Devoir n° 20 - 1e S2

 

On considère le polynôme $P(x)=2x^{3}-x^{2}-x-3.$

 

1) Vérifier que $\dfrac{3}{2}$ est une racine de $P(x).$

 

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0.$

 

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac{2x^{3}-x^{2}-x-3}{-x^{2}+3x-2}<0$

1) Discuter suivant les valeurs du paramètre $m$ l'existence et le signe des racines des équations suivantes :

 

a) $(m^{2}-4)x^{2}-2(m+2)x+2=0\quad$ b) $(m-3)x^{2}+(2m-1)x+m+1=0$

 

2) Résoudre et discuter l'inéquation suivante : $$mx^{2}-(2m+1)x+2<0$$

1) Soit $P(x)=x^{3}-7x+6.$

 

Trouver une racine évidente de $P(x)$, puis factoriser $P(x)$ en produit de polynômes du premier degré.

 

2) On considère l'équation $(E)$ suivante : $$(E)\ :\ 8x^{3}+12x^{2}-50x+21=0$$

a) On pose $x=y+h.$ en remplaçant $x$ par $y+h$ dans l'équation $(E)$, on obtient une nouvelle équation $(E')$ d'inconnue $y.$

 

Quelle valeur faut-il donner à $h$ dans l'équation $(E')$ pour que le coefficient de $y^{2}$ soit nul ?

 

b) $h$ ayant la valeur trouvée en a) , résoudre alors l'équation $(E')$, puis l'équation $(E).$

 

Indication : Utiliser la question 1).

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations ou inéquations suivantes :

 

a) $4x^{2}+8x+\dfrac{8}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}-37=0$

 

(On pourra poser $X=x+\dfrac{1}{x}$ et exprimer $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ en fonction de $X)$

 

b) $\sqrt{-x+1}+\sqrt{x+3}=2$

 

c) $\sqrt{-x^{2}+3x+2}\geq x-1$

 

d) $\sqrt{2x^{2}+5x-7}<-x+3$

 

$$\text{Durée : 2 h}$$