Devoir n° 55 - 1e S1
Classe:
Première
Exercice 1
Soit f la fonction définie par f(x)=sin2x+2sinx On désigne par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i , →j
1) Déterminer Df puis justifier le choix de l'intervalle [0; π] comme l'intervalle d'étude.
2) Montrer que f est dérivable sur [0; π] et ∀x∈[0; π], f′(x)=4(cosx−12)(cosx+1)
3) Dresser le tableau de variation de f sur[0; π]
4) Construire (Cf) sur [−2π; 2π] (On précisera les tangentes horizontales)
Exercice 2
1) Soient α, β et γ trois réels tels que :
α+β+γ=π et α≠π2+kπ , β≠π2+kπ ,γ≠π2+kπ,k∈Z
Montrer que tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
2) Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes :
a) 4sin2x+2(1−√3)cosx−4+√3>0, I=[0; 2π]
b) |cos2x|=12, I=]−π; π] (on représentera les images des solutions sur un cercle
trigonométrique)
3) Soit ABC un triangle quelconque. On suppose que sin2ˆA+sin2ˆB+sin2ˆC≠0
Soit O le barycentre du système {(A, sin2ˆA);(B, sin2ˆB); (C, sin2ˆC)}
Montrer alors que O est aussi le barycentre du système :
{(A, tanˆB+tanˆC); (B, tanˆA+tanˆC); (C, tanˆA+tanˆB)}
Exercice 3
Soit ABCDE un pentagone régulier inscrit dans un cercle trigonométrique.
1) En utilisant la relation →OA+→OB+→OC+→OD+→OE=→O,
montrer que :
a) 1+2(cos2π5+cos4π5)=0
b) 1+4cos2π5cos4π5=0
2) En déduire les valeurs exactes de cos2π5 et cos4π5
Exercice 4
Soient (C) et (C′) deux cercles tangents extérieurement en un point I.
Une droite passant par I recoupe (C) en A et (C′) en B. Une autre droite passant par I recoupe (C) en C et (C′) en D.
Montrer que les droites (AC) et (DB) sont parallèles.
Exercice 5
Soient ABC un triangle et (C) le cercle circonscrit au triangle ABC. Soit M un point quelconque de (C)
On désigne par I, J et K les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AB), (AC) et (BC).
Montrer que les points I, J et K sont alignés.
NB : La droite contenant I, J et K est appelée la droite de Simson du point M.
Exercice 6
Soient (C) et (C′) deux cercles sécants en S et M.
Une droite passant par S recoupe (C) en B et (C′) en C.
Une autre droite passant par S recoupe (C) en P et (C′) en N.
Les droites (NC) et (BP) se coupent en un point A.
Montrer que les points M, A, B et C sont cocycliques.
Auteur:
Babacar Djité
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