Devoir n° 56 - 1e S1

 

1) Soit $(u_{n})_{n}\geq 2$ la suite définie par $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{2} &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\ u_{n+1} &=& u_{n}\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right) \end{array}\right.$$

 

a) Montrer par récurence que : $\forall\;n\geq 2\;;\ 0<u_{n}<1$

 

b) Montrer que $(u_{n})$ est décroissante et en déduire que $(u_{n})$ converge.

 

2) Soit $(v_{n})_{n}\geq 2$ la suite définie par $v_{n}=u_{n}\sin\left(\dfrac{\pi}{2^{n}}\right)$

 

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

 

3) Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n.$

 

4) Montrer que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\dfrac{2}{\pi}\text{(On rappelle que )}\;\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin\;x}{x}=1$

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

 

a) $2\sin\;x\tan\;x+4\cos\;x=5$

 

b) $(\sqrt{2}+1)\cos^{2}x+(\sqrt{2}-1)\sin^{2}x+2\sin\;x\cos\;x=\sqrt{2}+1$

 

2) Résoudre dans $[-\pi\;;\ \pi]$, l'inéquation $\dfrac{4\cos^{3}x-3\cos\;x-1}{1-2\sin\;x}\leq 0$

 

3) On considère l'équation $(E)$ : $(\sqrt{2+\sqrt{2}})\cos\;x+(\sqrt{2-\sqrt{2}})\sin\;x-\sqrt{2}=0$

 

a) En remarquant que $\dfrac{\pi}{4}=2\times\dfrac{\pi}{8}$, déterminer la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{8}$ et $\sin\dfrac{\pi}{8}$

 

b) En déduire la résolution de $(E)$ dans $[0\;;\ \pi]$

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1+\cos3x}{\cos^{3}x}$

 

On note par $(Cf)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$

 

1) Déterminer le domaine de définition $Df$ de $f$ puis justifier le choix de l'intervalle

 

$D_{E}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\bigcup\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]$ comme intervalle d'étude.

 

2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{E}$ en déduire une équation de l'asymptote verticale.

 

3) Montrer $f$ est dérivable sur $D_{E}$ et $\forall\;x\in\;D_{E}\;,\ f'(x)=\dfrac{3\sin\;x(-2\cos\;x)}{\cos^{4}x}$

 

4) Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation sur $D_{E}$

 

5) Construire $(Cf)$ sur $[-\pi\;;\ \pi]$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

 

1) Montrer que $f$ admet une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la forme $F(x)=\dfrac{ax+b}{x^{2}+x+1}$ où $a$ et $b$ sont des réels à déterminer.

 

2) En déduire la primitive $G$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en 0.

Soit $h$ la fonction définie par :

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} h(x) &=& \dfrac{x^{2}}{x^{2}+x+1} &\text{si} &x<0 \\ \\ h(x) &=& \sqrt{\left|\dfrac{x^{2}(x-2)}{x-1}\right|} &\text{si} &x>0 \\ \\ h(0) &=& 0&  & \end{array}\right.$$

 

On note par $(Ch)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\vec{i}\ ,\ \vec{j})$

 

1) Déterminer le domaine de définition $Dh$ de $h$ puis calculer les limites de $h$ aux bornes de $Dh.$

 

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de $h$ en 0 et en 2; interpréter les résultats.

 

3) a) Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-\dfrac{1}{2}$ est asymptote oblique à $(Ch)$ en $+\infty$

 

b) Etudier la nature de la branche infinie en $-\infty$

 

5) Calculer $h'(x)$ sur chaque intervalle où $h$ est dérivable puis dresser le tableau de variation de $h.$

 

5) Construire $(Ch).$ On admet que $(Ch)$ et $\Delta$ se rencontrent au point d'abcisse $x=1.6$

 

6) Soit $k$ la restriction de $h$ sur l'intervalle $I=[2\;;\ +\infty[$

 

a) Montrer que $k$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser.

 

b) $k^{-1}$ la réciproque de $k$ est-elle dérivable en 0 ?

 

c) Construire $(Ck^{-1})$, la courbe de $k^{-1}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$