Devoir math n°9 - 2nd

 

 

Exercice 1

 

$1+\dfrac{1+\pi}{1+\dfrac{1}{\pi}}\div=1\dfrac{1-\pi}{1\dfrac{1}{\pi}-\dfrac{1}{\pi}}$

 

2. Montre que $-1+\dfrac{x}{x-y}\div 1+\dfrac{y}{x-y}=\dfrac{y}{x}$

 

3. Soit $n$ un entier naturel non nul, montre que $\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\prec\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\prec\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)$

 

4. Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres réel tels $a+b+c=0.$

 

Montre que $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc.$

 

5. Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels. 

 

Montre que $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)\geq(ac+bd)^{2}$

 

6. Soit $a$, $b$ et $c$ les longueurs des côtés d'un triangle.

 

Prouve que  $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\prec 2$

 

Exercice 2

 

1. Montre que $\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}-1=\dfrac{-a^{2}}{\sqrt{1+a^{2}}+1+a}$

 

2.a. Montre que $\sqrt{1+a^{2}}+1+a^{2}\geq2$

 

b. En déduire que $\left|\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}-1\right|\leq\dfrac{1}{2}a^{2}$

 

c. Déterminer une approximation du nombre $\dfrac{1}{\sqrt{1.0004}}$ à $2\times 10^{14}\text{prés}$

 

3. Soit $a$ une valeur approchée par défaut de $\dfrac{1}{3}$ à $2\times 10^{-1}\text{près}.$

 

Montrer que $\dfrac{2}{15}\prec a\prec\dfrac{1}{3}$

 

4. Soit $x$ un nombre réel tel que $\left|\dfrac{x-1}{a}\right|\prec\dfrac{1}{10}.$

 

Montre que $\dfrac{29}{30}\prec x\prec\dfrac{31}{30}$

 

Exercice 3

 

Soit $ABC$ un triangle, $K$ et $J$ les points définis par : $\overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}\overrightarrow{AC}.$

 

On note $I$ et $D$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[KJ]$

 

1. Faire la figure.

 

2.a. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

 

b. En déduire que les points $A$, $D$ et $I$ sont alignés.

 

3.a. Soit $K'$ et $J'$ les points définis par $\overrightarrow{AK'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AJ'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et $E$ est le point d'intersection des droites $(AI)$ et $(JK)$

 

b. Démonter que $E$ est le milieu de $[K'J']$

 

Exercice 4

 

Soit $ABCD$ un parallélogramme, $E$ et $G$ les points tels que $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}.$

 

La parallèle à $(AD)$ passant par $E$ coupe $(CD)$ en $F.$

 

La parallèle à $(AB)$ passant par $G$ coupe $(BC)$ en $H.$

 

1. Faire la figure.

 

2. Montrer que $\overrightarrow{GF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EH}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}$

 

3. Montrer que droites $(GF)$, $(EH)$ et $(AC)$ sont parallèle.