Devoir n° 19 - 2nd s

 

On donne un triangle $ABC.$ Pour tout point $M$ du plan, on pose $$\overrightarrow{f(M)}=2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$$

 

1) $N$ désignant un point quelconque du plan, prouver que : $\overrightarrow{f(M)}=\overrightarrow{f(N)}.$

 

2) Construire $G_{1}$ barycentre de $\{(B\;,\ -3)(C\;,\ 1)\}.$ 

 

Montrer que : $\overrightarrow{f(M)}=2\overrightarrow{G_{1}A}.$

 

3) Construire $G_{2}$ barycentre de $\{(A\;,\ 2)(C\;,\ 1)\}.$ 

 

Montrer que : $\overrightarrow{f(M)}=3\overrightarrow{BG_{2}}.$

 

4) On désigne par $G_{3}$ le barycentre de $\{(B\;,\ -3)(A\;,\ 2)\}.$

 

Montrer que les droites $(AG_{1})\;,\ (BG_{2})\;,\ (CG_{3})$ sont parallèles. En déduire une construction de $G_{3}.$

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

 

a) $(m-3)x^{2}+3x+11=0.$ (on discutera suivant les valeurs de $m).$

 

b) $x^{4}-3x^{2}-4=0$

 

c) $\left(\dfrac{3x-2}{x-1}\right)^{2}-3\left(\dfrac{3x-2}{x-1}\right)-4=0$

 

d) $\dfrac{(2x^{2}+3x-5)(1-4x^{2})}{-x^{2}+5x-6}\leq 0$

 

2) a) Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&5 \\ xy&=&2\end{array}\right.$

 

b) En déduire les solutions du système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} (x-1)^{2}+(y-2)^{2}&=&5 \\ (x-1)(y-2)&=&2\end{array}\right.$ 

1) Soient, dans le plan muni d'un repère orthonormé, les points $K(-8\;,\ 9)$ et $L(7\;,\ -2).$

 

a) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $K$ et perpendiculaire à la droite $(KL).$

 

b) Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de $[KL].$

 

2) $ABCD$ est un parallélogramme . On considère le repère $(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}).$

 

Soit $E$ le point tel que $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

 

a) Déterminer les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E.$

 

b) Déterminer une équation des droites : $(DB)\;,\ (AC)$ et $(DE).$

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$