Devoir n° 24 1e S1

 

Soit $ABC$ un triangle quelconque et $A\;,\ B\;,\ C$ les trois angles intérieurs de celui-ci.

 

Montrer qu'on a toujours : 

 

$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$

Soit $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ un repère orthonormal. 

 

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(4\;,\ -1)$ et de rayon $\sqrt{5}$ et le point $A(9\;,\ 4).$

 

1) Vérifier que $A$ est extérieur au cercle $\mathcal{C}.$

 

2) Déterminer les équations des tangentes à $\mathcal{C}$ issues de $A.$

Résoudre :

 

a) Dans $\mathbb{R}$ : $\sin x+\cos x=\dfrac{1}{2\sin x}$

 

b) Dans $[-\pi\;;\ \pi]$ : $\cos x+\cos 2x+\cos 3x\leq 0.$

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ de rayon $R$ ; on considère un point $F$ intérieur au cercle, et deux droites $\Delta\text{ et }\Delta'$ sécantes en $F$ et orthogonales.

 

$\Delta\text{ coupe }\mathcal{C}\text{ en }A\text{ et }\mathcal{C}\text{ et }\Delta'$ coupe $\mathcal{C}\text{ en }B\text{ et }D.$(Faire une figure).

 

On désigne par $M\text{ et }N$ les milieux respectifs de $[AC]\text{ et }[BD].$

 

I. Calcul de $AB^{2}+CD^{2}\text{ et }AD^{2}+CD^{2}$

 

1) On désigne par $G$ l'isobarycentre de $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D.$

 

a) Montrer que $G$ est le milieu de $[MN].$

 

b) Démontrer que le quadrilatère $OMFN$ est un rectangle ;

 

En déduire que $G$ est le milieu de $[OF]$

 

2) Démontrer que $\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{FB}=OF^{2}-R^{2}.$

 

On pourra faire intervenir les points $A'\text{ et }B'$ diamétralement opposés à $A\text{ et }B.$

 

3) Démontrer que : $FA^{2}+FB^{2}+FC^{2}+FD^{2}=4R^{2}.$

 

En déduire que $AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+CB^{2}=4R^{2}.$

 

4) On fait pivoter les droites $\Delta\text{ et }\Delta'$ autour de $F$ de façon à ce qu'elles restent orthogonales. 

 

Ces droites permettent de définir les points $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ ainsi que leur isobarycentre $G.$

 

Que peut-on dire du point $G$, de la quantité $FA^{2}+FB^{2}+FC^{2}+FD^{2}$ , ainsi que de $AB^{2}+CD^{2}\text{ et de }AD^{2}+CB^{2}$ ?

 

II. Points cocycliques

 

On désigne par $I\;,\ J\;,\ K\text{ et }L$ les milieux respectifs des segments $[AB]\;,\ [CD]\;,\ [BC]\;,\ [DA].$

 

On appelle $P\;,\ Q\;,\ S\text{ et }T$ les projetés orthogonaux de $F$ sur ces cordes.

 

1) Démontrer que $IJKL$ est un rectangle de centre $G.$ On appelle $\Gamma$ son cercle circonscrit..

 

2) Montrer (en utilisant I. 2) que $\overrightarrow{FI}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ ; en déduire que $Q$ appartient à $\Gamma.$

 

3) Montrer que $\Gamma$ contient les points $P\;,\ S\text{ et }T.$

 

4) On veut à présent calculer le rayon $r\text{ de }\Gamma$ en fonction de $\mathbb{R}\text{ et de }OF.$

Démontrer, en utilisant la formule de la médiane , que : $r^{2}=GI^{2}=\dfrac{1}{2}\left[R^{2}-\dfrac{1}{2}OF^{2}\right].$    

                                                                                 Durée 4h