Devoir n°19 - Ts2

Classe: 
Terminale

Exercice 1   (4 points)

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(\cos x)(\cos2x).$ 
 
1) Résoudre dans $[–\pi\;;\ \pi]$ l'équation $f(x)=0.$    
 
2) Calculer $f'(x)$ et déterminer le sens de variation de $f$ sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ en prenant pour unité $4\;cm.$ 
 
3)Préciser les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points d'abscisses 0 et $\dfrac{\pi}{4}.$  
 
4) En utilisant les formules d'Euler, linéariser $f(x).$  

Exercice 2   (4 points)

1)Donner l'écriture exponentielle du nombre complexe $1+\mathrm{i}.$ 
 
2)Soit $z=\alpha^{\;\mathrm{i}\theta}$ avec $\alpha\in\;]0\;;\ +\infty[$ et $\theta\in\;[0\;;\ 2\pi].$     
    
a) Calculer $z^{2}$ et $(1+\mathrm{i})\overline{z}$ en fonction de $\alpha$ et $\theta.$     
 
b) En déduire la valeur  $r$ de $\alpha$  et les valeurs $\theta_{0}\;,\ \theta_{1}$ et $\theta_{2}$ pour lesquelles on a l'égalité :
 
$$z^{2}=(1+\mathrm{i})\overline{z}$$
 
3) On note respectivement $z_{0}\;,\ z_{1}$ et $z_{2}$ les nombres complexes de module $r$ et d'arguments $\theta_{0}\;,\ \theta_{1}$ et $\theta_{2}.$
 
Soient $A_{1}$ et $A_{2}$ les points du plan complexe d'affixes $z_{1}-z_{0}$ et $z_{2}-z_{0}.$  
 
a) Calculer sous forme trigonométrique $Z=\dfrac{z_{2}-z_{0}}{ z_{1}-z_{0}}.$
       
b) En déduire la nature du triangle $OA_{1}A_{2}.$  

Exercice 3  (4.5 points)

On considère le polynôme complexe $P(z)$ défini :
 
$P(z)=z^{3}-(6-2\mathrm{i})z^{2}+(10+4\mathrm{i})z-16-4\mathrm{i}$,  
 
1) Montrer que l'équation $P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure $z_{0}.$ 
 
2) Déterminer le polynôme $Q$ tel que :
 
$\forall\;z\in\mathcal{C}\;,\ P(z)=(z-z_{0})Q(z).$  
 
3) Résoudre dans $\mathcal{C}$ l'équation $P(z)=0$.
 
On notera $z_{0}\;,\ z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions avec $|z_{1}|<|z_{2}|.$ 
 
4) Donner l'écriture trigonométrique de chacune de ces solutions. 
 
5) Placer les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $z_{0}\;,\ z_{1}$ et $z_{2}$ dans le plan complexe de repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, puis Calculer l'affixe du barycentre $G$ des points $A\;,\ B$ et $C$ affectés des coefficients 2, 1 et 1.  

Problème   (7.5 points)

A) Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{x+1}{2x+1}-\ln x.$ 
 
1) Étudier les variations de $g$
 
2) a) Calculer $g(1)$ et $g(2).$
 
Montrer que  l'équation $g(x)=0$ a une solution unique $\alpha$ dans $]0\;;\ +\infty[.$  
   
b) Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}.$
 
B) Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2\ln x}{x^{2}+x}.$
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
(unité graphique : $2\;cm$ sur $x'x$ et $4\;cm$ sur $y'y)$
 
1) Étudier les limites de $f$ en 0 et en $+\infty.$
 
Interpréter graphiquement les résultats.
 
2) a) Montrer que pour tout $x\in\;]0\;;+\ \infty[\;,\ f'(x)=\dfrac{2(2x+1)}{(x^{2}+x)^{2}}g(x).$    
 
b) En déduire les variations de $f.$ 
      
c) Démontrer que $f(\alpha)=\dfrac{2}{\alpha(2\alpha+1)}$, puis construire $\mathcal{C}.$
 

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