Devoir n°11 - TS1

Exercice 1

Soit m un nombre complexe différent de 1.
 
I. On considère dans l'ensemble C ,l'équation d'inconnue x :
 
(E) : x2(1i)(m+1)zi(m2+1)=0
 
1.a. Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est : δ=[(1+i)(m1)]2
 
b. Résoudre dans C l'équation (E) 
 
c. Déterminer sous forme algébrique les deux valeurs du complexe m pour que le produit des deux solutions de l'équation (E) soit égal à 1.
 
2. On pose z1=1im et z2=mi
 
Écrire z1 et z2 sous forme trigonométrique dans le cas où m=eiθ avec π2<θ<π.
 
II. Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormé direct
 
(O ; e1, e2)
 
On considère les points M, M1 et M2 d'affixes respectivement : m , z1 et z2.
 
1. Déterminer l'ensemble des points M pour lesquels les points M, M1 et M2 sont alignés.
 
2. Montrer que le nombre complexe x2x1x2m est un imaginaire pur si et seulement si
Re(m)+Jm(m)=1

Exercice 2 :

Soit f la fonction définie sur [1,+[ par : f(x)=1xln(x+1x)
 
En utilisant la fonction f, on se propose de déterminer la limite de la suite de terme général Sn=Σlimk=n2n
 
1. Soit k un entier naturel non nul. 
 
Établir les relations suivantes :
 
a. 1k+1k+1kdxx1k
 
b. k+1kdxx=1kf(k)
 
2.a. Déterminer deux réels a et b tels que 1x(x+1)=ax+bx+1
 
b. Soit Un=1n(n+1)+1(n+1)(n+2)++12n(2n+1)=Σ2nlimk=n1k(k+1)
 
Calcul Un en fonction de n et déterminer limnUn

Problème 

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i,j)

Partie A:

On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle I=(]12, )] par :
 
{f(x)=ln(1+2x)xsi 0f(0)=2 et soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f.
 
1. Montrer que la fonction f est continue en 0.
 
2. Pour tout réel non nul α de l'intervalle I, on considère la fonction numérique ha définie sur I par 
 
ha(x)=(ln(1+2a)2a)x2(ln(1+2x)2x)a2
 
a. Calculer ha(a) et ha(0),en déduire qu'il existe un réel b compris entre 0 et α tel que :
 
ln(1+2a)2aa2=21+2b
 
b. En déduire que f est dérivable en 0 et que f(0)=2.
 
3.a. Montrer que la fonction f est dérivable sur I0 et que :
 
xI0 ; f(x)=g(x)x2(1+2x) avec g(x)=2x(1+2x)ln(1+2x)
 
b. Montrer que : xI0 ; g(x)<0
 
c. En déduire les variations de la fonction f sur I
 
4.a. Calculer les deux limites +limx12f(x) et limx+f(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
 
b. Montrer qu'il existe un unique réel α de l'intervalle [1 ; 2] tel que : f(x)=1.
 
c. Tracer la courbe (Cf)) (On prend α1.3)

Partie B: 

1. On considère la fonction ϕ définie sur l'intervalle I par :
 
ϕ(x)=ln(1+2x) et on pose J=[1 ; α].
 
a. Montrer que la fonction ϕ est dérivable sur I et que :
 
x1 ; 0<ϕ(x)23
 
b. vérifier que : ϕ(α)=α et que ϕ(J)J.
 
2. On considère la suite numérique (Un)nN définie par : 
 
{U0=1Un+1=ln(1+2Un), pour tout nN
 
a. Montrer que : nN ; Unj
 
b. Montrer que : nN ; |Unα|(23)n.
 
c. En déduire que (Un)nN est convergente et déterminer sa limite. 
 
On considère la fonction numérique F définie sur l'intervalle I par : F(x)=x0f(t)dt
 
a. Montrer que la fonction F est dérivable I puis calculer F(x)
 
b. En déduire les variations de la fonction F sur I
 
2.a. Montre que : x1 ; F(x)x1ln(1+2t)1+2tdt.
 
b.  En déduire que : limx+F(x)=+
 
3. On suppose que la fonction F admet une limite finie I à droite en 12
 
On considère la fonction h définie sur l'intervalle [12, +[ par :
 
{h(x)=F(x) si xIh(12)=l
 
En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
 
xIF(x)lf(x)(x+12))
 
b) Étudier la dérivabilité de h à droite en 12
 

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