Devoir math n°21 - 2nd

Exercice 1

 

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

 

L'élève indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse.

 

1. Si $ABCD$ est un quadrilatère inscriptible dans un cercle tel que 

 

$\overset{\displaystyle\frown}{DAB}=57^{\circ}$, alors :

 

a. $\overset{\displaystyle\frown}{DCB}=57^{\circ}$ ;

 

b. $\overset{\displaystyle\frown}{DCB}=123^{\circ}$ ; 

 

c. $\overset{\displaystyle\frown}{DCB}=33^{\circ}$

 

2. La mesure principale de $\dfrac{17\pi}{5}$ est égale à :

 

a. $\dfrac{-3\pi}{5}$ ;

 

b. $\dfrac{3\pi}{5}$ ;

 

c. $\dfrac{2\pi}{5}$ 

 

3. La mesure en degré d'un angle de mesure $1$ radian égale à :

 

a. $\dfrac{\pi}{180}$ ;

 

b. $\dfrac{180}{\pi}$

 

c. $1$

 

4. Si $\cos x=\dfrac{1}{2}$ et $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, alors dans $]-\pi\ ;\ \pi]\;,\ x$ est égale à :

 

a. $-\dfrac{\pi}{3}$

 

b. $\dfrac{2\pi}{3}$ ;

 

c. $\dfrac{\pi}{6}$

 

5. Soit un angle $\theta$ de mesure $\dfrac{7\pi}{5}$

 

a. $\cos(\theta)<0$ et $\sin(\theta)<0$ ;

 

b. $\cos(\theta)>0$ et $\sin(\theta)<0$ ;

 

c. $cos(\theta)<0$ et $\sin(\theta)>0$

 

Exercice 2

 

Soit cercle trigonométrique de centre $A$ d'origine $B$ et les points définis par les angles orientés en radians : $\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ ;

 

$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ ;

 

$\left(\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AE}\right)=\dfrac{-\pi}{6}$ ; 

 

$\left(\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AF}\right)=\dfrac{3\pi}{4}$

 

1. Convertir ces mesures en degrés

 

2. Construire les points $C$, $D$, $E$ et $F$ du cercle $\left(\mathcal{C}\right)$

 

3. Déterminer une mesure puis la mesure principale de chacun des angles orientés suivants:

 

$\left(\overrightarrow{AC}\;,\ \overrightarrow{AE}\right)$ ;

 

$\left(\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AF}\right)$

 

$\left(\overrightarrow{AF}\;,\ \overrightarrow{AC}\right)$ ;

 

$\left(\overrightarrow{AF}\;,\ \overrightarrow{AE}\right)$

 

4. Calculer la longueur des arcs $\overset{\displaystyle\frown}{CE}$ et $\overset{\displaystyle\frown}{DF}$

 

Exercice 3

 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations suivantes :

 

a. $x^{2}-\sqrt{3x}+3>0$ ; 

 

b. $x^{2}+|x|-6=0$ ;

 

c. $3x-5\sqrt{x}+2=0$ ;

 

d. $\left(sx^{2}-4x+1\right)\left(-5x^{2}+3x-2\right)\leq 0$

 

Exercice 4

 

Soit $m$ un paramètre réel.

 

On considère le trinôme $P(x)=(m-4)x^{2}-2(m-2)x+m-1$

 

1 . Déterminer si possible, les valeurs de $m$ pour que :

 

a. $-1$ soit racine de $P(x)$

 

b. $2$ soit racine de $P(x)$

 

c. Dans chacun des cas ci-dessus, déterminer l'autre racine.

 

2.a. Résoudre en discutant suivant les valeurs de $m$ l'équation $(m-4)x^{2}-2(m-2)x+m-1=0$

 

b. Dans le cas où $P(x)$ admet deux racine distinctes $x^{'}$ et $x^{"}$, trouver une relation indépendante de $m$ antre $x^{'}$ et $x^{"}$

 

3. Déterminer, si possible, les valeurs de $m$ pour lesquelles $P(x)$ admet deux racines distinctes $x^{'}$ et $x^{"}$ vérifiant les relations suivantes :

 

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'+x"&\leq& 1\\ x'x"&\geq& 0 \end{array}\right.$