Devoir math n°4 2nd

 

 

Exercice 1

 

Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes puis justifier celles qui sont fausses.

 

1. $\forall a\in\mathbb{R}$ et $b\geq 0$, $|x-a|>b\quad\leftrightarrow\quad x-a>b$

 

2. $\lambda\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\quad\leftrightarrow\quad\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

 

3. Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul, il n'existe que deux vecteurs unitaires colinéaires à $\overrightarrow{u}$ : ces deux vecteurs sont opposés.

 

4. $G$ est un point du plan tel que : $G=\text{bar }{(A\;,\ a)(B\;,\ \beta)(C\;,\ y)}\ ;\ \forall\quad a\;,\beta\;,y\in\mathbb{R}$, $G$ existe.

 

5. $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}\quad\forall a\in\mathbb{R}\quad\text{et }b>0$

 

Exercice 2 

 

Les questions $1\;,\2\;,\ 3\;,\ 4\text{et }5$ sont indépendantes.

 

1. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels vérifiant : $1<a<2$ et $-5<b<-4$

 

Donner un encadrement de $\dfrac{a+b}{a\times b}$

 

2. Écris plus simplement

 

$A=\dfrac{(-a)^{7}\left(b^{3}c^{2}\right)^{4}}{-b^{3}c(-a)^{4}}$ ; 

 

$B=\dfrac{1}{(a+b)^{2}}\left(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}\right)+\dfrac{2}{(a+b)^{3}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$

 

$C=\dfrac{4a-1}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{4b-1}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{4c-1}{(c-a(c-b)}$

 

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$

 

$|1-|x-1||=1$ ; 

 

$E(x)=\dfrac{2}{3}$ ;

 

$E(5-x)=-2$ ;

 

$|5x-2|\leq 2x-1$ ;

 

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} |4x-2|\geq1\\ 5<|5x-x| \end{array}\right.$

 

4. Soient $x$ et $y$ deux nombres strictement positifs, démontrer les inégalités suivantes :

$$\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\leq\sqrt{x\times y}\leq\dfrac{x+y}{2}$$

 

5. Soit $n$ un entier non nul :

 

a. Démontrer que : $1-\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n+1}{n}$

 

b. En déduire une expression simple du produit : $\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{19^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{20^{2}}\right)$

 

Exercice 3

 

$ABC$ est un triangle quelconque

 

1. Construire $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

 

2. Démontrer que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

 

3. Soit $S$ et $T$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[MN].$

 

Démontrer que $A$, $S$ et $T$ sont alignés

 

Exercice 4

 

Soit $DEF$ un triangle quelconque.

 

$M$ barycentre de ${(D\;,\ -1)(E\;,\ 3)}$ ; où $x$ est un réel.

 

$O$ le point défini par $\overrightarrow{EO}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{EF}$

 

1. Pour quelles valeurs de $x$, le barycentre $N$ existe.

 

2. Déterminer le réel $x$ pour que le point pondéré $(H\;, 4)$ soit le barycentre de $(M\;,\ 2)$ et $(F\;,\ x).$

 

3. Pour la suite on suppose que $x=2.$

 

Construire les points $M$, $N$, $O$, et $H$

 

4. Quel est le barycentre du système ${(E\;,\ 6)(F\;,\ 4)}$

 

5.a. Montrer que les droites $(DO)$, $(EN)$ et $(FM)$ sont concourantes en un point l'on déterminera

 

6. Déterminer l'ensemble des points du plan tels que $||-\overrightarrow{MD}+3\overrightarrow{ME}||=4$