Devoir n°9 - Ts2

 

Une enquête a montré que :

 

$-\ $ Avant de passer l'épreuve du bac, $75\%$ des candidats ont travaillé très sérieusement.

 

$-\ $ lorsqu'un candidat a travaillé très sérieusement, il réussit au bac dans $80\%$ des cas ;

 

$-\ $ lorsqu'un candidat n'a pas beaucoup travaillé, il échoue au bac dans $70\%$ des cas.

 

Après la proclamation des résultats, on interroge au hasard un candidat.

 

On note $T$ l'événement : "le candidat a travaillé très sérieusement" ;

 

$R$ l'événement : "le candidat a réussi au bac".

 

Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies éventuellement au millième.

 

1) Traduire les données à l'aide d'un arbre pondéré.

 

2) a) Calculer la probabilité de l'événement : "le candidat a travaillé très sérieusement et il a réussi au bac"

 

b) Montrer que la probabilité $p(R)$ qu'un candidat réussisse au bac est égale à 0.675

 

3) Le candidat interrogé vient d'échouer. 

 

Quelle est la probabilité qu'il ait travaillé très sérieusement ?

 

4) Toujours après la proclamation des résultats, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats (on notera que cette expérience peut être assimilée à un tirage successif avec remise).

 

Calculer la probabilité $p_{3}$ d'interroger au moins une personne ayant échoué à l'épreuve.

 

5) On interroge désormais au hasard et de façon indépendante $n$ candidats.

 

Quelle est la probabilité $p_{n}$ d'interroger au moins une personne ayant échoué à l'épreuve ?

On définit deux suites $(U_{n})\ $ et $\ (V_{n})$ par : 

 

$U_{0}=1\;,\ V_{0}=5$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$,

$$U_{n+1}=\dfrac{7U_{n}-V_{n}}{4}+1\quad\text{et}\quad V_{n+1}=\dfrac{15U_{n}-V_{n}}{4}+3$$

 

1) Calculer $U_{1}\;,\ U_{2}\;,\ V_{1}$ et $V_{2}.$

 

2) Soit la suite $(W_{n})$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ W_{n}=5U_{n}-V_{n}.$

 

Montrer que la suite $(W_{n})$ est arithmétique et exprimer $W_{n}$ en fonction de $n$

 

3) Soit la suite $(T_{n})$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ T_{n}=V_{n}-3U_{n}.$

 

Montrer que la suite $(T_{n})$ est arithmétique et exprimer $T_{n}$ en fonction de $n.$

 

4) Déduire des questions précédentes les expressions de $U_{n}$ et $V_{n}$ en fonction de $n$ puis étudier leur convergence.

 

5) Calculer $$S_{n}=\sum_{p=0}^{n}U_{p}\quad\text{et}\quad S'_{n}=\sum_{p=0}^{n}V_{p}$$

Soit la fonction $f$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{ccccc} f(x)&=&\exp\left(\dfrac{x^{2}}{x^{2}-1}\right)&\text{si}&x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\\ \\ f(1)&=&f(-1)&=&0 \end{array}\right.$$

 

Étudier $f$ et tracer sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}.$

$$\text{Durée : 2h30}$$