Devoir n°11 - TS1
Exercice 1
Soit m un nombre complexe différent de 1.
I. On considère dans l'ensemble C ,l'équation d'inconnue x :
(E) : x2−(1−i)(m+1)z−i(m2+1)=0
1.a. Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est : δ=[(1+i)(m−1)]2
b. Résoudre dans C l'équation (E)
c. Déterminer sous forme algébrique les deux valeurs du complexe m pour que le produit des deux solutions de l'équation (E) soit égal à 1.
2. On pose z1=1−im et z2=m−i
Écrire z1 et z2 sous forme trigonométrique dans le cas où m=eiθ avec π2<θ<π.
II. Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormé direct
(O ; →e1, →e2)
On considère les points M, M1 et M2 d'affixes respectivement : m , z1 et z2.
1. Déterminer l'ensemble des points M pour lesquels les points M, M1 et M2 sont alignés.
2. Montrer que le nombre complexe x2−x1x2−m est un imaginaire pur si et seulement si
Re(m)+Jm(m)=1
Exercice 2 :
Soit f la fonction définie sur [1,+∞[ par : f(x)=1x−ln(x+1x)
En utilisant la fonction f, on se propose de déterminer la limite de la suite de terme général Sn=Σlimk=n2n
1. Soit k un entier naturel non nul.
Établir les relations suivantes :
a. 1k+1≤∫k+1kdxx≤1k
b. ∫k+1kdxx=1k−f(k)
2.a. Déterminer deux réels a et b tels que 1x(x+1)=ax+bx+1
b. Soit Un=1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+………+12n(2n+1)=Σ2nlimk=n1k(k+1)
Calcul Un en fonction de n et déterminer limn⟶Un
Problème
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,→i,→j)
Partie A:
On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle I=(]−12, ∞)] par :
{f(x)=ln(1+2x)xsi ≠0f(0)=2 et soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f.
1. Montrer que la fonction f est continue en 0.
2. Pour tout réel non nul α de l'intervalle I, on considère la fonction numérique ha définie sur I par
ha(x)=(ln(1+2a)−2a)x2−(ln(1+2x)−2x)a2
a. Calculer ha(a) et ha(0),en déduire qu'il existe un réel b compris entre 0 et α tel que :
ln(1+2a)−2aa2=−21+2b
b. En déduire que f est dérivable en 0 et que f′(0)=−2.
3.a. Montrer que la fonction f est dérivable sur I0 et que :
∀x∈I0 ; f′(x)=g(x)x2(1+2x) avec g(x)=2x−(1+2x)ln(1+2x)
b. Montrer que : ∀x∈I0 ; g(x)<0
c. En déduire les variations de la fonction f sur I
4.a. Calculer les deux limites +limx⟶−12f(x) et limx⟶+∞f(x) puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.
b. Montrer qu'il existe un unique réel α de l'intervalle [1 ; 2] tel que : f(x)=1.
c. Tracer la courbe (Cf)) (On prend α≈1.3)
Partie B:
1. On considère la fonction ϕ définie sur l'intervalle I par :
ϕ(x)=ln(1+2x) et on pose J=[1 ; α].
a. Montrer que la fonction ϕ est dérivable sur I et que :
∀x≥1 ; 0<ϕ′(x)≤23
b. vérifier que : ϕ(α)=α et que ϕ(J)⊂J.
2. On considère la suite numérique (Un)n∈N définie par :
{U0=1Un+1=ln(1+2Un), pour tout n∈N
a. Montrer que : ∀n∈N ; Un∈j
b. Montrer que : ∀n∈N ; |Un−α|≤(23)n.
c. En déduire que (Un)n∈N est convergente et déterminer sa limite.
On considère la fonction numérique F définie sur l'intervalle I par : F(x)=∫x0f(t)dt
a. Montrer que la fonction F est dérivable I puis calculer F′(x)
b. En déduire les variations de la fonction F sur I
2.a. Montre que : ∀x≥1 ; F(x)≥∫x1ln(1+2t)1+2tdt.
b. En déduire que : limx⟶+∞F(x)=+∞
3. On suppose que la fonction F admet une limite finie I à droite en −12
On considère la fonction h définie sur l'intervalle [−12, +∞[ par :
{h(x)=F(x) si x∈Ih(−12)=l
En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
∀x∈IF(x)−l≥f(x)(x+12))
b) Étudier la dérivabilité de h à droite en −12
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