Devoir math n°9 - 2nd
Exercice 1
1+1+π1+1π÷=11−π11π−1π
2. Montre que −1+xx−y÷1+yx−y=yx
3. Soit n un entier naturel non nul, montre que (√n+1−√n)≺12√n≺(√n−√n−1)
4. Soit a, b et c trois nombres réel tels a+b+c=0.
Montre que a3+b3+c3=3abc.
5. Soit a, b, c et d des réels.
Montre que (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
6. Soit a, b et c les longueurs des côtés d'un triangle.
Prouve que ab+c+bc+a+ca+b≺2
Exercice 2
1. Montre que 1√1+a2−1=−a2√1+a2+1+a
2.a. Montre que √1+a2+1+a2≥2
b. En déduire que |1√1+a2−1|≤12a2
c. Déterminer une approximation du nombre 1√1.0004 à 2×1014prés
3. Soit a une valeur approchée par défaut de 13 à 2×10−1près.
Montrer que 215≺a≺13
4. Soit x un nombre réel tel que |x−1a|≺110.
Montre que 2930≺x≺3130
Exercice 3
Soit ABC un triangle, K et J les points définis par : →AK=23→AB et →AJ→AC.
On note I et D les milieux respectifs de [BC] et [KJ]
1. Faire la figure.
2.a. Exprimer les vecteurs →AD et →AI en fonction de →AB et →AC
b. En déduire que les points A, D et I sont alignés.
3.a. Soit K′ et J′ les points définis par →AK′=13→AB, →AJ′=23→AC et E est le point d'intersection des droites (AI) et (JK)
b. Démonter que E est le milieu de [K′J′]
Exercice 4
Soit ABCD un parallélogramme, E et G les points tels que →AE=14→AB et →AG=34→AD.
La parallèle à (AD) passant par E coupe (CD) en F.
La parallèle à (AB) passant par G coupe (BC) en H.
1. Faire la figure.
2. Montrer que →GF=14→AB+→AD et →EH=34→AB+34→AD
3. Montrer que droites (GF), (EH) et (AC) sont parallèle.
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