Situation d'évaluation

Contexte

Le conseil communal de kariba a décidé de faire aménager les abords de la rivière Yang afin de créer des espaces de cultures et d'élevages de cultures de d'élevages respectivement sur chacun de ses deux rives.

A cet effet il est prévu la construction d'une réserve d'eau ayant la forme d'un cube $OABCDEFG$ d'arête $1m$ sur la rive de culture avec les indications suivantes:
-l'espace sera muni du repère $R=(O;\vec{u};\vec{OD};\vec{v})$ ou $\vec{u}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{OB}$ et $\vec{v}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{CA}$ tel que le repère $(O;\vec{OA};\vec{OC};\vec{OD})$ soit orthonormé direct.

-pour maintenir l'eau à une bonne température,une aiguille aimantée sera attachée:
une extrémité au point $K$ barycentre des points pondérés $(0;1)$ et $(F;2)$;et l'autre extrémité au point $M$ du segment $[DG]$ tel que la distance $d_{t}$ du point $E$ au plan $(MOF)$ soit maximale avec $DM=t\sqrt{2}DG$ et $t\in\left[O,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$

Sur l'autre rive il sera construit un abreuvoir pour les animaux dont la basse a la forme d'un quadrilatère dont les affixes des sommets $L,N,Q$ et $T$ sont les racines d'un polynôme complexe.

Adora un candidat au baccalauréat s'interroge sur la construction de la citerne,de l'abreuvoir,de la manière dont l'ingénieur chargé des travaux peut représenter le contour de la partie à aménager et calculer l'aire d'une étendue d'eau de la rivière qui varie selon les saison.

Tache:Tu es invité(e) à apporter des solutions satisfaisantes aux préoccupations d'Adora à travers la résolution des trois problèmes suivants:

Problème 1

1-(a)Démontre que $R$ est un repère orthonormé direct de l'espace direct de l'espace.

(b)Détermine les coordonnées des points $E,F$ et $G$ dans le repère $R$.

(c)Démontre que le point $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3},\dfrac{2}{3},0\right)$.

2-(a)Détermine les coordonnées des points $M$ en fonction de $t$.

(b)Démontre que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $\left[0,\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right]$,le volume du tétraèdre $OEMF$ est égal à $\dfrac{1}{6}m^{3}$.

3-(a)Démontre qu'une équation cartésienne du plan $(MOF)$ dans le repère $R$ est $tx-t\sqrt{2}y+(t-\sqrt{2})z=0$.

(b)Démontre que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right],d_{t}=\dfrac{1}{\sqrt{4t^{2}}-2t\sqrt{2}+2}$

(c)Étudie le sens de variation de la fonction $h:t\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{4t^{2}}-2t\sqrt{2}+2}$ sur $\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$.

Déduis-en la position de $M$ sur le segment $[DG]$.

Problème 2

Le plan complexe étant muni d'un repère orthonormé direct $(\Omega;\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$,les sommets $L,N,Q$ et $T$ de la base l'abreuvoir ont pour affixes les racines du polynômes $P$ tel que
$P(z)=z^{4}-(4+4i)z^{3}+12iz^{2}+(8-8i)z-32+96i$ avec $Re(z_{L})<0,0z_{N}\in i\mathbb{R^{*}}$.

On taille à l'intérieur de l'abreuvoir un creux dont l'entrée est l'ensemble $(\varphi)={M(z)/[z-(1+i)]\times[\bar{z}-(1-i)]=5}$ dans le plan complexe.

4-(a)Démontre que $M\in(\varphi)\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x-2x-2y-3=0$.

(b)Détermine la nature et les caractéristiques  de $(\varphi)$.

5-(a)Vérifie que pour tout $z\in\mathcal{C},P(z)=(z-4)(z^{3}-4iz^{2}-4iz+8-24i)$.

(b)Démontre que l'équation $z^{3}-4iz^{2}-4iz+8-24i=0$ admet une solution imaginaire pure $z_{0}$ que tu détermineras.

(c)Détermine les nombres complexes $a,b$ et $c$ tels que $z^{3}-4iz^{2}-4iz+8-24i=(z-z_{0})(az^{2}+bz+c)$.

6-(a)Détermine les les racines carrées du nombres complexe $12+16i$.

(b)Résous dans $\mathcal{C}$ l'équation $P(z)=0$ puis précise les précise les affixes des points $L,N,Q$ et $T$.

7-(a)Démontre que $LNQT$ est un carré.

(b)Construis dans le plan complexe le carré  $LNQT$ et l'ensemble $(\varphi)$.

Problème 3

Le contour de la partie a aménage est assimilable,dans un repère orthonormé $(O,I,J)$,à la courbe représentative $(C)$ de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E):y'+2y=\dfrac{2}{1+e^{2x}}$ et qui prend la valeur $ln2$ en $0$.

La surface d'une étendue d'eau est définie par le domaine $$(D):\left\lbrace\begin{array}{rcl} 0&\leq x&\leq\alpha\\ 0&\leq y&\leq f(x) \end{array}\right.$$
ou $\alpha$ est un nombre réel dépendant de la quantité de pluie de cette année.

L'unité de longueur est $2m$.

8-Soit $g$ une fonction définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{-2x}K(x)$ ou $K$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$

(a)Résous sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E_{0}:y'2y=0$

(b)Démontre que $g$ est solution de $E$ si et seulement si $K'(x)=\dfrac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}$.

(c)Déduis-en que pour tout $x\in\mathbb{R} f(x)=e^{-2x}ln(1+e^{2x})$.

9-(a)Étudie les variations de $u$ définie par $u(x)=ln(1+2e^{2x})-\dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}}$.

(c)Déduis-en le signe de $u(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

10-(a)Étudie les variations de $f$ puis vérifie que $\forall x\in\mathbf{R}f'(x)=-2\mathbb{R}=2e^{-2x}u(x)$.

(b)Détermine une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ en son point d'abscisse $0$.

(C)Construis la courbe $(C)$ en $(T)$.

11-(a)En utilisant l'équation différentielle $(E)$,calcul l'aire $\alpha$,du domaine $(D)$.

(b)Calcule la limite de $A(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$.