Devoir math n°20 - 2nd

 

 

Exercice 1

 

On donne $f(x)=\left[\dfrac{x^{2}-x}{2}\right]^{2}$

 

1. Montre que pour réels $x$ et $y$ : $xy=\left[\dfrac{x+y}{2}\right]^{2}-\left[\dfrac{x-y}{2}\right]^{2}$

 

2. En déduire que pour tout réel $x$ : $x^{3}=\left[\dfrac{x^{2}+x}{2}\right]^{2}-\left[\dfrac{x^{2}+x}{2}\right]$

 

3. a. Déterminer $f(x+1)$ 

 

b. Montre que pour tout réel $x\ :\ f(x+1)-f(x)=x^{3}$

 

4. Soit on pose $S_{n}=1^{3}+3^{3}+3^{3}\cdot+n^{3}\text{ pour }n\geq 1$

 

a. Vérifier que $f(2)-f(1)=1^{3}$

 

b. Montre que $f(n+1)-f(n)=n^{3}$

 

c. En déduire l'expression de $S_{n}$ en fonction de $f(n+1)$ et de $f(1)$ puis en fonction de $n$

 

d. Calculer la somme $S_{100}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdot+100^{3}$

 

Exercice 2

 

On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)\ :\ 2x^{4}-9x^{3}+8x^{2}-9x+2=0.$

 

1. Montre que $0$ n'est pas solution de $(E)$

 

2. Montre que si $\alpha$ est solution de $(E)$ alors $\alpha\neq 0$ et $\dfrac{1}{\alpha}$ est aussi solution de $(E)$

 

3. Soit $x\neq 0$

 

a. Calculer $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}$

 

b. On pose $X=x+\dfrac{1}{x}$ exprimer $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ en fonction de $X$ 

 

c. Montrer que $\dfrac{p(x)}{x^{2}}=2x^{2}-9x+4$

 

d. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^{2}-9x+4=0$

 

e. En déduire les solutions de $(E)$ 

 

Exercice 3

 

I. $x$ est un nombre réel.

 

Utiliser les relations trigonométriques pour exprimer les relations suivantes en fonction de $\cos x$ et $\sin x$

 

a. $S=2\sin(4\pi-x)+\cos(x+\dfrac{\pi}{2})-\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)$

 

b. $R=\cos(5\pi+x)+\sin(5\pi-x)+\cos(7\pi-x)+\sin(7\pi+x)$

 

II. a. Démontrer que pour tout nombre réel $x\ :\ (\cos x+\sin x)^{2}=1+2\sin x\cos x$

 

b. Pour tous réel $a$, $b$ et $c$ montrer que : $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$

 

c. En déduire que pour tout réel $x\ :\ (1+\sin x+\cos x)^{2}=2(1+\sin x)(1+\cos x)$

 

Exercice 4

 

On donne $(\Phi)\ :\ \cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; 

 

$(\varepsilon)\ :\ 2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}$

 

1. On pose $a=x-\dfrac{\pi}{3}$

 

2. Dans chacune des égalités $(\Phi)$ et $(\varepsilon)$ déterminer $\alpha$ sachant que $\alpha\in\left]\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \pi\right[$

 

3. En déduire pour chaque cas le réel $x.$