Devoir math n°9 - 2nd

 
 
Exercice 1
 
1+1+π1+1π÷=11π11π1π
 
2. Montre que 1+xxy÷1+yxy=yx
 
3. Soit n un entier naturel non nul, montre que (n+1n)12n(nn1)
 
4. Soit a, b et c trois nombres réel tels a+b+c=0.
 
Montre que a3+b3+c3=3abc.
 
5. Soit a, b, c et d des réels. 
 
Montre que (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2
 
6. Soit a, b et c les longueurs des côtés d'un triangle.
 
Prouve que  ab+c+bc+a+ca+b2
 
Exercice 2
 
1. Montre que 11+a21=a21+a2+1+a
 
2.a. Montre que 1+a2+1+a22
 
b. En déduire que |11+a21|12a2
 
c. Déterminer une approximation du nombre 11.0004 à 2×1014prés
 
3. Soit a une valeur approchée par défaut de 13 à 2×101près.
 
Montrer que 215a13
 
4. Soit x un nombre réel tel que |x1a|110.
 
Montre que 2930x3130
 
Exercice 3
 
Soit ABC un triangle, K et J les points définis par : AK=23AB et AJAC.
 
On note I et D les milieux respectifs de [BC] et [KJ]
 
1. Faire la figure.
 
2.a. Exprimer les vecteurs AD et AI en fonction de AB et AC
 
b. En déduire que les points A, D et I sont alignés.
 
3.a. Soit K et J les points définis par AK=13AB, AJ=23AC et E est le point d'intersection des droites (AI) et (JK)
 
b. Démonter que E est le milieu de [KJ]
 
Exercice 4
 
Soit ABCD un parallélogramme, E et G les points tels que AE=14AB et AG=34AD.
 
La parallèle à (AD) passant par E coupe (CD) en F.
 
La parallèle à (AB) passant par G coupe (BC) en H.
 
1. Faire la figure.
 
2. Montrer que GF=14AB+AD et EH=34AB+34AD
 
3. Montrer que droites (GF), (EH) et (AC) sont parallèle.
 

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