Devoir n° 11 - 1e S1

Classe: 
Première

Exercice 1 

A. Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la fonction $f$ en 0 ($E$ désigne la fonction partie entière)
 
1) $f(x)=xE\left(\dfrac{1}{x}\right)$
 
2) $f(x)=\dfrac{xE(x)-x}{|x|}$
 
B. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{E(\sqrt{x})}{x}\;$, où $E$ désigne la fonction partie entière.
 
1) Démontrer que : $\forall\;x\in\;]0\;;\ 1[\;,\ f(x)=0.$
 
En déduire la limite de $f$ en 0.
 
2) Démontrer que : $\forall\;x\in\;]0_;;\ +\infty[\;,\ 0\leq f(x)\leq\dfrac{1}{\sqrt{x}}.$
 
En déduire la limite de $f$ en $+\infty.$

Exercice 2 

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{x}{2-\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}.$
 
1) a) Démontrer que : $\forall\;x\in\;]0_;;\ +\infty[\;,\ \dfrac{x}{3}\leq f(x)\leq x$
 
b) Démontrer que : $\forall\;x\in\;]-\infty\;;\ 0[\;,\ x\leq f(x)\leq\dfrac{x}{3}$
 
2) En déduire les limites de $f$ en $+\infty\;,\ -\infty$ et 0.
 
3) Soit $g\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+|x|}{x^{2}-|x|}.$ 
 
Déterminer $D_{g}.$ Peut-on prolonger $g$ par continuité en 0 ? Si oui, définir la fonction $h$ qui prolonge $g$ par continuité en 0.
 
(N.B. la question 3) est indépendante des questions 1) et 2)).

Exercice 3 

On considère la fonction numérique de la variable réelle définie par : $$f(x)=\dfrac{1}{x+\sqrt{|x^{2}-2x|}}$$
1) Déterminer le domaine de définition de $f.$
 
2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
 
En déduire que la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal admet des asymptotes dont on déterminera les équations.
 
3) Étudier la dérivabilité de $f$ en 2. En déduire la tangente en ce point.
 
4) Calculer la dérivée de $f$ suivant des intervalles convenablement choisis.

Exercice 4 

On considère la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $$f_{m}(x)=\dfrac{2mx-1}{mx-1}\;,\quad(m\in\mathbb{R})$$
On désigne par $(\mathcal{C}_{m})$ la courbe représentative de la fonction : $f_{m}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.
 
1) Montrer que toutes les courbes $(\mathcal{C}_{m})$ passent par un point fixe.
 
2) Discuter, suivant les valeurs de $m\;$, le sens de variation de $f_{m}.$
 
3) Quelles sont les asymptotes à $(\mathcal{C}_{m})$ ?
 
4) Déterminer l'équation de la tangente à $(\mathcal{C}_{m})$ au point d'abscisse $x=0.$
 
5) Quelle relation doit lier $m$ et $m'$ pour que $(\mathcal{C}_{m})$ et $(\mathcal{C}_{m'})$ aient des tangentes perpendiculaires au point d'abscisse 0 ?
 
 
$$\text{Durée : 4 h}$$
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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