Devoir math n°44 - 2nd S

 

1. On donne les expressions suivantes :

 

$A=\left[1+2\div\left(1-\dfrac{5}{a^{2}}\right)\right]\div\left[\dfrac{\sqrt{5}+a}{\sqrt{5}-a}+\dfrac{\sqrt{5}-a}{\sqrt{5}+a}\right]$ 

 

et $B=\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-1}}{b-\sqrt{b^{2}-1}}+\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-1}}{b+\sqrt{b^{2}-1}}$

 

a. Donner les conditions sur $a$ pour assurer l'existence de $A$, puis simplifier $A$

 

b. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $B$ existe, puis simplifier $B$

 

2. Simplifier les écritures suivantes :

 

$R=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(1-\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{8})^{2}}$ ; 

 

$Q=\dfrac{\left(3^{-2}\times 2^{3}\right)^{4}}{\left(3^{4}\times 2^{-3}\right)^{5}}\times\dfrac{\left(27\times 8^{-2}\right)^{4}}{\left[\left(3^{-1}\right)^{3}\times 2^{7}\right]^{-2}}$

1. Soient trois $a$, $b$ et $c$ de l'intervalle $]0\ ;\ 1].$

 

a. Démontrer que : $(ab-1)(bc-1)(ca-1)\leq 0$

 

b. En déduire que $a+b+c+\dfrac{1}{abc}\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+abc$

 

2. Soient $x$, $y$, $z$ et $t$ tels que : 

 

$0\leq x\leq y\leq z\leq t.$

 

Démontrer que : $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{t}+\dfrac{t}{x}\geq\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{t}{z}+\dfrac{x}{t}$ de deux façon différentes :

 

a. En utilisant les résultats de la question 1

 

b. En démontrant que : $(z-x)(t-y)(yt-xz)\geq 0$

Soit les réels $x$ et $y$ dont les valeurs approchées sont $1.5$ et $2.7$ avec les incertitudes $\varepsilon$ et $2\times 10^{-1}$

 

On note $\beta=\varepsilon+2\times 10^{-1}$

 

1. Déterminer des encadrements des réels $x+y$, $y-x$, $\dfrac{x+y}{y-x}$ et $\left(\dfrac{x+y}{y-x}-3.5\right)$ en fonction de $\beta$

 

Quel est le signe du réel $d$ tel que $d=\dfrac{4.5\beta}{1.2-\beta}-\dfrac{4.5\beta}{1.2+\beta}?$ ?

Soit $ABCD$ un parallélogramme et les points $I$ et $J$ milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CD].$

 

1. Démontrer que les droites $(ID)$ et $(JB)$ sont parallèles.

 

2. Construire les ponts $H$ et $N$ tels que : $\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

 

3. Exprimer $\overrightarrow{IH}$ et $\overrightarrow{ID}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

 

En déduire que $H$ appartient à la droite $(ID).$

 

4. Exprimer $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BN}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$

 

En déduire que $N$ appartient à la droite $(JB)$

 

5. Démontrer que $HINJ$ est un parallélogramme.

 

Soit $G$ le point du plan tel que $\overrightarrow{GD}-2\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{0}$

 

6. Démontrer que $B$ est le milieu du segment $[CE].$

 

7. Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

 

$||\overrightarrow{MD}-2\overrightarrow{MI}||=4$