EXAMEN BLANC DEPARTEMENTAL – BAC
Situation d'évaluation
Contexte :
Construction de logements sociaux
Les autorités municipales de la commune de Talapio voudraient construire des logements sociaux au profit des agents de la mairie.
En charge de la réalisation du plan de construction, l’architecte Gandaho a prévu :
- La construction d’un château d’eau ayant la forme d’un solide ABCDS avec un raccordement spécial au point M de la droite (BD) tel que la distance CM soit minimale.
- La construction d’une clôture du domaine des logements sociaux.
- L’aménagement d’un espace vert.
L’espace étant rapporté à un repère orthonormé direct, on a :
A(0;4;−3),B(0;1;−2),C(−1;0;−1),D(0;−5;−5) et le point S vérifie →SB−→SC+→SD=→O .
Firmin est un fils de Gandaho et élève en classe de terminale scientifique.
En observant le plan des logements sociaux, il y reconnait certaines configurations du plan et de l’espace étudiées en classe. Par ailleurs, il s’intéresse à la position du point M et la capacité du château d’eau, à la forme de la clôture et à l’aire de partie réservée à l’aménagement de l’espace vert.
Tâche : Tu es invité(e) à trouver de réponses aux préoccupations de Firmin, en résolvant les problèmes suivants :
Problème 1
1) Démontre que BCDS est un rectangle
2) Détermine une équation cartésienne du plan (BCD)
3) Démontre que ABCDS est une pyramide et détermine sa hauteur.
4) Calcule le volume de la pyramide ABCDS.
5) Détermine une représentation paramétrique de la droite (BD)
6) Détermine les coordonnées de M.
Problème 2
Sur Le plan du domaine des logements sociaux réalisé à une échelle donnée, le plan du sol est assimilable au plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;→u,→v).
La clôture a une forme circulaire passant par les sommets d’un quadrilatère EFGH représentant le domaine des logements sociaux.
Les affixes des points E,F,G et H sont les solutions dans C de équitation (E):P(z)=0 avec P(z)=z4−12z3+54z2−108z+405;z∈C
7) Résous dans C l’équation (E) sachant qu’elle admet deux solutions dont les points-images appartiennent à l’axe des ordonnées.
8) En réalité, les points E,F,G et H ont respectivement pour affixes : 3i,6+3i,6−3i et −3i.
a) On pose u=zG+zH
Ecris u−7 sous forme trigonométrique
b) Démontre que EFGH est un carré.
c) Détermine une équation cartésienne du cercle circonscrit au carré EFGH
Problème 3
{f(x)=x2v(x),si≤−2f(x)=−x+2+1ln(x+2),six>−2 où v est la solution surR de l’équation différentielle y′=yavecv(−2)=1
Partie A
b – Justifie que l’ensemble de définition D de f est D=R−−1.
c –Etudie la continuité de f en −2.
10) Etudie la dérivabilité de f en −2 puis donne une interprétation géométrique des résultats obtenus
11) Etudie les variations de f.
12) Etudie les branches infinies de (C).
13) Démontre que (C) coupe l’axe des abscisses exactement en deux points d’abscisses α et β telles que −2<α<−1 et 2<β<3
14) a-Etudie la position relative de (C) par rapport à la droite (∆) d’équation y=−x+2
b - Construis (C) dans le plan
Partie B
Soit F la fonction de la variable réelle x définie par : F(x)=∫x41ln(t+2)dt
15) Justifie que F est définie et dérivable sur [4;+∞[.
16) Etudie le sens de variation de F.
17) a- En utilisant la méthode des rectangles et en subdivisant l’intervalle [4;5] en 5 intervalles de même amplitude, détermine un encadrement de F(5) par deux nombres décimaux d’ordre 2.
b – Déduis-en un encadrement par deux nombres décimaux d’ordre 2 de l’aire en unités d’aires de la partie réservée à l’aménagement de l’espace vert.
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