dans le plan muni du repère orthonormé direct $(Ω,\vec{e_{1}} , \vec{e_{2}})$ , la portion réservée à la culture de l’ananas est délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative $(C)$ d’une fonction $f$ solution d’une équation différentielle $(E)$ et des droites d’équations $x = 0$ et $x = \alpha$, où $\alpha$ est un nombre réel strictement positif que $M$.

Zénith peut varier pour agrandir le domaine.

On estime que le nombre maximal d’ananas que $M$.

 Zénith peut espérer vaut la partie entière de : $N_{max} = 10000\times A(\alpha)$, lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$.

Partie A :

L’équation différentielle $(E)$ est définie par : $y’ + 2y =\dfrac{2}{1+e^{2x}}$

7. Résous dans $ℝ$ l’équation différentielle $y’ + 2y = 0$.

8. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)= e^{−2x}k(x)$ ou $k$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$

a) Démontre que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si $k′(x) = \dfrac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}$

b) Déduis-en la valeur de $(E)$ qui prend la valeur $ln2$ en $0$.

Partie B :

La courbe $(C)$ qui détermine le domaine de M. Zénith est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{−2x} ln(1 + e^{2x} )$.

9. On considère la fonction $u$ définie sur $ℝ$ par $u(x) = ln(1 + e^{2x}) − \dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}}$

a) Etudie les variations de $u$.

b) Déduis-en le signe de $u(x)$ pour tout $x$ élément de  $\mathbb{R}$.

10.a) Etudie les variations de $f$.

b) Détermine une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ en son point d’abscisse $0$.

c) Trace la courbe $(C)$ et la tangente $(T)$ dans le repère $(\Omega,\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})$.

11.a) Justifie que pour tout réel $x$, on a : $f(x) = \dfrac{1}{2} \left[−f′(x) + \dfrac{2e^{−2x}} {1+e^{−2x}}\right]$

b) Déduis-en une primitive de $f$ sur r $\mathbb{R}$.

c) Calcule l’aire $A(\alpha)$ du domaine réservée à la culture de l’ananas.

d) Calcule la limite de $A(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$.

e) déduis-en le nombre maximal d’ananas que peut espérer M. Zénith.