Devoir math n°19 - 2nd

Exercice 1

 

On considère un triangle $ABC$, $I$ et $J$ des points définis par : $\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AB}$ et $G$ le symétrique de $B$ par rapport à $I.$

 

1. Construis les points $I$, $J$ et $G.$

 

2. a. Démontre que $\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GA}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}$

 

a. Déduis-en que $G=\text{bar }\{(A\;,\ 2)\}\ ;\ \{(B\;,\ -3)\}\ ;\ \{(C\;,\ 4)\}$

 

3.a. Vérifie que $J=\text{bar }\{(A\;,\ 2)\}\ ;\ \{(B\;,\ -3)\}.$

 

b. Déduis-en que les points $G$, $C$ et $J$ sont alignés.

 

4. Détermine et construis l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

 

$||2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}||=AB.$

 

Exercice 2

 

1. Soient $x$ et $y$ deux réels.

 

Rappelle la définition de :

 

a. La partie entière de $x$

 

b. La distance de $x$ à $y$

 

c. L'ordre de grandeur de $x(x\neq 0)$

 

d. L'approximation de $x$ à $\alpha$ près

 

2. Simplifie les expressions suivantes (on suppose que tous les dénominateurs sont non nuls) :

 

$A=\dfrac{1}{(a+b)^{2}}\left(\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}\right)+\dfrac{2}{(a+b)^{3}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$

 

$B=\dfrac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{2}}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

 

$C=\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}+\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$

 

Exercice 3

 

1. Complète le tableau suivante :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &&\text{En termes de }&\\ \hline &\text{valeur absolue }&\text{distance }&\text{intervalle}&\text{encadrement}\\ \hline 1&|5-x|\leq 3&&\\ \hline 2&d(x\ ;\ -4)>2&&\\ \hline 3&&x\in[2\ ;\ 4]&\\ \hline 4&&&-2\leqx\leq2\\ \hline \end{array}$$

 

2. Sachant que $x\in\left]-\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\right[$, encadre $g(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2-x}$