Devoir math n°8 - 2nd
Exercice 1
I. Réponds par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes (mettre sur la copie V ou F devant le numéro de chaque affirmation) :
1. Si A, B et C sont trois points distincts du plan et O le milieu de segment [AB], alors on a →AB+→AC=2→OA.
2. Si →U=k→V, k∈R alors la longueur du vecteur →U est égale à k fois celle de →V.
3. Les racines x′ et x" du trinôme x2−5x+7 vérifient x′+x"=5 et x′\timesx"=7.
4. L'ordre de grandeur du réel x=−4892456 est égale à −5⋅105.
II: 1. Soient I et J deux intervalles définis par : I=x,x∈R/|x+3|≤2 et J=]−7 ; −2[
Déterminer I∩J et I\cupJ.
2. Détermine le centre et le rayon de l'intervalle K=]−152 ; 72]
3. Soit L l'intervalle défini par L=]−52 ; 192].
Écris L en fonction de valeur absolue.
4. Résous dans R l'inéquation suivante : 13<|3x−5|≤3
III. Soient x et Y deux nombres réels strictement positifs, tels que x<y
On pose a=x+y2, g=√x×y et h=2x×yx+y
Démontre les inéquations c-dessous en utilisant l'inégalité
1. x<h
2. a<y
3. g<a
Exercice 2
Soit un triangle ABC tel que AB=5cm, BC=7cm et CA=9cm
1. Construis K le barycentre de (A, 2) et (B, 1)
2. Construis I le barycentre de (B, 2) et (C, 5)
3. Construis J le barycentre de $$(C\;,\ 5)$ et $(A\;,\ 4)$
4. Que remarque-t-on sur les droites (CK), (AI) et (BJ)?
5. Soit G le point défini par : 4→GA+2→GB+5→GC=→O
a. Construis le point G.
b. Prouves que 4→GA+2→GA+2→GB=6→GK.
c. Déduis-en que G appartient à la droite (CK).
d. Justifie alors la remarque de la question 4.
Exercice 3
I. Soit ABC un triangle équilatéral de côté 4cm.
Soit D le point tel que :
3→DA−→AB+2→AC=→o.
1. Montre que D=bar =(A, 2) ; (B, −1) ; (c, 2)
2. soit I milieu de [AC] et G le centre de gravité du triangle ABC
a. Montre que D=\text{bar }(B\;,\ 1)\ ;\ (I\;,\ -4)}
b. Déduis-en que D est le symétrique e G par rapport à I
c. Déterminer et construis l'ensemble des points M du plan tel que:
|2→MA−→MB+2→MC|=15
II. Soient les pondérés (A, 3+m), (B, m) et (C, m) où m est un paramètre réel.
1. Déterminer les valeurs de m pour que le barycentre Gm des points existe.
2. Soit I le milieu de [BC] détermine la valeur de m pour que G soit le milieu de [AI]
III Soit ABC un triangle, G est le barycentre des points pondérés (A, −1) et (B, 2 et (C, 32).
Les points P, Q et R définis par :
→GP+4→GB=→O,
→GQ−2→GA=→O et
→GR−3→GC=→O
Démontre que le point G est centre de gravité du triangle PQR
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