Devoir math n°4 2nd

 
 
Exercice 1
 
Répondre par vrai ou faux aux assertions suivantes puis justifier celles qui sont fausses.
 
1. aR et b0, |xa|>bxa>b
 
2. λu=0u=0
 
3. Pour tout vecteur u non nul, il n'existe que deux vecteurs unitaires colinéaires à u : ces deux vecteurs sont opposés.
 
4. G est un point du plan tel que : G=bar (A, a)(B, β)(C, y) ; a,β,yR, G existe.
 
5. a2b=abaRet b>0
 
Exercice 2 
 
Les questions 1,\2, 3, 4et 5 sont indépendantes.
 
1. Soient a et b deux nombres réels vérifiant : 1<a<2 et 5<b<4
 
Donner un encadrement de a+ba×b
 
2. Écris plus simplement
 
A=(a)7(b3c2)4b3c(a)4
 
B=1(a+b)2(1a2+1b2)+2(a+b)3(1a+1b)
 
C=4a1(ab)(ac)+4b1(bc)(ba)+4c1(ca(cb)
 
3. Résoudre dans R
 
|1|x1||=1
 
E(x)=23 ;
 
E(5x)=2 ;
 
|5x2|2x1 ;
 
{|4x2|15<|5xx|
 
4. Soient x et y deux nombres strictement positifs, démontrer les inégalités suivantes :
21x+1yx×yx+y2
 
5. Soit n un entier non nul :
 
a. Démontrer que : 11n2=n1n×n+1n
 
b. En déduire une expression simple du produit : (1122)(1132)(1142)(11192)(11202)
 
Exercice 3
 
ABC est un triangle quelconque
 
1. Construire M et N tels que AM=23AB et AN=23AC
 
2. Démontrer que (MN) et (BC) sont parallèles.
 
3. Soit S et T les milieux respectifs de [BC] et [MN].
 
Démontrer que A, S et T sont alignés
 
Exercice 4
 
Soit DEF un triangle quelconque.
 
M barycentre de (D, 1)(E, 3) ; où x est un réel.
 
O le point défini par EO=25EF
 
1. Pour quelles valeurs de x, le barycentre N existe.
 
2. Déterminer le réel x pour que le point pondéré (H,4) soit le barycentre de (M, 2) et (F, x).
 
3. Pour la suite on suppose que x=2.
 
Construire les points M, N, O, et H
 
4. Quel est le barycentre du système (E, 6)(F, 4)
 
5.a. Montrer que les droites (DO), (EN) et (FM) sont concourantes en un point l'on déterminera
 
6. Déterminer l'ensemble des points du plan tels que ||MD+3ME||=4
 

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