Devoir n° 17 - 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soit ABC un triangle quelconque et G son centre de gravité.
 
On pose a=BC, b=AC et c=AB.
 
1) a) Calculer en fonction de a, b, c, le produit scalaire GB.GC.
 
b) En déduire les produits scalaires GC.GA et GA.GB.
 
c) Montrer que les deux médianes issues de B et C sont perpendiculaires si, et seulement
si, b2+c2=5a2
2) A tout point M du plan, on associe le nombre f(M)=MB.MC+MC.MA+MA.MB
a) Calculer f(M) en fonction de MG et a, b, c.
 
b) En déduire l'ensemble des points M tes que f(M)=0.

Exercice 2 

Soit ABC un triangle quelconque. On désigne par H son orthocentre, G son centre de gravité, A, B, C les milieux respectifs des côtés [BC], [CA];, [AB]
 
A, B, C, les milieux des segments [HA], [HB], [HC] et enfin A1, B1, C1, les pieds des hauteurs issues de A, B et C.
 
1) Démontrer que les segments [AA], [BB], [CC] sont de même longueur et concourent en un point Ω qui est le milieu de chacun d'eux.
 
2) En déduire, d'une part , que les six points A, B, C, A, B, C, appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre, d'autre part, que les trois points A1, B1, C1 appartiennent aussi à ce même cercle.
 
3) Démontrer que les trois points H, Ω et G sont alignés et que l'on a : HΩ=34HG

Exercice 3 

ABC est un triangle rectangle en C. m est un réel différent de 2.
 
On considère l'application φ définie par : φ(M)=MA2+MB2+mMC2
1) Soit G le barycentre de {(A, 1)(B, 1)(C, m)}.
 
Montrer que , pour tout point M du plan, on a : φ(M)=(2+m)MG2+φ(G)
2) Calculer φ(A)+φ(B)+mφ(C) en fonction de φ(G).
 
En déduire que : φ(G)=(1+m)AB22+m 
3) Déterminer l'ensemble (Em) des points M tels que : φ(M)=AB2
4) Montrer que le point C est élément de (Em) pour tout réel m différent de 2.
 
En déduire une construction de l'ensemble (E3) correspondant à m=3.

Exercice 4

MAB est un triangle ; R un rayon du cercle circonscrit à MAB.
 
1) Montrer que si m=MH est la distance de M à la droite (AB), alors 2Rm=AM×BM.
 
2) Soit un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle C.
 
Montrer que pour tout point M de C, si on désigne par : m1 la distance de M à (AB), m2 la distance de M à (BC), m3 la distance de M à (CD), m4 la distance de M à (DA), on a : m1m3=m2m4
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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