Devoir n°10 - Ts2

 

(SANKORE 2005)
 

On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

 

$f(x)=15 \cos x+6 \cos 2x+ \cos 3x.$

 

1) Calculer la dérivée de $f.$

 

2) Vérifier que : $\sin 3x=\sin x(4 \cos^{2}x-1).$

 

Utiliser cette relation pour établir que : 

 

$f'(x)=-12 \sin x(1+cos x)^{2}.$

 

3) en déduire que :

 

$f(x)=4(1+\cos x)^{2}+k\;,\ k$ étant un réel que l'on déterminera.

 

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\text{ par }f(x)=\dfrac{1}{\cos x}.$

 

1) Démontrer que $f$ réalise une bijection de $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ sur un intervalle $I$ que l'on déterminera.

 

2) Déterminer l'ensemble $J$ sur lequel $f^{-1}$ est dérivable et montrer que :

$$\forall\;x\in\;J\;,(f^{-1'})(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}$$

 

Soit $g\ :\ x\mapsto x+1+\sqrt{x^{2}+4x}.$

 

1) Déterminer $D_{g}$, les limites aux bornes de $D_{g}$ et les asymptotes de la courbe $(\mathcal{C}_{g}).$

 

Préciser la position de $(\mathcal{C}_{g})$ par rapport à chacune de ces asymptotes.

 

2) Étudier la dérivabilité de $g$ en 0 et -4. Interpréter graphiquement ces résultats.

 

3) Étudier les variations de $g.$

 

4) a) Soit $h$ la restriction de $g\text{ à }[0\;;\ +\infty[.$

 

Montrer que $h$ admet une bijection $h^{-1}$ dont on précisera l'ensemble de définition et les variations.

 

b) Étudier la dérivabilité de $h^{-1}\text{ sur }J\setminus\{1\}.$

 

c) Démontrer que l'équation $h(x)=5$ admet une solution unique.

 

d) Déterminer $h^{-1}(y)\text{ pour }y\in\;J.$