Devoir n°33 - Ts2

1) Soit $f\ :\ M(z)\rightarrow M'(z')$ une transformation du plan.

 

a) Donner une relation entre $z$ et $z'$ pour que $f$ soit une similitude directe. 

 

b) On suppose que $z'=az+b$ avec $a$ et $b$ deux nombres complexes tels que :

 

$a\;\not\in\;\mathbb{R}$ et $|a|\neq 1.$ Donner la nature et les éléments caractéristiques de $f.$

 

2) Énoncer le théorème des Gendarmes. 

 

3) Énoncer le théorème des Inégalités des Accroissement Finis avec valeur absolue.

1) Soit $(E)\ :\ z^{3}+(-3-2\mathrm{i})z^{2}+(7+8\mathrm{i})z+11+10\mathrm{i}=0$

 

a) Déterminer la solution réelle de l'équation $(E)$

 

b) En déduire les autres solutions de l'équation $(E)$

 

2) On considère dans le plan complexe les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $-1\;,\ 3-2\mathrm{i}$ et $1+4\mathrm{i}$

 

a) Placer les points $A\;,\ B$ et $C.$

 

b) Déterminer le module et un argument de $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}.$

 

c) En déduire la nature du triangle $ABC.$ (Justifier votre réponse)

 

3) Soit $s$ la similitude directe de centre $A$ et qui transforme $B$ en $C.$

 

a) Déterminer l'écriture complexe de $s.$

 

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $s.$

 

c) Déterminer l'image par $s$ du triangle $ABC.$

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $2(\ln x)^{3}-3(\ln\;x)^{2}-3\ln x+2\leq 0$

 

2) Calculer $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(1+3x)}{2x}$ (on pourra poser $u=3x$)

 

3) Déterminer la primitive qui s'annule en 1 de $f\ :\ x\rightarrow \dfrac{5\ln x}{3x}$

On considère la fonction $f$ définie par $$f\ :\ x\rightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x) &=& x\ln(-x)-x+1\quad\text{si }\;x<0 \\ \\ f(x) &=& 1+\ln(x+1)\quad\text{si }\;x\geq 0\end{array}\right.$$

 

et $(Cf)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

 

1) a) Déterminer le domaine de définition $Df$ de $f.$ 

 

b) Calculer les limites aux bornes de $Df.$

 

c) Étudier les branches infinies de $(Cf)$

 

2) a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0.

 

b) Interpréter graphiquement les résultats.

 

3) a) Étudier les variations de $f.$ 

 

b) Montrer que dans $]-\infty\;;\ 0[$ l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $-4<\alpha<-3$

 

c) Déterminer les points de rencontre de $(Cf)$ avec l'axe des abscisses. 

 

4) a) Montrer que dans $[0\;;\ +\infty[$ l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ et que $1<\beta<3.$ On pourra étudier $h\ :\ x\rightarrow f(x)-x$

 

b) Montrer que sur $[0\;;\ +\infty[$ on a : $0\leq f'(x)\leq\dfrac{1}{2}$

 

c) En appliquant les Inégalités des Accroissements finis, montrer que $|f(x)-\beta|\leq\dfrac{1}{2}|x-\beta|.$

 

5) Soit $g$ la restriction de $f$ à $[0\;;\ +\infty[.$ On définit la suite $(u_{n})$ par :

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{0} &=& 1 \\ \\ u_{n+1} &=& g(u_{n})\;,\quad\forall\;n\geq 0\end{array}\right.$$

 

a) Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante et $u_{n}\geq 1\;,\ \forall\;n\geq 0$

 

b) En déduire que : $|u_{n+1}-\beta|\leq\dfrac{1}{2}|u_{n}-\beta|\;,\ \forall\;n\geq 0$

 

c) Montrer alors que : $|u_{n}-\beta|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}|u_{0}-\beta|\;,\ \forall\;n\geq 0$

 

d) Déterminer le plus petit entier $p,$ si possible, tel que $|u_{p}-\beta|\leq 10^{-1}$

 

On remarquera que $|u_{0}-\beta|\leq 2$