Devoir n° 17 - 1e S1
Classe:
Première
Exercice 1
Soit ABC un triangle quelconque et G son centre de gravité.
On pose a=BC, b=AC et c=AB.
1) a) Calculer en fonction de a, b, c, le produit scalaire →GB.→GC.
b) En déduire les produits scalaires →GC.→GA et →GA.→GB.
c) Montrer que les deux médianes issues de B et C sont perpendiculaires si, et seulement
si, b2+c2=5a2
2) A tout point M du plan, on associe le nombre f(M)=→MB.→MC+→MC.→MA+→MA.→MB
a) Calculer f(M) en fonction de MG et a, b, c.
b) En déduire l'ensemble des points M tes que f(M)=0.
Exercice 2
Soit ABC un triangle quelconque. On désigne par H son orthocentre, G son centre de gravité, A′, B′, C′ les milieux respectifs des côtés [BC], [CA];, [AB]
A″, B″, C″, les milieux des segments [HA], [HB], [HC] et enfin A1, B1, C1, les pieds des hauteurs issues de A, B et C.
1) Démontrer que les segments [A′A″], [B′B″], [C′C″] sont de même longueur et concourent en un point Ω qui est le milieu de chacun d'eux.
2) En déduire, d'une part , que les six points A′, B′, C′, A″, B″, C″, appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre, d'autre part, que les trois points A1, B1, C1 appartiennent aussi à ce même cercle.
3) Démontrer que les trois points H, Ω et G sont alignés et que l'on a : →HΩ=34→HG
Exercice 3
ABC est un triangle rectangle en C. m est un réel différent de −2.
On considère l'application φ définie par : φ(M)=MA2+MB2+mMC2
1) Soit G le barycentre de {(A, 1)(B, 1)(C, m)}.
Montrer que , pour tout point M du plan, on a : φ(M)=(2+m)MG2+φ(G)
2) Calculer φ(A)+φ(B)+mφ(C) en fonction de φ(G).
En déduire que : φ(G)=(1+m)AB22+m
3) Déterminer l'ensemble (Em) des points M tels que : φ(M)=AB2
4) Montrer que le point C est élément de (Em) pour tout réel m différent de −2.
En déduire une construction de l'ensemble (E−3) correspondant à m=−3.
Exercice 4
MAB est un triangle ; R un rayon du cercle circonscrit à MAB.
1) Montrer que si m=MH est la distance de M à la droite (AB), alors 2Rm=AM×BM.
2) Soit un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle C.
Montrer que pour tout point M de C, si on désigne par : m1 la distance de M à (AB), m2 la distance de M à (BC), m3 la distance de M à (CD), m4 la distance de M à (DA), on a : m1m3=m2m4
Auteur:
Mouhamadou Ka
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