Devoir n° 27 1er S1 S2

 

Soient les fonctions $f\;,\ g\;,\ h\text{ et }k$ définies par :

 

$f(x)=x^{2}\left(\cos\dfrac{1}{x}-2\right)$ ;

 

$g(x)=\dfrac{x^{2}-x\sin x}{x+\sin x}$ ;

 

$h(x)=\dfrac{1-\sqrt{2}\cos x}{1-\sqrt{2}\sin x}$

 

et $k(x)=\dfrac{\tan x-1}{2\cos x-\sqrt{2}}.$

 

Calculer les limites :

 

a) de $f\text{ en }+\infty\text{ et en }0.$ 

 

b) de $g\text{ en }+\infty$ et en 0. 

 

c) de $h\text{ et }k\text{ en }\dfrac{\pi}{4}\left(\text{on posera }x=u+\dfrac{\pi}{4}\right).$

1) La fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\sqrt{1-x}}{x}$ a-t-elle un prolongement par continuité en 0 ? Si oui, définir celui-ci.

 

2) Calculer les limites de ce prolongement par continuité aux bornes de son ensemble de définition.

Soit les fonctions $A\text{ et }B$ définies par :

 

$A(x)=(x-1)\left(1+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^{2}}\right)$ et

 

$B(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}-\dfrac{ax}{(x^{2}-1)^{2}}(a\in\mathbb{R}).$

 

1) Calculer les limites de $A(x)$ lorsque $x$ tend vers 1, puis lorsque $x$ tend vers $-\infty.$

 

2) Calculer les limites de $B(x)\text{ en }+\infty$ et en 1 (on distinguera les cas : $a<4\;;\ a=4\;;\ a>4).$

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sqrt{x^{2}+2x-3}-(x-1).$

 

1) Calculer les limites de $f\text{ en }-\infty\text{ et en }+\infty.$

 

2) Calculer les limites suivantes : 

 

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)}{x-1}\;;\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x-1}$

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 

 

$f(x)=|x^{2}+x+1|-|x-1|.$

 

1) Montrer que $f=v\circ (h-v\circ g)\text{ avec }v\ :\ x\mapsto |x|\;;\ g\ :\ x\mapsto x-1\;;\ h\ :\ x\mapsto x^{2}+x+1$

 

2) En utilisant les théorèmes généraux sur les fonctions continues, montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}.$

 

3) Calculer, si elles existent , les limites suivantes :

 

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}\;;\ \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}\;;\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

                                                                                         Durée 3h