Devoir n° 17 - 1e S1

 

Soit $ABC$ un triangle quelconque et $G$ son centre de gravité.

 

On pose $a=BC\;,\ b=AC$ et $c=AB.$

 

1) a) Calculer en fonction de $a\;,\ b\;,\ c\;$, le produit scalaire $\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}.$

 

b) En déduire les produits scalaires $\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$ et $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}.$

 

c) Montrer que les deux médianes issues de $B$ et $C$ sont perpendiculaires si, et seulement

si, $$b^{2}+c^{2}=5a^{2}$$

2) A tout point $M$ du plan, on associe le nombre $$f(M)=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$$

a) Calculer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $a\;,\ b\;,\ c.$

 

b) En déduire l'ensemble des points $M$ tes que $f(M)=0.$

Soit $ABC$ un triangle quelconque. On désigne par $H$ son orthocentre, $G$ son centre de gravité, $A'\;,\ B'\;,\ C'$ les milieux respectifs des côtés $[BC]\;,\ [CA]_;,\ [AB]$

 

$A''\;,\ B''\;,\ C''\;$, les milieux des segments $[HA]\;,\ [HB]\;,\ [HC]$ et enfin $A_{1}\;,\ B_{1}\;,\ C_{1}\;$, les pieds des hauteurs issues de $A\;,\ B$ et $C.$

 

1) Démontrer que les segments $[A'A'']\;,\ [B'B'']\;,\ [C'C'']$ sont de même longueur et concourent en un point $\Omega$ qui est le milieu de chacun d'eux.

 

2) En déduire, d'une part , que les six points $A'\;,\ B'\;,\ C'\;,\ A''\;,\ B''\;,\ C''\;$, appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre, d'autre part, que les trois points $A_{1}\;,\ B_{1}\;,\ C_{1}$ appartiennent aussi à ce même cercle.

 

3) Démontrer que les trois points $H\;,\ \Omega$ et $G$ sont alignés et que l'on a : $$\overrightarrow{H\Omega}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{HG}$$

$ABC$ est un triangle rectangle en $C.\;\ m$ est un réel différent de $-2.$

 

On considère l'application $\varphi$ définie par : $$\varphi(M)=MA^{2}+MB^{2}+mMC^{2}$$

1) Soit $G$ le barycentre de $\{(A\;,\ 1)(B\;,\ 1)(C\;,\ m)\}.$

 

Montrer que , pour tout point $M$ du plan, on a : $$ \varphi(M)=(2+m)MG^{2}+\varphi(G)$$

2) Calculer $\varphi(A)+\varphi(B)+m\varphi(C)$ en fonction de $\varphi(G).$

 

En déduire que : $$\varphi(G)=\dfrac{(1+m)AB^{2}}{2+m}$$ 

3) Déterminer l'ensemble $(E_{m})$ des points $M$ tels que : $$\varphi(M)=AB^{2}$$

4) Montrer que le point $C$ est élément de $(E_{m})$ pour tout réel $m$ différent de $-2.$

 

En déduire une construction de l'ensemble $(E_{-3})$ correspondant à $m=-3.$

$MAB$ est un triangle ; $R$ un rayon du cercle circonscrit à $MAB.$

 

1) Montrer que si $m=MH$ est la distance de $M$ à la droite $(AB)\;$, alors $2Rm=AM\times BM.$

 

2) Soit un quadrilatère $ABCD$ inscrit dans un cercle $\mathcal{C}.$

 

Montrer que pour tout point $M$ de $\mathcal{C}\;$, si on désigne par : $m_{1}$ la distance de $M$ à $(AB)\;,\ m_{2}$ la distance de $M$ à $(BC)\;,\ m_{3}$ la distance de $M$ à $(CD)\;,\ m_{4}$ la distance de $M$ à $(DA)\;$, on a : $$m_{1}m_{3}=m_{2}m_{4}$$